Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

Q: Czy wartość bezwzględna może być ujemna?

Nie, nigdy. Z definicji |a| ≥ 0, a zero przyjmuje tylko dla a = 0. Dlatego równanie |x| = -4 nie ma rozwiązań.

Q: Dlaczego w definicji jest -a, skoro moduł ma być nieujemny?

Bo ta część dotyczy tylko a < 0. Dla liczby ujemnej liczba przeciwna jest dodatnia - np. dla a = -5 mamy -a = 5.

Q: Ile wynosi |x| dla x = 0?

Zero. Obie części definicji dają tu ten sam wynik, więc nie ma znaczenia, do której „przypiszemy" zero (przyjmujemy, że do pierwszej).

Q: Czy |a + b| = |a| + |b|?

Nie zawsze. Dla a = 3, b = -5 mamy |3 - 5| = 2, ale |3| + |-5| = 8. Zachodzi jedynie nierówność |a+b| ≤ |a| + |b| - wrócimy do niej w lekcji o własnościach.

Q: Jak obliczyć |x-3|, nie znając x?

Nie da się jednym wzorem - trzeba rozważyć dwa przypadki zależnie od znaku wyrażenia x - 3. Z tego bierze się metoda przypadków przy równaniach.

Klasa 2 liceum i technikum

Definicja wartości bezwzględnej

$|a| = \begin{cases} a & \text{dla } a \ge 0 \\ -a & \text{dla } a < 0 \end{cases}$

$|a| \ge 0, \qquad |a| = 0 \iff a = 0, \qquad |-a| = |a|, \qquad \sqrt{a^2} = |a|$

Geometrycznie: $|a|$ to odległość liczby $a$ od zera na osi liczbowej.

Dwa sposoby patrzenia na moduł

Rachunkowy - definicja z ramki: liczbom nieujemnym moduł nic nie robi, a liczbom ujemnym zmienia znak na przeciwny.

$|7| = 7, \qquad |0| = 0, \qquad |-7| = -(-7) = 7.$

Geometryczny - moduł to odległość od zera. Liczby $-3$ i $3$ leżą po przeciwnych stronach zera, ale w tej samej odległości, więc mają tę samą wartość bezwzględną.

Liczby −3 i 3 leżą w tej samej odległości od zera, dlatego |−3| = |3| = 3.

Obliczanie wartości bezwzględnej wyrażeń

Gdy pod modułem stoi wyrażenie, najpierw je obliczamy, a dopiero potem stosujemy definicję.

$|3 - 8| = |-5| = 5, \qquad |2 \cdot 4 - 10| = |-2| = 2, \qquad |-3| - |-5| = 3 - 5 = -2.$

Ostatni przykład warto zapamiętać: wartość całego wyrażenia z modułami może być ujemna - nieujemna jest tylko sama wartość bezwzględna.

Moduł wyrażenia z niewiadomą

Tutaj nie znamy znaku wyrażenia, więc trzeba rozważyć oba przypadki. Weźmy $|x - 3|$ :

dla $x \ge 3$ wyrażenie $x - 3$ jest nieujemne, więc $|x - 3| = x - 3$ ;
dla $x < 3$ jest ujemne, więc $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$ .

Przykład. Zapiszmy $|x - 3|$ bez modułu dla $x = 1$ : skoro $1 < 3$ , mamy $|1 - 3| = 3 - 1 = 2$ . Zgadza się z rachunkiem wprost: $|-2| = 2$ .

Uwaga na znak minus. Zapis $-a$ nie oznacza liczby ujemnej - oznacza liczbę przeciwną do $a$ . Dla $a = -5$ mamy $-a = 5$ . Dlatego druga część definicji nie kłóci się z tym, że moduł jest nieujemny.

Wartość bezwzględna a pierwiastek

Z definicji pierwiastka arytmetycznego wynika ważna równość:

$\sqrt{a^2} = |a|.$

Nie $a$ , tylko $|a|$ - bo pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny. Sprawdźmy dla $a = -6$ : $\sqrt{(-6)^2} = \sqrt{36} = 6 = |-6|$ .

Najczęstsze pytania

Czy wartość bezwzględna może być ujemna? Nie, nigdy. Z definicji $|a| \ge 0$ , a zero przyjmuje tylko dla $a = 0$ . Dlatego równanie $|x| = -4$ nie ma rozwiązań.

Dlaczego w definicji jest $-a$ , skoro moduł ma być nieujemny? Bo ta część dotyczy tylko $a < 0$ . Dla liczby ujemnej liczba przeciwna jest dodatnia - np. dla $a = -5$ mamy $-a = 5$ .

Ile wynosi $|x|$ dla $x = 0$ ? Zero. Obie części definicji dają tu ten sam wynik, więc nie ma znaczenia, do której „przypiszemy” zero (przyjmujemy, że do pierwszej).

Czy $|a + b| = |a| + |b|$ ? Nie zawsze. Dla $a = 3$ , $b = -5$ mamy $|3 - 5| = 2$ , ale $|3| + |-5| = 8$ . Zachodzi jedynie nierówność $|a+b| \le |a| + |b|$ - wrócimy do niej w lekcji o własnościach.

Jak obliczyć $|x-3|$ , nie znając $x$ ? Nie da się jednym wzorem - trzeba rozważyć dwa przypadki zależnie od znaku wyrażenia $x - 3$ . Z tego bierze się metoda przypadków przy równaniach.

Przećwicz

Podstawy modułu → - obliczanie wartości bezwzględnej, odległości i opuszczanie modułu.

Podsumowanie

$|a| = a$ dla $a \ge 0$ oraz $|a| = -a$ dla $a < 0$ .
Geometrycznie: $|a|$ to odległość liczby $a$ od zera.
Zawsze $|a| \ge 0$ , przy czym $|a| = 0$ tylko dla $a = 0$ ; ponadto $|-a| = |a|$ .
$\sqrt{a^2} = |a|$ - pierwiastek arytmetyczny jest nieujemny.
Moduł wyrażenia z niewiadomą opuszczamy, rozważając znak wyrażenia pod modułem.