Wykres funkcji y = k·f(x) oraz y = f(k·x)

Klasa 2 liceum i technikum

Mnożenie wartości: y = k·f(x)

Każda wartość funkcji zostaje pomnożona przez $k$, więc punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi w $(x_0,\ k \cdot y_0)$. Argument się nie zmienia - wykres „rozciąga się” albo „spłaszcza” w pionie, jak gumka przypięta do osi $OX$.

• $k > 1$ - rozciągnięcie w pionie (wykres staje się bardziej stromy);
• $0 < k < 1$ - ściśnięcie w pionie (wykres się spłaszcza);
• $k < 0$ - to samo co wyżej, ale dodatkowo odbicie względem osi $OX$ (bo $k \cdot f(x) = -|k| \cdot f(x)$);
• $k = 1$ - nic się nie zmienia.

Co się zmienia: zbiór wartości (mnoży się przez $k$) oraz wartość najmniejsza i największa. Co zostaje: dziedzina i miejsca zerowe - bo $k \cdot 0 = 0$, więc punkty leżące na osi $OX$ nie ruszają się z miejsca.

Mnożenie argumentu: y = f(k·x)

Tutaj mnożymy to, co wchodzi do funkcji. Żeby dostać tę samą wartość co wcześniej, argument musi być $k$ razy mniejszy - dlatego punkt $(x_0, y_0)$ przechodzi w $\left(\tfrac{x_0}{k},\ y_0\right)$.

To odwrotność intuicji, więc warto zapamiętać przez przykład: w funkcji $f(2x)$ to, co działo się w $x = 4$, dzieje się teraz w $x = 2$ - wykres ściska się dwukrotnie.

• $k > 1$ - ściśnięcie w poziomie (wykres „zbiega się” do osi $OY$);
• $0 < k < 1$ - rozciągnięcie w poziomie;
• $k < 0$ - to samo plus odbicie względem osi $OY$.

Co się zmienia: dziedzina (dzieli się przez $k$) i miejsca zerowe (też dzielą się przez $k$). Co zostaje: zbiór wartości, wartość najmniejsza i największa.

Przykład - odczytywanie ze wzoru

Niech wykres funkcji $f$ przechodzi przez punkt $(6, 4)$. Przez jakie punkty przechodzą wykresy:

• $y = 3f(x)$? Wartość mnożymy przez $3$: punkt $(6, 12)$.
• $y = \tfrac{1}{2}f(x)$? Wartość dzielimy przez $2$: punkt $(6, 2)$.
• $y = f(3x)$? Argument dzielimy przez $3$: punkt $(2, 4)$.
• $y = f\left(\tfrac{1}{2}x\right)$? Argument mnożymy przez $2$: punkt $(12, 4)$.

Warto zauważyć symetrię tych reguł: przy wartościach mnożymy, przy argumentach - dzielimy.

Ujemne k - dwa efekty naraz

Dla $k < 0$ rozkładamy przekształcenie na dwa kroki, na przykład:

$y = -2f(x) \quad \text{to} \quad y = 2f(x) \ \text{ (rozciągnięcie)}, \ \text{ a potem} \ y = -\big(2f(x)\big) \ \text{ (odbicie w } OX).$

Podobnie $y = f(-3x)$ to ściśnięcie trzykrotne i odbicie względem osi $OY$. Kolejność tych dwóch kroków nie ma znaczenia.

Najczęstsze pytania

Dlaczego przy argumencie działa „odwrotnie”? Bo mnożymy to, co wchodzi do funkcji. Żeby wynik był ten sam, argument musi być odpowiednio mniejszy - stąd dzielenie przez $k$ i ściskanie wykresu przy $k > 1$.

Czy $y = k \cdot f(x)$ zmienia miejsca zerowe? Nie, bo $k \cdot 0 = 0$. Zmieniają się natomiast przy $y = f(kx)$ - tam każde miejsce zerowe dzieli się przez $k$.

Czy $2f(x)$ i $f(2x)$ mogą dać ten sam wykres? Dla szczególnych funkcji tak - np. dla $f(x) = x$ obie dają $y = 2x$. W ogólności to zupełnie różne przekształcenia.

Jak wygląda $y = 0 \cdot f(x)$? To funkcja stała $y = 0$, czyli cała oś $OX$ - dlatego w tym przekształceniu zakładamy $k \ne 0$. Podobnie $f(0 \cdot x) = f(0)$ byłoby funkcją stałą.

Gdzie widać to w praktyce? Współczynnik $a$ w funkcji kwadratowej $y = ax^2$ to dokładnie to przekształcenie: im większe $|a|$, tym parabola węższa, a ujemne $a$ odwraca ramiona.

Przećwicz

• Wykresy z modułem, rozciąganie i ściskanie → - obrazy punktów przy rozciąganiu i ściskaniu wykresu.

Podsumowanie

• $y = k \cdot f(x)$: $(x, y) \to (x, ky)$ - zmiana w pionie; miejsca zerowe zostają.
• $y = f(kx)$: $(x, y) \to \left(\tfrac{x}{k}, y\right)$ - zmiana w poziomie; zbiór wartości zostaje.
• $|k| > 1$: rozciągnięcie w pionie / ściśnięcie w poziomie; $0 < |k| < 1$ - odwrotnie.
• Ujemne $k$ dokłada odbicie: w osi $OX$ (przy wartościach) albo $OY$ (przy argumentach).