Podział trójkątów. Nierówność trójkąta. Odcinek łączący środki boków

Klasa 1 liceum i technikum

Podział trójkątów

Trójkąty klasyfikujemy na dwa niezależne sposoby.

Ze względu na boki:

• różnoboczny - wszystkie boki różnej długości;
• równoramienny - co najmniej dwa boki (ramiona) równe; kąty przy podstawie są wtedy równe;
• równoboczny - wszystkie trzy boki równe; każdy kąt ma $60^\circ$ (szczególny przypadek równoramiennego).

Ze względu na kąty:

• ostrokątny - wszystkie kąty ostre;
• prostokątny - jeden kąt prosty (boki przy nim to przyprostokątne, najdłuższy bok naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna);
• rozwartokątny - jeden kąt rozwarty.

Ponieważ suma kątów trójkąta to $180^\circ$, trójkąt może mieć co najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty. Obie klasyfikacje można łączyć: np. trójkąt prostokątny równoramienny (kąty $90^\circ, 45^\circ, 45^\circ$).

Nierówność trójkąta

Czy z każdych trzech odcinków da się zbudować trójkąt? Nie! Spróbuj zbudować trójkąt z odcinków 1 cm, 2 cm i 10 cm - dwa krótkie „nie dosięgną” końców długiego.

Nierówność trójkąta. Odcinki o długościach $a$, $b$, $c$ są bokami pewnego trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy suma długości każdych dwóch z nich jest większa od długości trzeciego: $a + b > c$, $\ b + c > a$, $\ a + c > b$.

W praktyce nie trzeba sprawdzać trzech nierówności - wystarczy jedna:

Jeśli $c$ jest najdłuższym z trzech odcinków, wystarczy sprawdzić, czy $a + b > c$. (Pozostałe dwie nierówności są wtedy spełnione automatycznie, bo do dłuższego boku dodajemy dodatnią długość.)

Uwaga na przypadek graniczny: gdy $a + b = c$, trójkąt nie powstaje - odcinki układają się w jeden odcinek (trójkąt „zdegenerowany”).

Przykład 1. Czy istnieje trójkąt o bokach $4$, $7$, $12$?

Najdłuższy bok: $12$. Sprawdzamy: $4 + 7 = 11 < 12$. Nie istnieje.

Przykład 2. Czy istnieje trójkąt o bokach $5$, $6$, $9$?

Najdłuższy bok: $9$. Sprawdzamy: $5 + 6 = 11 > 9$. Istnieje.

Przykład 3. Dla jakich wartości $x$ istnieje trójkąt o bokach $4$, $7$ i $x$?

Krok 1. Bok $x$ musi być krótszy od sumy pozostałych: $x < 4 + 7 = 11$.

Krok 2. Najdłuższy może być też bok $7$: wtedy $4 + x > 7$, czyli $x > 3$.

Odpowiedź: $3 < x < 11$. (Ogólnie: trzeci bok jest zawsze większy od różnicy i mniejszy od sumy dwóch pozostałych.)

Odcinek łączący środki boków trójkąta

Twierdzenie. Odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku, a jego długość jest równa połowie długości tego boku.

Skąd to wiadomo? To wniosek z twierdzenia Talesa (a dokładniej z twierdzenia odwrotnego): skoro $\tfrac{|CM|}{|CA|} = \tfrac{|CN|}{|CB|} = \tfrac{1}{2}$, to prosta $MN$ jest równoległa do $AB$, a proporcja $\tfrac{1}{2}$ przenosi się na długości odcinków. Trzy pełne dowody, twierdzenie odwrotne, linię środkową trapezu i twierdzenie Varignona opisuje hasło odcinek łączący środki boków trójkąta.

Przykład 4. W trójkącie $ABC$ punkty $M$ i $N$ są środkami boków $AC$ i $BC$, a $|MN| = 7$. Oblicz $|AB|$.

Z twierdzenia: $|MN| = \tfrac{1}{2}|AB|$, więc $|AB| = 2 \cdot 7 = 14$.

Przykład 5. Boki trójkąta mają długości $8$, $10$ i $12$. Jaki obwód ma trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków tego trójkąta?

Każdy bok „trójkąta środkowego” łączy środki dwóch boków, ma więc długość połowy odpowiedniego boku: $4$, $5$ i $6$. Obwód: $4 + 5 + 6 = 15$ - połowa obwodu wyjściowego trójkąta.

Najczęstsze pytania

Jak szybko sprawdzić, czy z trzech odcinków powstanie trójkąt? Porównaj sumę dwóch krótszych z najdłuższym: jeśli suma jest większa - trójkąt istnieje, jeśli równa lub mniejsza - nie.

Czy trójkąt równoboczny jest równoramienny? Tak - ma (co najmniej) dwa równe boki, spełnia więc definicję trójkąta równoramiennego. To jego szczególny przypadek.

Ile kątów rozwartych może mieć trójkąt? Najwyżej jeden. Dwa kąty rozwarte dawałyby sumę ponad $180^\circ$ - sprzeczność z twierdzeniem o sumie kątów.

Co mówi twierdzenie o odcinku łączącym środki boków? Że ten odcinek jest równoległy do trzeciego boku i dwa razy od niego krótszy. Bywa nazywany „odcinkiem środkowym” trójkąta.

Przećwicz

• Kąty w trójkącie → - także trójkąt równoramienny i dwusieczna.

Podsumowanie

• Podział wg boków: różnoboczny / równoramienny / równoboczny; wg kątów: ostrokątny / prostokątny / rozwartokątny.
• Nierówność trójkąta: suma każdych dwóch boków większa od trzeciego; test praktyczny - dwa krótsze kontra najdłuższy.
• Trzeci bok trójkąta: większy od różnicy, mniejszy od sumy pozostałych.
• Odcinek łączący środki boków: równoległy do trzeciego boku, o długości równej jego połowie.