Figura wypukła i ograniczona. Punkt, prosta, odcinek, kąt

Q: Jak sprawdzić, że figura jest wypukła?

Trzeba uzasadnić, że dla każdych dwóch punktów figury odcinek je łączący mieści się w figurze. Aby pokazać, że figura wypukła nie jest - wystarczy jeden kontrprzykład.

Klasa 1 liceum i technikum

Pojęcia wstępne - co warto zapamiętać

Punkt i prosta to pojęcia pierwotne - nie definiujemy ich, tylko opisujemy ich własności.

Odcinek $AB$ - punkty $A$ , $B$ i wszystkie punkty prostej $AB$ leżące między nimi.

Kąty: ostry $(0^\circ, 90^\circ)$ , prosty $90^\circ$ , rozwarty $(90^\circ, 180^\circ)$ , półpełny $180^\circ$ , pełny $360^\circ$ .

Figura wypukła - wraz z każdymi dwoma punktami zawiera cały łączący je odcinek.

Pojęcia pierwotne: punkt, prosta, płaszczyzna

Każdą teorię matematyczną trzeba od czegoś zacząć. W geometrii tymi „cegiełkami” są pojęcia pierwotne: punkt, prosta i płaszczyzna. Nie definiujemy ich (nie ma prostszych pojęć, którymi moglibyśmy to zrobić) - przyjmujemy je jako znane i opisujemy ich własności w aksjomatach, np. przez każde dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.

Umowy w oznaczeniach: punkty oznaczamy wielkimi literami ( $A$ , $B$ , $P$ ), proste - małymi ( $k$ , $l$ , $m$ ) albo parą punktów (prosta $AB$ ). Prosta jest nieograniczona - nie ma początku ani końca (strzałki na rysunku tylko to sygnalizują).

Odcinek, półprosta, łamana

Odcinkiem $AB$ nazywamy figurę złożoną z punktów $A$ i $B$ oraz wszystkich punktów prostej $AB$ leżących między nimi. Punkty $A$ , $B$ to końce odcinka, a odległość $|AB|$ to jego długość.

Półprostą o początku $A$ przechodzącą przez punkt $B$ nazywamy figurę złożoną z punktu $A$ i wszystkich punktów prostej $AB$ leżących po tej samej stronie punktu $A$ co $B$ .

Różnice łatwo zapamiętać „kinematycznie”: prosta biegnie w obie strony bez końca, półprosta ma początek, ale nie ma końca, a odcinek ma i początek, i koniec.

Łamana to figura złożona z odcinków „sklejonych” końcami (kolejny zaczyna się tam, gdzie poprzedni się kończy). Jeśli koniec ostatniego odcinka pokrywa się z początkiem pierwszego, łamaną nazywamy zamkniętą - tak powstają wielokąty, którymi zajmiemy się za trzy lekcje.

Kąt i rodzaje kątów

Kątem nazywamy figurę złożoną z dwóch półprostych o wspólnym początku (ramion kąta) oraz jednej z dwóch części płaszczyzny przez nie wyznaczonych. Wspólny początek ramion to wierzchołek kąta.

Kąty mierzymy w stopniach i klasyfikujemy według miary:

kąt ostry - większy od $0^\circ$ i mniejszy od $90^\circ$ ;
kąt prosty - dokładnie $90^\circ$ (ramiona prostopadłe; na rysunku oznaczamy go łukiem z kropką);
kąt rozwarty - większy od $90^\circ$ i mniejszy od $180^\circ$ ;
kąt półpełny - $180^\circ$ (ramiona tworzą prostą);
kąt pełny - $360^\circ$ (ramiona się pokrywają, kąt obejmuje całą płaszczyznę).

Kąt ostry (mniejszy od 90°), kąt prosty (dokładnie 90°, oznaczany łukiem z kropką) i kąt rozwarty (między 90° a 180°).

Dwa kąty o wspólnym ramieniu, których pozostałe ramiona tworzą prostą, to kąty przyległe - ich miary sumują się do $180^\circ$ . Kąty, których ramiona są przedłużeniami ramion drugiego kąta (powstają przy przecięciu dwóch prostych), to kąty wierzchołkowe - mają równe miary. Wrócimy do nich przy prostych przeciętych trzecią prostą.

Figura wypukła

Figurę nazywamy wypukłą, jeżeli dla każdych dwóch punktów tej figury odcinek łączący te punkty jest w całości zawarty w figurze.

Intuicyjnie: figura wypukła nie ma „wcięć” ani „zatok”. Wypukłe są m.in.: prosta, odcinek, koło, trójkąt, prostokąt, cała płaszczyzna. Wypukły jest też każdy kąt o mierze nie większej niż $180^\circ$ (stąd nazwa kąt wypukły); kąt większy od półpełnego nazywamy wklęsłym.

W figurze wypukłej każdy odcinek o końcach należących do figury leży w niej w całości. W figurze niewypukłej (po prawej) odcinek może „wyjść" poza figurę.

Żeby wykazać, że figura nie jest wypukła, wystarczy wskazać jedną parę punktów, dla której odcinek wychodzi poza figurę (kontrprzykład). Żeby wykazać wypukłość, trzeba uzasadnić warunek dla każdej pary punktów.

Figura ograniczona

Figurę nazywamy ograniczoną, jeżeli można ją w całości zawrzeć w pewnym kole.

Ograniczone są np. odcinek, trójkąt, koło (mieszczą się w odpowiednio dużym kole). Nieograniczone są: prosta, półprosta, kąt (o ramionach niezerowych), cała płaszczyzna - żadne koło, choćby ogromne, ich nie pomieści.

Obie cechy są niezależne: koło jest wypukłe i ograniczone, kąt ostry - wypukły, ale nieograniczony, figura w kształcie litery L - niewypukła, ale ograniczona.

Najczęstsze pytania

Dlaczego punktu i prostej się nie definiuje? Bo od czegoś trzeba zacząć - każda definicja używa pojęć wcześniejszych. Punkt, prosta i płaszczyzna to pojęcia pierwotne: przyjmujemy je bez definicji, a ich własności opisują aksjomaty.

Czym różni się odcinek od półprostej? Odcinek ma dwa końce i skończoną długość; półprosta ma początek, ale biegnie bez końca w jedną stronę. Prosta nie ma ani początku, ani końca.

Jak sprawdzić, że figura jest wypukła? Trzeba uzasadnić, że dla każdych dwóch punktów figury odcinek je łączący mieści się w figurze. Aby pokazać, że figura wypukła nie jest - wystarczy jeden kontrprzykład.

Czy kąt jest figurą ograniczoną? Nie - ramiona kąta to półproste, które biegną w nieskończoność, więc kąta nie da się zamknąć w żadnym kole.

Podsumowanie

Punkt, prosta, płaszczyzna - pojęcia pierwotne (bez definicji).
Odcinek: dwa końce; półprosta: początek bez końca; prosta: bez początku i końca.
Kąty: ostry $< 90^\circ$ , prosty $= 90^\circ$ , rozwarty $\in (90^\circ, 180^\circ)$ , półpełny $= 180^\circ$ , pełny $= 360^\circ$ ; przyległe sumują się do $180^\circ$ , wierzchołkowe są równe.
Figura wypukła: zawiera każdy odcinek o końcach w figurze; ograniczona: mieści się w pewnym kole.