Matematyka - Szkoła średnia
Matematyka dla liceum i technikum oraz przygotowanie do matury (podstawowej i rozszerzonej) - zadania z rozwiązaniami krok po kroku.
Materiał - klasa 1
- Zbiory liczbowe. Liczby rzeczywiste Pierwszy dział matematyki dla liceum i technikum: zbiory i działania na zbiorach, zbiory liczbowe, przedziały, równania i nierówności, procenty oraz przybliżenia i błędy.
- Wyrażenia algebraiczne Drugi dział matematyki dla liceum i technikum: potęgi i pierwiastki, wzory skróconego mnożenia, logarytmy, przekształcanie wzorów oraz średnie - teoria z przykładami.
- Funkcja i jej własności Trzeci dział matematyki dla liceum i technikum: pojęcie funkcji, wykres, dziedzina i zbiór wartości, miejsca zerowe, monotoniczność, różnowartościowość oraz odczytywanie własności funkcji z wykresu - teoria z przykładami.
- Funkcja liniowa Czwarty dział matematyki dla liceum i technikum: proporcjonalność prosta, funkcja liniowa, jej wykres i miejsce zerowe, znaczenie współczynnika kierunkowego oraz zastosowania praktyczne - teoria z przykładami i zadaniami.
- Układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi Piąty dział matematyki dla liceum i technikum: równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi, układy równań i ich rodzaje, metoda graficzna, metoda podstawiania, metoda przeciwnych współczynników oraz zadania tekstowe - teoria krok po kroku z przykładami.
- Podstawowe własności wybranych funkcji Szósty dział matematyki dla liceum i technikum: funkcja kwadratowa i jej zastosowania, proporcjonalność odwrotna, funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna - wykresy, podstawowe własności i przykłady krok po kroku.
- Geometria płaska - pojęcia wstępne. Trójkąty Siódmy dział matematyki dla liceum i technikum: punkt, prosta, kąty, proste równoległe, wielokąty, twierdzenie Talesa, nierówność trójkąta, twierdzenie Pitagorasa, wysokości i środkowe, przystawanie i podobieństwo trójkątów - teoria z rysunkami i przykładami.
Materiał - klasa 2
- Przekształcenia wykresów funkcji Dział matematyki dla drugiej klasy liceum i technikum: wektor na płaszczyźnie i w układzie współrzędnych, przesunięcia wzdłuż osi OX i OY, symetria osiowa i środkowa, wykresy z wartością bezwzględną, y = k·f(x) i y = f(k·x) oraz odczytywanie rozwiązań równań i nierówności z wykresu.
- Równania i nierówności z wartością bezwzględną i z parametrem Dział dla drugiej klasy liceum i technikum: wartość bezwzględna liczby rzeczywistej, odległość na osi liczbowej, interpretacja geometryczna modułu, równania i nierówności z wartością bezwzględną oraz równania, nierówności i układy równań z parametrem.
- Funkcja kwadratowa Dział matematyki dla drugiej klasy liceum i technikum: postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, delta i miejsca zerowe, szkicowanie wykresu, wartości ekstremalne, równania i nierówności kwadratowe, wzory Viète'a, wartość bezwzględna i zadania z parametrem.
- Geometria płaska - okręgi i koła Dział dla drugiej klasy liceum i technikum: okrąg i koło, wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów, kąty środkowe i wpisane, twierdzenie o stycznej i siecznej, konstrukcje geometryczne oraz okrąg opisany na trójkącie i wpisany w trójkąt.
Zadania tematyczne
bryly-obrotowe
- Ile lejków w kształcie stożka napełni litrową butelkęśrednie
- Jak zmieni się objętość i pole kuli, gdy promień wzrośnie o 20%średnie
- Kula wpisana w stożek równoboczny - stosunek objętościtrudne
- Kula wpisana w walec - jaką część walca zajmuje kulaśrednie
- Objętość kuli i pole sfery o promieniu 6łatwe
- Objętość kuli, gdy znane jest pole jej powierzchniłatwe
- Obrót prostokąta wokół boku - który walec ma większą objętośćłatwe
- Obrót trapezu prostokątnego wokół dłuższej podstawy - walec i stożektrudne
- Obrót trójkąta prostokątnego wokół przeciwprostokątnej - dwa stożkitrudne
- Obrót trójkąta prostokątnego wokół przyprostokątnej - stożekłatwe
- Obrót trójkąta równobocznego wokół wysokości - stożekśrednie
- Odległość przekroju od środka kuli z pól kółtrudne
- Pojemność garnka w litrach - objętość walcałatwe
- Pole powierzchni i objętość walca - promień i wysokość danełatwe
- Promień walca z objętości - zadanie odwrotneśrednie
- Przekrój kuli płaszczyzną - promień i pole koła przekrojuśrednie
- Przekrój osiowy walca - pole i przekątna przekrojułatwe
- Przetapianie kuli na stożek - wysokość stożkaśrednie
- Przetopienie ośmiu małych kulek w jedną dużą - promień i poleśrednie
- Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka - kąt wycinka kołaśrednie
- Rozwinięcie powierzchni bocznej walca - prostokąt zwinięty w walecśrednie
- Stożek o kącie rozwarcia 90° - objętość i pole boczneśrednie
- Stożek równoboczny - przekrój osiowy jest trójkątem równobocznymśrednie
- Tworząca, pole i objętość stożka - promień i wysokość danełatwe
- Walec, którego przekrój osiowy jest kwadratem - objętość i poleśrednie
- Walec, w którym pole boczne równa się sumie pól podstawtrudne
- Wycinek koła zwinięty w stożek - promień, wysokość i objętośćtrudne
- Wysokość stożka z tworzącej i promienia - objętość stożkałatwe
czworokaty
- Czworokąt opisany na okręgu - boki z warunku a + c = b + d i poleśrednie
- Czworokąt wpisany w okrąg - kąty zależne od x, kąty przeciwległeśrednie
- Deltoid - pole, długości boków i obwód z przekątnychśrednie
- Kąty czworokąta w stosunku 2 : 3 : 4 : 6 - czy da się go wpisać w okrąg?średnie
- Kąty deltoidu - dwa kąty przy osi symetrii dane, dwa pozostałe równeśrednie
- Kąty rombu z kąta między przekątną a bokiemłatwe
- Kąty równoległoboku - kąt rozwarty o 40° większy od ostregołatwe
- Kąty trapezu - kąty przy krótszej podstawie z kątów 64° i 52°łatwe
- Kwadrat o przekątnej 10 - bok, pole i obwód kwadratułatwe
- Podstawy trapezu z pola i wysokości - zadanie odwrotneśrednie
- Pole równoległoboku o bokach 10 i 6 i kącie 30° - obie wysokościłatwe
- Pole trapezu o podstawach 13 i 7 i wysokości 4 - linia środkowałatwe
- Prostokąt o bokach 12 i 9 - obwód, pole i długość przekątnejłatwe
- Prostokąt o obwodzie 56 i bokach w stosunku 3 : 4 - pole i przekątnaśrednie
- Prostokąt: przekątna 13, jeden bok o 7 dłuższy - równanie kwadratoweśrednie
- Przekątna prostokąta 8 pod kątem 30° do boku - pole prostokątaśrednie
- Przekątne równoległoboku z twierdzenia cosinusów - boki 8 i 5, kąt 60°trudne
- Przekątne trapezu dzielą go na cztery trójkąty - pola trójkątówtrudne
- Romb o boku 6 i kącie 60° - pole i długości obu przekątnychśrednie
- Romb o przekątnych 24 i 10 - pole, bok i wysokość rombuśrednie
- Równoległobok: z jednej wysokości druga wysokość i sinus kątaśrednie
- Trapez prostokątny - wysokość, pole i obwód z podstaw i ramieniaśrednie
- Trapez równoramienny o prostopadłych przekątnych - pole trapezutrudne
- Trapez równoramienny opisany na okręgu - ramię, wysokość i promieńtrudne
- Trapez równoramienny z kątem 45° - wysokość, ramię i poleśrednie
- Trójkąt w kwadracie - pole trójkąta AMN ze środkami bokówśrednie
- Wysokość trapezu równoramiennego - podstawy 16 i 6, ramię 13średnie
dzialania-na-wyrazeniach
- Mnożenie i redukcja: 2(a − 3) + 3(2a + 1)łatwe
- Mnożenie i redukcja: x(x + 3) + 2(x − 4)średnie
- Mnożenie sum algebraicznych: (2x − 1)(x + 4)średnie
- Mnożenie sum algebraicznych: (x + 3)(x − 2)łatwe
- Mnożenie sum algebraicznych: (x − 5)(x − 1)średnie
- Najprostsza postać: 2x(x − 3) − x(2x − 5)średnie
- Najprostsza postać: 3(2y − 1) − (y + 4) + 2yśrednie
- Najprostsza postać: 3(x − 2) − 2(x − 5)łatwe
- Najprostsza postać: 4(2a − 1) − 3(a − 2)łatwe
- Najprostsza postać: 5 − 2(x − 3) − (4 − x)średnie
- Redukcja wyrazów podobnych: −3m + 7 − 5m − 2 + młatwe
- Redukcja wyrazów podobnych: 2a² + 3a − a² + 5 − 2aśrednie
- Redukcja wyrazów podobnych: 3a + 2b − a + 4błatwe
- Redukcja wyrazów podobnych: 4xy − 2x + 3xy + xśrednie
- Redukcja wyrazów podobnych: 5x − 3y − 2x + y − 4łatwe
- Równanie z nawiasami po obu stronach: 4(x − 1) = 2(x + 3)średnie
- Równanie z nawiasem: 2(x + 3) − x = 10łatwe
- Równanie z nawiasem: 3(x − 1) = 2x + 5łatwe
- Równanie z nawiasem: 5x − 2(x − 1) = 11średnie
- Równanie, w którym znika x²: x(x + 3) = x² + 9średnie
- Wyłączanie wspólnego czynnika: 12x²y − 8xy²średnie
- Wyłączanie wspólnego czynnika: 3x − 6łatwe
- Wyłączanie wspólnego czynnika: 5a³ − 10a² + 15aśrednie
- Wyłączanie wspólnego nawiasu: 2x(a − b) − 3(a − b)średnie
- Wyłączanie wspólnego nawiasu: a(x + y) + b(x + y)średnie
funkcja-i-jej-wlasnosci
- Argument o zadanej wartości: f(x) = 5 − 3x, f(x) = −7łatwe
- Argumenty o zadanej wartości: f(x) = x² − 4x, f(x) = 5trudne
- Czy punkt należy do wykresu funkcji f(x) = (x − 1)/(x + 2)?średnie
- Dziedzina funkcji wymiernej: f(x) = (2x + 5)/(x − 4)łatwe
- Dziedzina funkcji z pierwiastkiem i ułamkiem: f(x) = √(x + 2)/(x − 5)trudne
- Dziedzina funkcji z pierwiastkiem: f(x) = √(3x − 12)średnie
- Dziedzina funkcji: f(x) = (x + 1)/(x² − 9)średnie
- Liczba rozwiązań równania g(x) = m w zależności od parametrutrudne
- Miejsca zerowe funkcji f(x) = x² − 7x + 12średnie
- Miejsca zerowe funkcji f(x) = x³ − 4xtrudne
- Miejsca zerowe funkcji wymiernej f(x) = (x² − 16)/(x + 1)średnie
- Miejsce zerowe funkcji f(x) = 4x + 10łatwe
- Monotoniczność i zbiór wartości funkcji f(x) = −2x + 5łatwe
- Obliczanie wartości funkcji: f(x) = 2x² − 3x + 1łatwe
- Odczyt z wykresu: dziedzina, zbiór wartości i monotonicznośćśrednie
- Odczyt z wykresu: miejsca zerowe i wartość funkcjiłatwe
- Odczyt z wykresu: nierówność f(x) > 0 i wartość najmniejszaśrednie
- Przedziały monotoniczności funkcji f(x) = |x| − 2średnie
- Uzasadnienie monotoniczności z definicji: f(x) = 3/x dla x > 0trudne
- Zbiór wartości funkcji f(x) = x² w przedziale ⟨−1, 3⟩średnie
funkcja-kwadratowa
- Brak miejsc zerowych: f(x) = x² + x + 1łatwe
- Dla jakich m nierówność x² − 2x + m > 0 jest spełniona zawsześrednie
- Dla jakich m pierwiastki równania mają różne znakitrudne
- Dla jakich m równanie x² + mx + 9 = 0 ma dokładnie jedno rozwiązaniełatwe
- Dla jakich m równanie x² − 6x + m = 0 ma dwa różne rozwiązaniałatwe
- Dziedzina funkcji z pierwiastkiem: f(x) = √(6 + x − x²)średnie
- Ile liczb całkowitych spełnia x² − 5x − 14 < 0?średnie
- Iloczyn równy liczbie: (x − 2)(x + 3) = 14średnie
- Jedno miejsce zerowe: f(x) = x² − 8x + 16łatwe
- Kwadrat różnicy pierwiastków: x² + 3x − 10 = 0średnie
- Liczba rozwiązań równania |x² − 4x + 3| = 1trudne
- Miejsca zerowe równania niezupełnego: f(x) = −x² + 4xłatwe
- Miejsca zerowe: f(x) = 2x² + 5x − 3średnie
- Miejsca zerowe: f(x) = x² − 5x + 6łatwe
- Najmniejsza suma kwadratów dwóch liczb o sumie 10średnie
- Największe pole prostokąta o obwodzie 24 cmłatwe
- Największe pole zagrody przy ścianie stodołyśrednie
- Największy iloczyn dwóch liczb o sumie 20łatwe
- Największy przychód ze sprzedaży biletówśrednie
- Nierówność do przekształcenia: x(x + 4) > 2x + 3średnie
- Nierówność kwadratowa: x² − x − 6 ≥ 0łatwe
- Nierówność niezupełna: 2x² < 8xśrednie
- Nierówność przy delcie równej zero: x² − 4x + 4 ≤ 0średnie
- Nierówność przy delcie ujemnej: x² + x + 1 > 0średnie
- Nierówność w postaci iloczynowej: (x − 3)(x + 5) < 0łatwe
- Nierówność z modułem i kwadratem: |x² − 4| < 3trudne
- Nierówność z modułem: |x − 3| ≤ 2łatwe
- Nierówność z ramionami w dół: −x² + 2x + 3 > 0średnie
- Nierówność z ułamkowym pierwiastkiem: 3x² − 2x − 1 ≥ 0średnie
- Parametr przy x²: (m − 2)x² + 2x + 1 = 0 z jednym rozwiązaniemtrudne
- Postać kanoniczna przy ujemnym a: f(x) = −x² + 6x − 4średnie
- Postać kanoniczna, gdy a ≠ 1: f(x) = 2x² − 8x + 3średnie
- Postać kanoniczna: f(x) = x² + 4x + 1łatwe
- Postać kanoniczna: f(x) = x² − 6x + 5łatwe
- Pułapka: nierówność x² ≤ 9łatwe
- Równanie bez rozwiązań: x² + 2x + 5 = 0łatwe
- Równanie dwukwadratowe: x⁴ − 13x² + 36 = 0średnie
- Równanie kwadratowe z niewymiernym wynikiem: x² − 4x + 1 = 0średnie
- Równanie kwadratowe: x² − 7x + 10 = 0łatwe
- Równanie niezupełne: 2x² − 18 = 0łatwe
- Równanie niezupełne: 3x² − 12x = 0łatwe
- Równanie wymierne prowadzące do kwadratowego: 6/x + x = 5średnie
- Równanie z deltą równą zero: 4x² − 12x + 9 = 0łatwe
- Równanie z modułem i podstawieniem: x² − 3|x| + 2 = 0średnie
- Równanie z modułem: |x² − 5| = 4średnie
- Suma kwadratów pierwiastków: x² − 5x + 3 = 0średnie
- Suma odwrotności pierwiastków: 2x² − 7x + 2 = 0średnie
- Ujemny współczynnik przy x²: −2x² + 5x + 3 = 0średnie
- Ułóż równanie o pierwiastkach 3 i −7łatwe
- Wartości skrajne f(x) = −x² + 4x + 1 w przedziale ⟨0; 3⟩średnie
- Wartości skrajne f(x) = −x² − 2x + 3 w przedziale ⟨−4; −2⟩trudne
- Wartości skrajne f(x) = 2x² − 4x + 1 w przedziale ⟨−1; 0⟩średnie
- Wartości skrajne f(x) = x² − 2x − 3 w przedziale ⟨0; 4⟩łatwe
- Wartości skrajne f(x) = x² − 6x + 5 w przedziale ⟨4; 7⟩łatwe
- Współczynnik niewymierny: x² − 2√3x + 2 = 0trudne
- Wyznacz parametr, gdy suma kwadratów pierwiastków wynosi 20trudne
- Wzór funkcji z miejsc zerowych: −2 i 4 oraz f(0) = −8łatwe
- Wzór funkcji z osi symetrii i miejsca zerowegotrudne
- Wzór funkcji z trzech punktów: (0, 1), (1, 0), (2, 3)średnie
- Wzór funkcji z wartości najmniejszej: 3 dla x = −1, f(1) = 11średnie
- Wzór funkcji z wierzchołka i punktu: W = (1, −2), P = (3, 6)łatwe
- Z postaci kanonicznej na ogólną: f(x) = −3(x + 1)² + 2łatwe
- Zadanie tekstowe: boki prostokąta o polu 40średnie
funkcja-liniowa
- Dla jakich m funkcja f(x) = (2 − m)x + 1 jest malejącaśrednie
- Dla jakich m funkcja f(x) = (m + 1)x − 4 jest rosnącaśrednie
- Dla jakich m funkcja f(x) = (m − 3)x + 2 jest stałaśrednie
- Miejsce zerowe funkcji liniowej: f(x) = −2x + 8łatwe
- Miejsce zerowe funkcji liniowej: f(x) = −3x − 9średnie
- Miejsce zerowe funkcji liniowej: f(x) = ½x − 3łatwe
- Miejsce zerowe funkcji liniowej: f(x) = 3x − 12łatwe
- Miejsce zerowe funkcji liniowej: f(x) = 4x + 10średnie
- Monotoniczność funkcji liniowej: f(x) = −2x + 5łatwe
- Monotoniczność funkcji liniowej: f(x) = 3x − 7łatwe
- Prosta prostopadła do y = −¼x + 3 przez punkt (0, 2)średnie
- Prosta prostopadła do y = −3x + 2 przez punkt (6, 1)trudne
- Prosta prostopadła do y = ½x + 1 przez punkt (2, −1)średnie
- Prosta prostopadła do y = 2x + 1 przez punkt (4, 3)średnie
- Prosta prostopadła do y = x − 5 przez punkt (3, 0)średnie
- Prosta równoległa do y = −2x + 7 przez punkt (−1, 4)średnie
- Prosta równoległa do y = −x + 4 przez punkt (2, 1)średnie
- Prosta równoległa do y = ½x − 5 przez punkt (4, 0)średnie
- Prosta równoległa do y = 2x − 3 przez punkt (1, 5)średnie
- Prosta równoległa do y = 3x + 1 przez punkt (0, −2)łatwe
- Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów: (-1,4) i (2,-2)średnie
- Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów: (-2,1) i (2,3)średnie
- Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów: (0,3) i (2,7)łatwe
- Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów: (2,5) i (4,5)średnie
- Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów: A=(1,1), B=(3,5)łatwe
geometria-analityczna
- Brakujący koniec odcinka, gdy znany jest jego środekśrednie
- Czwarty wierzchołek równoległoboku w układzie współrzędnychśrednie
- Czy to równanie opisuje okrąg? Warunek a² + b² − c > 0średnie
- Długość cięciwy okręgu wyciętej przez prostą - bez punktów przecięciaśrednie
- Długość odcinka stycznej poprowadzonej z punktu do okręguśrednie
- Długość odcinka w układzie współrzędnych - wzór i przykładłatwe
- Długość odcinka z parametrem - dla jakiego m odcinek ma daną długośćśrednie
- Długość środkowej trójkąta ze współrzędnych wierzchołkówśrednie
- Jaki to czworokąt? Kwadrat w układzie współrzędnychśrednie
- Odległość między prostymi równoległymitrudne
- Odległość punktu od prostej - wzór i przykładśrednie
- Okrąg opisany na trójkącie - środek z przecięcia symetralnychtrudne
- Okrąg styczny do osi układu współrzędnych - równanieśrednie
- Pole trójkąta ze współrzędnych wierzchołkówśrednie
- Położenie punktu względem okręgu - wewnątrz, na okręgu czy na zewnątrzśrednie
- Postać ogólna prostej a kierunkowa - zamiana i punkty przecięcia z osiamiłatwe
- Prosta i okrąg z parametrem - kiedy prosta jest stycznatrudne
- Prosta pionowa - równanie prostej bez postaci kierunkowejłatwe
- Prosta równoległa i prostopadła w postaci ogólnej przez dany punktśrednie
- Punkt na osi x równo oddalony od dwóch punktówśrednie
- Punkt przecięcia dwóch prostych w postaci ogólnejłatwe
- Punkty przecięcia prostej i okręgu oraz długość cięciwyśrednie
- Równanie ogólne prostej przechodzącej przez dwa punktyśrednie
- Równanie okręgu o danym środku przechodzącego przez punktłatwe
- Równanie okręgu o średnicy ABśrednie
- Równanie okręgu w postaci ogólnej - środek i promień przez dopełnienie do kwadratuśrednie
- Równanie stycznej do okręgu w danym punkcieśrednie
- Równanie symetralnej odcinka w układzie współrzędnychśrednie
- Styczne do okręgu równoległe do danej prostejtrudne
- Środek i promień okręgu z równania w postaci kanonicznejłatwe
- Środek odcinka - współrzędne ze wzorułatwe
- Trójkąt prostokątny równoramienny w układzie współrzędnych - obwód i poleśrednie
- Wysokość trójkąta ze współrzędnych - odległość wierzchołka od prostejśrednie
- Wzajemne położenie prostej i okręgu - odległość środka od prostejłatwe
indukcja-matematyczna
- Indukcja matematyczna - dowód wzoru na sumę kwadratówłatwe
- Indukcja matematyczna - liczba przekątnych wielokąta n(n − 3)/2łatwe
- Indukcja matematyczna - na ile części n prostych dzieli płaszczyznęśrednie
- Indukcja matematyczna - nierówność 3ⁿ > 2n + 1 dla n ≥ 2łatwe
- Indukcja matematyczna - nierówność n! > 2ⁿ dla n ≥ 4średnie
- Indukcja matematyczna - ostra nierówność Bernoulliego dla n ≥ 2średnie
- Indukcja matematyczna - podzielność 10ⁿ + 3·4ⁿ⁺² + 5 przez 9średnie
- Indukcja matematyczna - podzielność 11ⁿ⁺¹ + 12²ⁿ⁻¹ przez 133trudne
- Indukcja matematyczna - podzielność 3²ⁿ⁺² − 8n − 9 przez 64trudne
- Indukcja matematyczna - podzielność 4ⁿ + 5 przez 3łatwe
- Indukcja matematyczna - podzielność 8ⁿ − 1 przez 7łatwe
- Indukcja matematyczna - podzielność n³ + 2n przez 3średnie
- Indukcja matematyczna - suma 1/(n+1) + ... + 1/(2n) > 13/24trudne
- Indukcja matematyczna - suma 1/√1 + 1/√2 + ... + 1/√n ≥ √nśrednie
- Indukcja matematyczna - suma iloczynów kolejnych liczb 1·2 + 2·3 + ...średnie
- Indukcja matematyczna - suma kątów wielokąta wypukłego (n − 2)·180°łatwe
- Indukcja matematyczna - suma kolejnych potęg trójkiłatwe
- Indukcja matematyczna - suma odwrotności kwadratów nie przekracza 2 − 1/nśrednie
- Indukcja matematyczna - suma sześcianów kolejnych liczbśrednie
- Indukcja matematyczna - suma teleskopowa 1/(k(k+1))łatwe
- Indukcja matematyczna - suma z silnią 1·1! + 2·2! + ... + n·n!średnie
- Indukcja matematyczna - wzór ogólny ciągu rekurencyjnego aₙ₊₁ = 2aₙ + 1średnie
- Indukcja matematyczna - zbiór n-elementowy ma 2ⁿ podzbiorówśrednie
- Indukcja matematyczna - znajdź błąd w dowodzie bez bazyśrednie
kombinatoryka
- Co najmniej jedna szóstka w czterech rzutach kostką - dopełnienieśrednie
- Delegacja z co najmniej jednym chłopcem - kombinacje i dopełnienieśrednie
- Delegacja z warunkiem - 3 dziewczyny i 2 chłopców. Kombinacjeśrednie
- Ile jest liczb czterocyfrowych parzystych o różnych cyfrach?trudne
- Ile jest liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach?średnie
- Ile kodów PIN ma wszystkie cyfry różne? Wariacje z powtórzeniami i bezśrednie
- Ile liczb czterocyfrowych ma co najmniej jedną siódemkę?średnie
- Ile przekątnych ma dwunastokąt? Kombinacjeśrednie
- Ile trójkątów wyznaczają punkty na dwóch prostych równoległych?trudne
- Kombinacje - na ile sposobów można wybrać delegację z klasy?łatwe
- Liczby czterocyfrowe o cyfrach rosnących - ukryta kombinacjatrudne
- Liczby trzycyfrowe podzielne przez 5 o różnych cyfrachśrednie
- Permutacje - chłopcy i dziewczynki na przemian w rzędzietrudne
- Permutacje - dwie osoby mają siedzieć obok siebieśrednie
- Permutacje - dwie osoby nie mogą siedzieć obok siebieśrednie
- Permutacje - na ile sposobów można ustawić 6 osób w kolejce?łatwe
- Permutacje z powtórzeniami - anagramy słowa MATEMATYKAśrednie
- Permutacje z powtórzeniami - ile anagramów ma słowo KAJAK?średnie
- Reguła dodawania - liczby o samych cyfrach nieparzystychśrednie
- Reguła mnożenia - ile jest kodów z literami i cyframi?łatwe
- Reguła mnożenia - ile strojów można skompletować?łatwe
- Rozdzielanie nagród - wariacje z powtórzeniami czy bez?średnie
- Sygnały z flag - wariacje bez powtórzeń i reguła dodawaniaśrednie
- Symbol Newtona - obliczanie i własnościśrednie
- Trzy gałki lodów z sześciu smaków - kombinacje z powtórzeniamitrudne
- Uściski dłoni - ile osób było na spotkaniu? Kombinacjeśrednie
- Wariacja czy kombinacja? Rozpoznaj model w trzech zadaniachśrednie
- Wariacje bez powtórzeń - na ile sposobów można obsadzić podium?łatwe
- Wariacje z powtórzeniami - ile jest wyników ośmiu rzutów monetą?łatwe
- Wybór prezesa, zastępcy i skarbnika - wariacje bez powtórzeńłatwe
logarytmy
- log₈ 2 = 1/3 - ile wynosi logarytm z 2 przy podstawie 8trudne
- Logarytm z definicji: log_(1/2) 16średnie
- Logarytm z definicji: log₂ 32łatwe
- Logarytm z definicji: log₄ 8średnie
- Logarytm z definicji: log₅ (1/25)łatwe
- Niewiadoma w podstawie: logₓ16 = 2średnie
- Podstawienie: log₃²x − 3·log₃x + 2 = 0trudne
- Prawa logarytmów: log 4 + log 25średnie
- Prawa logarytmów: log₂ 48 − log₂ 3średnie
- Prawa logarytmów: log₂ 8 + log₂ 4łatwe
- Prawa logarytmów: log₃ 81łatwe
- Prawa logarytmów: log₆ 4 + log₆ 9trudne
- Równanie logarytmiczne z definicji: log₂(x − 1) = 3łatwe
- Równanie logarytmiczne: log₃(2x + 1) = 2łatwe
- Równe logarytmy: log₂(x + 2) = log₂(3x − 4)średnie
- Suma logarytmów: log x + log(x − 3) = 1średnie
- Wyznacz niewiadomą: log_x 25 = 2średnie
- Wyznacz niewiadomą: log_x 8 = 3średnie
- Wyznacz niewiadomą: log₂ x = 5łatwe
- Wyznacz niewiadomą: log₃ (2x − 1) = 2trudne
- Wyznacz niewiadomą: log₃ x = −2łatwe
- Zamiana podstawy: log₂ 3 · log₃ 8trudne
- Zamiana podstawy: log₂₇ 9średnie
- Zamiana podstawy: log₄ 8 (przez podstawę 2)łatwe
- Zamiana podstawy: log₈ 32średnie
- Zamiana podstawy: log₉ 27średnie
okregi-i-kola
- Czworokąt opisany na okręgu - odcinki styczneśrednie
- Ćwiartka koła o promieniu 4łatwe
- Długość cięciwy odległej o 5 od środkaśrednie
- Długość cięciwy z twierdzenia o stycznej i siecznejśrednie
- Długość łuku i pole wycinka dla kąta 60°łatwe
- Długość odcinka stycznej z punktu zewnętrznegośrednie
- Długość stycznej przy znanej siecznejłatwe
- Dwie sieczne - nieznana część zewnętrznatrudne
- Jak daleko widać horyzont - zastosowanie twierdzeniatrudne
- Kąt oparty na średnicy - kąty trójkątaśrednie
- Kąt środkowy przy danym kącie wpisanym 35°łatwe
- Kąt wpisany przy kącie środkowym 140°łatwe
- Kąty czworokąta wpisanego w okrągśrednie
- Kąty wpisane oparte na tym samym łukutrudne
- Oba promienie dla trójkąta równobocznegotrudne
- Obwód trójkąta opisanego na okręgutrudne
- Podział cięciwy przez drugą cięciwęśrednie
- Pole pierścienia kołowegotrudne
- Położenie okręgów danych w układzie współrzędnychtrudne
- Położenie prostej względem okręgułatwe
- Promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach 5, 6, 7trudne
- Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnymłatwe
- Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach 5, 6, 7średnie
- Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątnyśrednie
- Promień okręgu z twierdzenia o stycznej i siecznejśrednie
- Przecinające się cięciwy - brakujący odcinekłatwe
- Sprawdzenie twierdzenia dla siecznej przez środekśrednie
- Styczna i sieczna - równanie kwadratoweśrednie
- Twierdzenie o dwóch siecznychśrednie
- Wyznacz kąt środkowy, znając długość łukuśrednie
- Wyznacz kąt środkowy, znając pole wycinkaśrednie
- Wzajemne położenie dwóch okręgówśrednie
pierwiastki
- Dodawanie i odejmowanie pierwiastków: √48 − √12 + √75średnie
- Dodawanie i odejmowanie pierwiastków: √8 + √18 − √2średnie
- Dodawanie pierwiastków trzeciego stopnia: ∛54 + ∛16średnie
- Dodawanie pierwiastków: √12 + √27łatwe
- Dodawanie pierwiastków: √32 + √72 − √50średnie
- Iloczyn pierwiastków sześciennych: ∛2·∛32średnie
- Iloczyn pierwiastków: √2·√8łatwe
- Iloczyn pierwiastków: √3·√27łatwe
- Iloraz pierwiastków: √45 : √5łatwe
- Iloraz pierwiastków: √72 : √2łatwe
- Obliczanie pierwiastków kwadratowych: 49, 121, 1,69łatwe
- Obliczanie pierwiastków sześciennych: 27, 125, 1000łatwe
- Odejmowanie pierwiastków: √80 − √20łatwe
- Pierwiastek czwartego stopnia z czwartej potęgi: ⁴√(3⁴) i ⁴√((-3)⁴)średnie
- Pierwiastek nieparzysty z sześcianu liczby ujemnej: ∛((-4)³)średnie
- Pierwiastek w mianowniku: (√20 + √45) / √5średnie
- Pierwiastek z czwartej potęgi liczby ujemnej: √((-5)⁴)średnie
- Pierwiastek z kwadratu liczby ujemnej: √((-7)²)średnie
- Pierwiastek z kwadratu: √(13²)łatwe
- Pierwiastek z liczby mieszanej: √(5 4/9)średnie
- Pierwiastek z ułamka dziesiętnego: ∛0,001, ∛(-0,216)średnie
- Pierwiastek z ułamka zwykłego: √(9/16), √(25/49)łatwe
- Pierwiastki z literą: √(9a) + √(25a) − √(4a)średnie
- Pierwiastki ze współczynnikami: 3√8 − √32 + 2√18średnie
- Porównywanie pierwiastka z liczbą całkowitą: 5 i 2√6średnie
- Porównywanie pierwiastków: 2√5 i √21łatwe
- Porównywanie pierwiastków: 2√7 i 3√3średnie
- Porównywanie pierwiastków: 3√2 i 2√5średnie
- Porównywanie pierwiastków: 4√2 i 3√3średnie
- Pułapka: √12 + √18 − √27 - czego nie da się połączyćśrednie
- Redukcja do jednego pierwiastka: 2√45 − 3√20 + √5średnie
- Skracanie ułamka z pierwiastkiem: (√18 + 3) / 3średnie
- Skracanie ułamka z pierwiastkiem: (10 − √50) / 5średnie
- Skracanie ułamka z pierwiastkiem: (12 − √72) / 6średnie
- Skracanie ułamka z pierwiastkiem: (15 + √75) / 10średnie
- Skracanie ułamka z pierwiastkiem: (2 + √8) / 2średnie
- Skracanie ułamka z pierwiastkiem: (4 + √12) / 2średnie
- Skracanie ułamka z pierwiastkiem: (6 + 3√2) / 3łatwe
- Włączanie czynnika pod pierwiastek sześcienny: 3∛2średnie
- Włączanie czynnika pod pierwiastek: 2√5łatwe
- Włączanie czynnika pod pierwiastek: 2√7łatwe
- Włączanie czynnika pod pierwiastek: 3√2łatwe
- Włączanie czynnika pod pierwiastek: 4√3średnie
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek sześcienny: ∛54średnie
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: √18łatwe
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: √200średnie
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: √48łatwe
- Wyłączanie czynnika przed pierwiastek: √75łatwe
- Wymierny czy niewymierny: (√3 − 1)(√3 + 1)łatwe
- Wymierny czy niewymierny: (√6)²łatwe
- Wymierny czy niewymierny: (2 + √3)²średnie
- Wymierny czy niewymierny: √2 · √8łatwe
- Wymierny czy niewymierny: √2 + √8 − √18średnie
- Wymierny czy niewymierny: √3 · √6średnie
- Wymierny czy niewymierny: √5 · √20łatwe
- Wymierny czy niewymierny: √8 + √2średnie
pochodna-funkcji
- Dwie styczne do wykresu wielomianu równoległe do prostejśrednie
- Ekstrema funkcji wymiernej - dziedzina w tabeli znakówtrudne
- Ekstrema wielomianu czwartego stopnia - trzy punkty krytyczneśrednie
- Granica 0/0 - skracanie ułamka po rozkładzie na czynnikiłatwe
- Granica 0/0 z różnicą sześcianów w licznikuśrednie
- Granica funkcji przez podstawienie - funkcja wymiernałatwe
- Granica funkcji w nieskończoności - symbol ∞/∞średnie
- Granica z pierwiastkiem - usuwanie niewymierności (0/0)średnie
- Granice jednostronne i asymptoty wykresu funkcji wymiernejtrudne
- Monotoniczność i ekstrema wielomianu trzeciego stopniaśrednie
- Najmniejsza i największa wartość funkcji x + 4/x w przedzialeśrednie
- Najtańsze ogrodzenie działki - optymalizacja kosztuśrednie
- Pochodna funkcji wymiernej i jej miejsca zeroweśrednie
- Pochodna iloczynu funkcji - wzór (fg)' = f'g + fg'średnie
- Pochodna ilorazu - funkcja homograficznaśrednie
- Pochodna pierwiastka i funkcji 1/x - zapis potęgowyśrednie
- Pochodna równa zero, a ekstremum brak - pułapkaśrednie
- Pochodna wielomianu i jej wartość w punkciełatwe
- Pochodna z definicji - granica ilorazu różnicowegotrudne
- Prostokąt o największym polu wpisany pod parabolęśrednie
- Pudełko z blachy o największej objętości - optymalizacjaśrednie
- Punkt paraboli położony najbliżej danego punktutrudne
- Puszka o najmniejszym polu powierzchni przy danej objętościtrudne
- Równanie stycznej do wykresu wielomianu w punkciełatwe
- Styczna do paraboli równoległa do danej prostejśrednie
- Styczna do wykresu funkcji wymiernej w punkcieśrednie
- Styczne do paraboli przechodzące przez punkt spoza wykresutrudne
- Wartość najmniejsza i największa funkcji w przedziale domkniętymśrednie
potega-calkowita-ujemna
- Notacja wykładnicza małej liczby: 0,000031średnie
- Notacja wykładnicza małej liczby: 0,0025łatwe
- Notacja wykładnicza małej liczby: 0,07łatwe
- Notacja wykładnicza małej liczby: 0,5łatwe
- Notacja wykładnicza: rozmiar bakteriiłatwe
- Potęga liczby mieszanej o wykładniku ujemnym: (1½)⁻²średnie
- Potęga o wykładniku ujemnym: 5⁻¹, (−3)⁻², −4⁻²łatwe
- Potęga ułamka dziesiętnego o wykładniku ujemnym: (−0,2)⁻²średnie
- Potęga ułamka dziesiętnego o wykładniku ujemnym: (0,1)⁻⁴średnie
- Potęga ułamka o wykładniku ujemnym: (3/5)⁻³średnie
- Prawa potęg z wykładnikiem ujemnym: (5⁻²)⁻¹ · 5⁻³trudne
- Prawa potęg z wykładnikiem ujemnym: 3⁻³ · (1/9)⁻³średnie
- Prawa potęg z wykładnikiem ujemnym: 4⁻² · (1/16)⁻²średnie
- Prawa potęg z wykładnikiem ujemnym: 5⁻³ · (1/125)⁻¹średnie
- Prawa potęg z wykładnikiem ujemnym: 6⁻² · (1/36)⁻²średnie
- Wartość wyrażenia z wykładnikiem ujemnym: 2x⁻¹ + x⁻² dla x = 2średnie
- Wartość wyrażenia z wykładnikiem ujemnym: a⁻² dla a = 1/3łatwe
- Wartość wyrażenia z wykładnikiem ujemnym: x⁻¹ · y² dla x = 4, y = 2średnie
- Wartość wyrażenia z wykładnikiem ujemnym: x⁻¹ + y⁻¹ dla x = 2, y = 3łatwe
- Wartość wyrażenia z wykładnikiem ujemnym: x⁻² − x⁻¹ dla x = 2średnie
- Wyrażenie z wykładnikiem ujemnym: (x⁻¹)⁻² · x⁻³trudne
- Wyrażenie z wykładnikiem ujemnym: (x⁻²)³ · x⁷średnie
- Wyrażenie z wykładnikiem ujemnym: x⁻³ · x⁵łatwe
- Wyrażenie z wykładnikiem ujemnym: x² · x⁻⁵średnie
- Wyrażenie z wykładnikiem ujemnym: x⁵ : x⁸łatwe
potega-wykladnik-wymierny
- Dzielenie potęg: 3^(1+√5) : 3^(√5−1)łatwe
- Iloczyn potęg o wykładniku wymiernym: 2^(1/2) · 2^(3/2)łatwe
- Iloczyn potęg o wykładniku wymiernym: 2^(2/3) · 2^(4/3)łatwe
- Iloczyn potęg o wykładniku wymiernym: 7^(3/4) · 7^(1/4)łatwe
- Iloraz potęg o wykładniku wymiernym: 3^(5/2) : 3^(1/2)średnie
- Mnożenie potęg o wykładniku niewymiernym: 2^√3 · 2^(2−√3)łatwe
- Porównywanie potęg o wykładniku niewymiernymśrednie
- Potęga o wykładniku −1/2: 25^(−1/2)średnie
- Potęga o wykładniku −1/3: 8^(−1/3)średnie
- Potęga o wykładniku −3/4: 16^(−3/4)trudne
- Potęga o wykładniku 1/2: 81^(1/2)łatwe
- Potęga o wykładniku 1/3: 64^(1/3)łatwe
- Potęga o wykładniku 1/n: 32^(1/5)łatwe
- Potęga o wykładniku 2/3: 125^(2/3)średnie
- Potęga o wykładniku 3/2: 9^(3/2)łatwe
- Potęga o wykładniku 3/4: 81^(3/4)średnie
- Potęga potęgi o wykładniku wymiernym: (5^(1/2))³ · 5^(1/2)średnie
- Potęga potęgi: (5^√2)^√2łatwe
- Potęga ułamka o wykładniku 2/3: (8/27)^(2/3)średnie
- Przybliżenia z danego 2^√2 ≈ 2,665średnie
- Przybliżenie potęgi: 10^(−1/3) z danego 10^(1/3)średnie
- Przybliżenie potęgi: 10^(0,5) z danego 10^(0,25)średnie
- Przybliżenie potęgi: 10^(1,25) z danego 10^(0,25)średnie
- Przybliżenie potęgi: 10^(2/3) z danego 10^(1/3)średnie
- Przybliżenie potęgi: 10^(4/3) z danego 10^(1/3)średnie
- Równanie z wykładnikiem niewymiernym: 7^(x√2) = 49średnie
- Szacowanie: wykaż, że 4 < 3^√2 < 6trudne
- Upraszczanie wyrażenia: (a^(√3+1))^(√3−1) · a^(−1)średnie
- Zapis jedną potęgą wymierną: √(3·∛3)trudne
- Zapis jedną potęgą wymierną: √(5√5)trudne
- Zapis jedną potęgą wymierną: √2 · ∜2średnie
- Zapis jedną potęgą wymierną: 2·∛2średnie
- Zapis jedną potęgą wymierną: 5√5średnie
potegi
- Notacja wykładnicza: liczba 150łatwe
- Notacja wykładnicza: liczba 37 000łatwe
- Notacja wykładnicza: liczba mniejsza od 1 (0,0042)średnie
- Notacja wykładnicza: odległość Ziemia - Słońcełatwe
- Notacja wykładnicza: średnica Słońcałatwe
- Podzielność sumy potęg: 2⁸+2⁹+2¹⁰ przez 7łatwe
- Podzielność sumy potęg: 3¹⁰+3¹¹+3¹² przez 13średnie
- Podzielność sumy potęg: 5¹³+5¹⁴+5¹⁵ przez 31średnie
- Podzielność sumy potęg: 6⁶+6⁷+6⁸ przez 43średnie
- Podzielność sumy potęg: 7⁵+7⁶ przez 8łatwe
- Prawa potęg: iloczyn i iloraz potęg o tej samej podstawiełatwe
- Prawa potęg: iloczyn potęg o tym samym wykładnikułatwe
- Prawa potęg: iloczyn potęg o tym samym wykładniku z ułamkiem dziesiętnymłatwe
- Prawa potęg: potęga potęgiśrednie
- Prawa potęg: rozkład podstawy na czynnikiśrednie
- Upraszczanie do jednej potęgi: dwie potęgi potęgi w licznikuśrednie
- Upraszczanie do jednej potęgi: iloczyn potęgłatwe
- Upraszczanie do jednej potęgi: iloraz z potęgą potęgiłatwe
- Upraszczanie do jednej potęgi: potęga iloczynu w nawiasieśrednie
- Upraszczanie do jednej potęgi: potęga potęgi i ilorazśrednie
- Zapis w postaci potęgi o podstawie 2średnie
- Zapis w postaci potęgi o podstawie 2 (potęga potęgi i iloraz)średnie
- Zapis w postaci potęgi o podstawie 2 (z ilorazem)średnie
- Zapis w postaci potęgi o podstawie 3 (iloczyn)łatwe
- Zapis w postaci potęgi o podstawie 3 (z ilorazem)średnie
procenty
- Jakim procentem liczby 200 jest 50łatwe
- Jakim procentem liczby 250 jest 30średnie
- Jakim procentem liczby 40 jest 50średnie
- Jakim procentem liczby 60 jest 45łatwe
- Jakim procentem liczby 8 jest 1średnie
- Liczba na podstawie procentu: 120% liczby to 60średnie
- Liczba na podstawie procentu: 15% liczby to 45średnie
- Liczba na podstawie procentu: 2,5% liczby to 5trudne
- Liczba na podstawie procentu: 20% liczby to 30średnie
- Liczba na podstawie procentu: 8% liczby to 12średnie
- Lokata: odsetki od 1000 zł przy oprocentowaniu 5%łatwe
- Łączone rabaty: 20%, a potem dodatkowe 10%trudne
- O ile procent wzrosła cena: z 200 zł na 250 złśrednie
- Obniżka ceny o 25%: z 80 złłatwe
- Podwyżka ceny o 15%: z 200 złłatwe
- Podwyżka pensji o 8%: z 3000 złłatwe
- Procent z liczby: 150% z 60średnie
- Procent z liczby: 2,5% z 400średnie
- Procent z liczby: 20% z 150łatwe
- Procent z liczby: 35% z 80łatwe
- Procent z liczby: 8% z 250łatwe
- Przecena o 40%: z 150 złśrednie
- Rabat: cena bluzki 120 zł po rabacie 30%łatwe
- VAT: cena brutto przy cenie netto 200 zł i VAT 23%łatwe
- VAT: cena netto z ceny brutto 123 zł i VAT 23%średnie
przeksztalcenia-wykresow
- Asymptoty wykresu y = 2/(x + 1)średnie
- Czy funkcja f(x) = x³ − x jest parzysta, czy nieparzysta?średnie
- Czy wektory AB i CD są równe?średnie
- Czy wykresy y = 2|x| oraz y = |2x| są takie same?trudne
- Długość wektora u = [−6, 8]łatwe
- Działania na wektorach: suma i mnożenie przez liczbęłatwe
- Dziedzina i zbiór wartości po przesunięciuśrednie
- Graficzne rozwiązanie nierówności z modułemtrudne
- Graficzne rozwiązanie równania |x − 1| = 3łatwe
- Hiperbola przesunięta: asymptoty wykresu y = 1/(x − 2) − 1trudne
- Ile rozwiązań ma równanie |x| = m w zależności od mśrednie
- Miejsca zerowe po odbiciu wykresutrudne
- Obrazy punktu (−3, 5) w trzech symetriachłatwe
- Obrazy punktu przy rozciąganiu i ściskaniu wykresuśrednie
- Odczytaj wektor przesunięcia ze wzoru y = f(x + 2) − 5łatwe
- Parabola przesunięta o wektor [−1, −4]średnie
- Punkty wykresu funkcji y = f(|x|)średnie
- Symetria środkowa paraboli f(x) = x² − 2xśrednie
- Szkic wykresu y = |x − 2| − 1średnie
- Szkic wykresu y = −(x − 1)² + 4średnie
- Współrzędne końca wektora o danym początkuśrednie
- Współrzędne wektora AB dla A(−1, 2) i B(3, 5)łatwe
- Wzory funkcji po odbiciu: f(x) = 2x − 6łatwe
- Wzór funkcji po przesunięciu o wektor [3, 0]łatwe
- Zbiór wartości funkcji y = |f(x)|średnie
statystyka
- Brakująca liczba, gdy znana jest średnia arytmetycznałatwe
- Brakujący słupek na diagramie, gdy znana jest średniatrudne
- Diagram słupkowy ocen - liczba uczniów, procent i średniałatwe
- Dwie dominanty - jak zmienią się mediana i dominanta po dopisaniu liczbyśrednie
- Ile piątek trzeba dostać, żeby podnieść średnią ocenśrednie
- Jak zmieni się średnia po dopisaniu nowego wynikuśrednie
- Jak zmienia się odchylenie standardowe po dodaniu stałej i pomnożeniu danychtrudne
- Jaką liczbę usunięto, skoro średnia spadłaśrednie
- Jaką ocenę trzeba dostać, żeby średnia ważona wyniosła 4,0średnie
- Mediana i dominanta przy nieparzystej liczbie danychłatwe
- Mediana i dominanta z tabeli liczebności - rozmiary butówśrednie
- Mediana przy parzystej liczbie danych - średnia dwóch środkowychłatwe
- Mediana z parametrem przy parzystej liczbie danychśrednie
- Mediana, dominanta i średnia z diagramu słupkowegośrednie
- Odchylenie standardowe z tabeli liczebnościśrednie
- Porównanie rozrzutu wyników dwóch zawodników - odchylenie standardoweśrednie
- Suma kwadratów danych, gdy znana jest średnia i wariancjatrudne
- Średnia arytmetyczna po przekształceniu danych (2a + 1)średnie
- Średnia arytmetyczna temperatur - liczby ujemne w danychłatwe
- Średnia cena mieszanki cukierków - średnia ważona w praktyceśrednie
- Średnia równa medianie - wyznacz brakującą liczbę xśrednie
- Średnia ważona ocen - sprawdziany, kartkówki i aktywnośćłatwe
- Średnia ważona z wagami w procentach - wynik końcowy kursułatwe
- Średnia wyników dwóch klas o różnej liczebnościśrednie
- Średnia z tabeli liczebności - liczba rodzeństwa w klasiełatwe
- Tabela liczebności: średnia, mediana i odsetek powyżej średniejśrednie
- Tabela procentowa z ankiety - brakujący procent i liczba osóbśrednie
- Wariancja i odchylenie standardowe pięciu liczb - krok po krokułatwe
- Wariancja ze wzoru skróconego: średnia kwadratów minus kwadrat średniejśrednie
trojkaty
- Całe ramię czy odcinek? Najczęstsza pomyłka w proporcjiśrednie
- Cecha bok-bok-bok: czy trójkąty są podobne?łatwe
- Cecha bok-kąt-bok i brakujący bokśrednie
- Czy trójkąt o bokach 7, 24, 25 jest prostokątny?średnie
- Dwusieczna kąta podstawy w trójkącie równoramiennymtrudne
- Ile boków ma wielokąt foremny o kącie 162°?trudne
- Kąt wewnętrzny dwunastokąta foremnegośrednie
- Kąt zewnętrzny trójkątaśrednie
- Kąty trójkąta w stosunku 2 : 3 : 4średnie
- Liczba przekątnych wielokątaśrednie
- Obwody trójkątów podobnychłatwe
- Odcinek równoległy do boku trójkątaśrednie
- Podobieństwo z równych kątów - brakujący bokśrednie
- Podział odcinka w danym stosunkuśrednie
- Proporcja Talesa z niewiadomą w dwóch miejscachśrednie
- Prosta dzieląca trójkąt na dwie części o równych polachtrudne
- Przeciwprostokątna dla przyprostokątnych 9 i 12łatwe
- Przekątne trapezu - punkt przecięciatrudne
- Punkt dzielący odcinek w danym stosunku - współrzędnetrudne
- Równoległe po przeciwnych stronach wierzchołkaśrednie
- Skala podobieństwa i brakujące bokiłatwe
- Skala z pól: trójkąty o polach 18 i 50średnie
- Stosunek pól figur podobnychśrednie
- Suma kątów wewnętrznych siedmiokątałatwe
- Trzeci kąt trójkąta, gdy dane są dwa kątyłatwe
- Trzy proste równoległe przecinające dwie prostełatwe
- Twierdzenie odwrotne: czy proste są równoległe?trudne
- Twierdzenie Talesa - brakujący odcinek na ramieniu kątałatwe
- Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną: h² = p · qśrednie
- Wysokość trójkąta równobocznego o boku 6średnie
- Zadanie odwrotne: dany stosunek i suma odcinkówśrednie
- Zadanie praktyczne: drabina oparta o ścianętrudne
- Zadanie praktyczne: wysokość drzewa z długości cieniatrudne
- Zastosowanie: podział trójkątnej działkiśrednie
trygonometria
- Cień słupa - pod jakim kątem padają promienie słońca?łatwe
- Dane sin α + cos α = 7/5 - oblicz sin α · cos α oraz tg α + ctg αtrudne
- Dany cos α = 2/3 - oblicz sin α i tg αłatwe
- Dany sin α = 5/13 - oblicz cos α i tg αłatwe
- Dany tg α = 2 - oblicz (sin α + cos α)/(sin α − cos α)średnie
- Dany tg α = 3 - oblicz sin α i cos αśrednie
- Drabina oparta o ścianę pod kątem 60° - na jakiej wysokości sięga?łatwe
- Funkcje trygonometryczne kąta - brakujący bok z Pitagorasałatwe
- Kąt nachylenia pochylni - długość 8 m, wysokość 0,5 mśrednie
- Kąt przy podstawie trójkąta równoramiennego - sinus, cosinus, tangensśrednie
- Kąty między przekątną a bokami prostokąta - sinus i cosinustrudne
- Oblicz wartość wyrażenia: 2 sin 30° + cos 60° − tg 45°łatwe
- Rozwiąż trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna 12 i kąt 60°łatwe
- Rozwiąż trójkąt prostokątny: przyprostokątna 7 i kąt 45°łatwe
- Rozwiąż trójkąt z dwóch przyprostokątnych 5 i 7 - kąty z tablicśrednie
- Rozwiąż trójkąt z kątem 40° i przeciwprostokątną 15 - boki i poletrudne
- Rozwiąż trójkąt: przyprostokątna 9 naprzeciw kąta 30°średnie
- Sinus i cosinus z niewymierną przeciwprostokątnąśrednie
- Sinus, cosinus i tangens z boków trójkąta 5, 12, 13łatwe
- Trójkąt prostokątny z kątem 30° - boki, pole i obwódśrednie
- Trójkąt równoramienny z kątem 30° przy podstawie - ramię i poletrudne
- Uprość wyrażenie trygonometryczne z jedynką i tangensemśrednie
- Wartość wyrażenia z sin² 45°, cos² 30° i tg 60° · tg 30°łatwe
- Wyrażenia z sin 60°, cos 30° i tg 60° - wynik z pierwiastkiemśrednie
- Wysokość wieży z dwóch kątów wzniesienia 30° i 60°trudne
- Wysokość wieży z kąta wzniesienia 35° - zadanie z obserwatoremśrednie
- Wyznacz kąt ostry: 2 sin α = √3, √3 tg α = 1, 2 cos α − √2 = 0średnie
- Znak drogowy „stromy podjazd 8%” - kąt nachylenia drogi i przewyższenieśrednie
uklady-rownan
- Dla jakiego m proste się nie przecinają? y = (m + 1)x − 2, y = 4x + 3trudne
- Graficzne rozwiązanie układu: y = x + 1, y = −x + 5łatwe
- Metoda przeciwnych współczynników: 3x + 2y = 16, 5x − 2y = 32średnie
- Metoda przeciwnych współczynników: x + y = 10, x − y = 4łatwe
- Mnożenie równań przed dodaniem: 2x + 3y = 12, 5x − 4y = 7średnie
- Odczyt z wykresu: układ sprzecznyśrednie
- Rozwiąż graficznie układ: x + y = 4, 2x − y = 2średnie
- Układ nieoznaczony: 2x − y = 5, 4x − 2y = 10łatwe
- Układ oznaczony: x + 2y = 4, 3x − y = 5średnie
- Układ równań metodą podstawiania: 4x − y = 7, 2x + 3y = 7średnie
- Układ równań metodą podstawiania: x + 3y = 11, 2x − y = 8średnie
- Układ równań metodą podstawiania: y = 2x − 1, 3x + y = 9łatwe
- Układ równań z ułamkami: x/2 + y/3 = 3, x − y = 1trudne
- Układ sprzeczny: 3x + 6y = 9, x + 2y = 5średnie
- Układ z liczbami dziesiętnymi: 0,2x + 0,5y = 2,1, 3x − 2y = 3trudne
- Układ z parametrem: (m − 1)x + 2y = 4, 3x + 6y = 12trudne
- Zadanie tekstowe o wieku: ojciec i synśrednie
- Zadanie tekstowe: ceny biletów normalnych i ulgowychśrednie
- Zadanie tekstowe: mieszanie soków o różnym stężeniutrudne
- Zadanie tekstowe: suma i różnica dwóch liczbłatwe
wartosc-bezwzgledna-i-parametr
- Dla jakich m rozwiązaniem układu jest para liczb dodatnichśrednie
- Dyskusja nierówności (m + 2)x > 10średnie
- Dyskusja równania (m − 4)x = 8łatwe
- Dyskusja równania (m² − 9)x = m − 3trudne
- Kiedy układ z parametrem jest oznaczony, a kiedy nieoznaczonytrudne
- Nierówność |2x − 1| ≤ 5łatwe
- Nierówność |x + 1| + |x − 3| ≥ 6trudne
- Nierówność |x + 2| < 6łatwe
- Nierówność |x − 1| ≥ 4średnie
- Nierówność |x − 2| < 3xtrudne
- Nierówność |x − 3| > |x + 1|średnie
- Nierówność |x| ≥ x + 2trudne
- Obliczanie wartości bezwzględnej wyrażeńłatwe
- Odległość między liczbami na osi liczbowejłatwe
- Opuszczanie modułu w zależności od znaku wyrażeniatrudne
- Równanie |2x + 1| = 5łatwe
- Równanie |x + 3| + x = 7średnie
- Równanie |x − 1| = |2x + 3|średnie
- Równanie |x − 2| + |x + 1| = 5trudne
- Równanie |x − 2| = 2x − 1średnie
- Równanie |x − 3| = 7łatwe
- Równanie |x − 4| = |x|średnie
- Upraszczanie wyrażeń z wartością bezwzględnąśrednie
- Zapisywanie warunków słownych za pomocą modułuśrednie
- Zapisz przedział ⟨−4; 10⟩ za pomocą modułutrudne
wlasnosci-wybranych-funkcji
- Dziedzina funkcji logarytmicznej f(x) = log(x − 3)łatwe
- Lokata z kapitalizacją roczną - po ilu latach 6000 zł?trudne
- Model wykładniczy: podwajanie liczby bakteriitrudne
- Monotoniczność logarytmu: porównanie log₀,₅4 i log₀,₅9trudne
- Nierówność ½x² < 8 - dla jakich argumentów?trudne
- Nierówność 8/x > 2 - dla jakich argumentów?trudne
- Nierówność wykładnicza: (1/3)ˣ > 9trudne
- Obliczanie logarytmów: log₂8, log₃(1/9), log₅1łatwe
- Parametr w podstawie: kiedy f(x) = (2m − 1)ˣ maleje?średnie
- Porównywanie potęg bez liczenia: (0,5)³ i (0,5)⁵średnie
- Procent składany: lokata 5000 zł na 4% przez 3 lataśrednie
- Proste równania wykładnicze: 2^x = 32 oraz 3^(x−1) = 81średnie
- Przesunięty wykres: własności f(x) = 2ˣ⁺¹ − 8średnie
- Rozpad promieniotwórczy: okres połowicznego rozpaduśrednie
- Równanie logarytmiczne: log₂(x + 1) = 4średnie
- Równanie wykładnicze z ułamkiem: (1/4)ˣ = 8średnie
- Skala logarytmiczna: pH roztworutrudne
- Wartości funkcji wykładniczej f(x) = 3^xłatwe
- Wartości i własności funkcji y = 2x²łatwe
- Wartości i wykres proporcjonalności odwrotnej y = 6/xłatwe
- Wpływ współczynnika a na wykres: y = x², y = 3x², y = −½x²średnie
- Wyznacz a, gdy wykres y = ax² przechodzi przez punkt (2, −12)średnie
- Wzór funkcji f(x) = b · aˣ z dwóch punktów wykresuśrednie
- Wzór proporcjonalności odwrotnej przechodzącej przez punkt (−4, 3)średnie
- Zastosowanie: liczba pracowników a czas pracyśrednie
- Zastosowanie: prędkość a czas przejazdułatwe
wzory-skroconego-mnozenia
- Dowodzenie: (√3 + 1)² + (√3 − 1)² jest liczbą całkowitąłatwe
- Dowodzenie: (√5 + √2)² − 2√10 jest liczbą całkowitątrudne
- Dowodzenie: (√5 + 2)(√5 − 2) jest liczbą całkowitąłatwe
- Dowodzenie: (√6 + 1)² + (√6 − 1)² jest liczbą całkowitąśrednie
- Dowodzenie: (√7 − 3)(√7 + 3) jest liczbą całkowitąłatwe
- Dowodzenie: (2 + √3)² + (2 − √3)² jest liczbą całkowitąśrednie
- Dowodzenie: 1/(√2 − 1) − √2 jest liczbą całkowitąśrednie
- Dowodzenie: 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3) jest liczbą całkowitątrudne
- Liczba odwrotna: odwrotność √5 − 2średnie
- Liczba odwrotna: odwrotność 1 + √2łatwe
- Liczba odwrotna: odwrotność 1 + 2√2średnie
- Liczba odwrotna: odwrotność 2 + √3łatwe
- Liczba odwrotna: odwrotność 2√3 − 3trudne
- Liczba odwrotna: odwrotność 3 + 2√2łatwe
- Liczba odwrotna: odwrotność 3 − √5średnie
- Liczba odwrotna: odwrotność 5 − 2√6trudne
- Mnożenie wyrażeń: kwadrat różnicy (2x − 3)²łatwe
- Mnożenie wyrażeń: kwadrat różnicy (a − 5)²łatwe
- Mnożenie wyrażeń: kwadrat sumy (x + 6)²łatwe
- Mnożenie wyrażeń: kwadrat sumy z dwiema zmiennymi (3x + 2y)²średnie
- Mnożenie wyrażeń: różnica kwadratów (3a + 4)(3a − 4)średnie
- Mnożenie wyrażeń: sześcian różnicy (x − 2)³średnie
- Mnożenie wyrażeń: sześcian sumy (2x + 1)³trudne
- Mnożenie wyrażeń: sześcian sumy (x + 3)³trudne
- Nierówność ze wzorów: (x + 2)² + (x − 2)² ≤ 26trudne
- Nierówność ze wzorów: (x + 2)² > (x − 2)²łatwe
- Nierówność ze wzorów: (x + 3)² ≤ (x + 1)(x + 5)średnie
- Nierówność ze wzorów: (x + 5)(x − 5) ≥ x² − 2xśrednie
- Nierówność ze wzorów: (x − 1)(x + 1) < x² − xśrednie
- Nierówność ze wzorów: (x − 1)² + (x + 1)² > 10trudne
- Nierówność ze wzorów: (x − 3)² ≥ x² − 5łatwe
- Nierówność ze wzorów: (x − 4)² < x² + 8łatwe
- Obliczanie ze wzorów: iloczyn dużych liczb (203 · 197)średnie
- Obliczanie ze wzorów: iloczyn jako różnica kwadratów (52 · 48)średnie
- Obliczanie ze wzorów: kwadrat różnicy (97²)średnie
- Obliczanie ze wzorów: kwadrat różnicy (98²)łatwe
- Obliczanie ze wzorów: kwadrat sumy (21²)łatwe
- Obliczanie ze wzorów: kwadrat sumy (41²)łatwe
- Obliczanie ze wzorów: różnica kwadratów (67² − 33²)trudne
- Obliczanie ze wzorów: różnica kwadratów (84² − 16²)trudne
- Potęgi z pierwiastkami: (√10 − √2)²średnie
- Potęgi z pierwiastkami: (√6 + √2)²średnie
- Potęgi z pierwiastkami: (2√2 + √3)²trudne
- Potęgi z pierwiastkami: (2√3 + √5)²średnie
- Potęgi z pierwiastkami: kwadrat różnicy (√5 − 2)²łatwe
- Potęgi z pierwiastkami: kwadrat różnicy (3 − 2√2)²trudne
- Potęgi z pierwiastkami: kwadrat sumy (√3 + 1)²łatwe
- Potęgi z pierwiastkami: kwadrat sumy (√7 + 2)²łatwe
- Rozkład na czynniki: pełny kwadrat (4x² − 12x + 9)średnie
- Rozkład na czynniki: pełny kwadrat (x² + 14x + 49)łatwe
- Rozkład na czynniki: różnica kwadratów (36x² − 25)łatwe
- Rozkład na czynniki: różnica kwadratów (49 − a²)łatwe
- Rozkład na czynniki: różnica sześcianów (27x³ − 8)średnie
- Rozkład na czynniki: suma sześcianów (x³ + 125)trudne
- Rozkład na czynniki: wspólny czynnik i różnica kwadratów (5x³ − 45x)średnie
- Rozkład na czynniki: wyższa potęga (x⁴ − 81)trudne
- Równanie ze wzorów: (2x − 1)² = (2x + 3)(2x − 3)średnie
- Równanie ze wzorów: (x + 1)² − (x − 1)² = 8łatwe
- Równanie ze wzorów: (x + 2)³ = x³ + 6x² + 10trudne
- Równanie ze wzorów: (x + 3)² + (x − 3)² = 26średnie
- Równanie ze wzorów: (x + 4)² = x² + 24łatwe
- Równanie ze wzorów: (x − 1)³ = x³ − 3x² + 5trudne
- Równanie ze wzorów: (x − 2)(x + 2) = x² − 3x + 2średnie
- Równanie ze wzorów: (x − 5)² = x² − 9łatwe
- Upraszczanie wyrażeń: (2x + 1)(2x − 1) + 1średnie
- Upraszczanie wyrażeń: (a + b)² + (a − b)²trudne
- Upraszczanie wyrażeń: (a + b)² − 2abśrednie
- Upraszczanie wyrażeń: (x + 1)³ − (x − 1)³trudne
- Upraszczanie wyrażeń: (x + 4)² − x²łatwe
- Upraszczanie wyrażeń: (x + 5)² − (x − 5)²łatwe
- Upraszczanie wyrażeń: (x − 3)(x + 3) − (x − 2)²średnie
- Upraszczanie wyrażeń: (x − 6)² + 12xłatwe
- Usuwanie niewymierności: 1/(√5 + √2)średnie
- Usuwanie niewymierności: 10/(√7 + √2)średnie
- Usuwanie niewymierności: 10/√5łatwe
- Usuwanie niewymierności: 12/√6łatwe
- Usuwanie niewymierności: 4/(√7 − √3)średnie
- Usuwanie niewymierności: 4/(2 − √2)trudne
- Usuwanie niewymierności: 6/(3 − √3)trudne
- Usuwanie niewymierności: 6/√3łatwe
- Zależności a, b: oblicz (a + b)², gdy a − b = 4 i ab = 5średnie
- Zależności a, b: oblicz (a − b)², gdy a + b = 8 i ab = 15średnie
- Zależności a, b: oblicz |a + b| i |a − b|, gdy a² + b² = 29 i ab = 10trudne
- Zależności a, b: oblicz a² + b², gdy a + b = 5 i ab = 6łatwe
- Zależności a, b: oblicz a² + b², gdy a + b = 7 i ab = 10łatwe
- Zależności a, b: oblicz a² + b², gdy a − b = 3 i ab = 4łatwe
- Zależności a, b: oblicz ab i (a − b)², gdy a + b = 10 i a² + b² = 58trudne
- Zależności a, b: oblicz ab, gdy a + b = 6 i a² + b² = 20średnie
