Filtr spamu i wzór Bayesa - słowo „gratulacje” w wiadomości

Krok 1. Dane. $S$ - spam, $S'$ - zwykła wiadomość, $G$ - wiadomość zawiera słowo.

$P(S) = 0{,}3, \quad P(S') = 0{,}7, \qquad P(G \mid S) = 0{,}4, \quad P(G \mid S') = 0{,}05.$

Krok 2. Prawdopodobieństwo całkowite dla G.

$P(G) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}7 \cdot 0{,}05 = 0{,}12 + 0{,}035 = 0{,}155.$

Krok 3. Punkt a) - wzór Bayesa.

$P(S \mid G) = \frac{P(S) \cdot P(G \mid S)}{P(G)} = \frac{0{,}12}{0{,}155} = \frac{120}{155} = \frac{24}{31} \approx 0{,}774.$

Krok 4. Punkt b) - to samo dla braku słowa. $P(G' \mid S) = 0{,}6$, $P(G' \mid S') = 0{,}95$, a $P(G') = 1 - 0{,}155 = 0{,}845$. Zatem

$P(S \mid G') = \frac{0{,}3 \cdot 0{,}6}{0{,}845} = \frac{0{,}18}{0{,}845} = \frac{180}{845} = \frac{36}{169} \approx 0{,}213.$

Krok 5. Sens. Jedno słowo podnosi szansę spamu z $30\%$ do około $77\%$, a jego brak obniża ją do około $21\%$. Prawdziwe filtry łączą w ten sposób setki słów - stąd nazwa „filtr bayesowski”.

Odpowiedź. a) $P(S \mid G) = \dfrac{24}{31} \approx 77\%$; b) $P(S \mid G') = \dfrac{36}{169} \approx 21\%$.