Matura czerwiec 2026 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych istnieją i są ujemne: $\sqrt[3]{-64} = -4$ (bo $(-4)^3 = -64$), $\sqrt[3]{27} = 3$ oraz $\sqrt[5]{-32} = -2$ (bo $(-2)^5 = -32$). Stąd

$\frac{\sqrt[3]{-64} + \sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}} = \frac{-4 + 3}{-2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}.$

Pułapka: odpowiedź B (liczba $-\frac{1}{2}$) wychodzi, gdy zgubimy jeden z minusów - iloraz dwóch liczb ujemnych jest dodatni.

Odpowiedź: C. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny oraz zadania z pierwiastków.

Dzielenie przez potęgę o wykładniku ujemnym to mnożenie przez potęgę o wykładniku dodatnim: $\frac{1}{3^{-20}} = 3^{20}$. Następnie zapisujemy $3^{20}$ jako potęgę dziewiątki: $3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}$.

$\frac{9^4}{3^{-20}} = 9^4 \cdot 3^{20} = 9^4 \cdot 9^{10} = 9^{14}.$

Pułapka: odpowiedź B ($9^{-6} = 9^{4 - 10}$) wychodzi, gdy przy dzieleniu odejmiemy $10$ zamiast odjąć $-10$. Pozostałe dystraktory biorą się z pomylenia podstaw $3$ i $9$ - przed użyciem praw działań na potęgach obie liczby muszą mieć tę samą podstawę.

Odpowiedź: C. Zobacz: potęga o wykładniku całkowitym ujemnym oraz zadania z potęg.

Zapisujemy liczbę logarytmowaną jako potęgę podstawy $5$: $\sqrt[3]{25} = \sqrt[3]{5^2} = 5^{\frac{2}{3}}$. Logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, więc

$\log_5 \sqrt[3]{25} = \log_5 5^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3}.$

Można też skorzystać ze wzoru na logarytm potęgi: $\log_5 25^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_5 25 = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$. Odpowiedź C ($\frac{3}{2}$) to odwrócony ułamek - pomylenie, czy $2$ jest w liczniku, czy w mianowniku.

Odpowiedź: B. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z logarytmów.

Wyłączamy $x$ przed nawias, a w nawiasie rozpoznajemy kwadrat różnicy:

$x^3 - 2x^2 + x = x\left(x^2 - 2x + 1\right) = x(x - 1)^2.$

Kontrola: $x(x - 1)^2 = x(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x$. Odpowiedź B to rozkład wyrażenia $x^3 - x$, a nie naszego; wystarczy podstawić $x = 2$: nasze wyrażenie daje $8 - 8 + 2 = 2$, a $x(x-1)(x+1)$ daje $2 \cdot 1 \cdot 3 = 6$.

Odpowiedź: A. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania ze wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Zapisujemy wszystkie składniki przez $7^n$. Z praw działań na potęgach $7^{n+1} = 7^n \cdot 7$ oraz $7^{n+2} = 7^n \cdot 49$, więc

$7^n + 7^{n+1} + 7^{n+2} = 7^n + 7 \cdot 7^n + 49 \cdot 7^n.$

Krok 2. Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

$7^n + 7 \cdot 7^n + 49 \cdot 7^n = 7^n (1 + 7 + 49) = 7^n \cdot 57 = 19 \cdot 3 \cdot 7^n.$

Krok 3. Wniosek. Dla każdej liczby całkowitej $n \ge 0$ liczba $3 \cdot 7^n$ jest liczbą całkowitą, więc nasza suma jest iloczynem liczby $19$ i liczby całkowitej - czyli jest podzielna przez $19$. To kończy dowód.

(Sprawdzenie na przykładzie: dla $n = 0$ mamy $1 + 7 + 49 = 57 = 19 \cdot 3$.) Uwaga: samo sprawdzenie dla kilku wartości $n$ nie jest dowodem - według zasad oceniania daje $0$ punktów. Punkt za pierwszy etap przysługuje za przekształcenie sumy do postaci $7^n(1 + 7 + 7^2)$.

Odpowiedź: liczba jest równa $19 \cdot 3 \cdot 7^n$, więc dzieli się przez $19$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód oraz zadania z potęg.

Najpierw iloczyn, potem różnica - i cały iloczyn odejmujemy w nawiasie:

$V(x) \cdot H(x) = (x^3 + 1)(x - 2) = x^4 - 2x^3 + x - 2,$

$W(x) - V(x) \cdot H(x) = x^4 - \left(x^4 - 2x^3 + x - 2\right) = x^4 - x^4 + 2x^3 - x + 2 = 2x^3 - x + 2.$

Pułapka: odpowiedź B ma odwrócone znaki przy $x$ i wyrazie wolnym - tak wychodzi, gdy przy odejmowaniu zmienimy znak tylko pierwszego składnika w nawiasie.

Odpowiedź: A. Zobacz: wielomiany oraz zadania z działań na wyrażeniach algebraicznych.

Dzielimy obie strony przez $-2$, zmieniając zwrot nierówności:

$(x + 3)(x - 2) < 0.$

Miejsca zerowe lewej strony to $x = -3$ oraz $x = 2$; współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości ujemne między miejscami zerowymi. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do zbioru rozwiązań: $x \in (-3, 2)$.

Kontrola: dla $x = 0$ mamy $-2 \cdot 3 \cdot (-2) = 12 > 0$ - zgadza się. Odpowiedź A to pułapka na nierówność nieostrą, a C i D zamieniają znaki miejsc zerowych.

Odpowiedź: B. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Krok 1. Mnożymy „na krzyż”. Przy założeniach $x \ne 0$ i $x \ne 1$ oba mianowniki są różne od zera, więc równanie jest równoważne równaniu

$(3x + 4) \cdot 3x = (x - 1)(x + 3).$

Krok 2. Sprowadzamy do równania kwadratowego.

$9x^2 + 12x = x^2 + 2x - 3 \quad\Longrightarrow\quad 8x^2 + 10x + 3 = 0.$

Krok 3. Rozwiązujemy. $\Delta = 10^2 - 4 \cdot 8 \cdot 3 = 100 - 96 = 4$, $\sqrt{\Delta} = 2$, więc

$x_1 = \frac{-10 - 2}{16} = -\frac{12}{16} = -\frac{3}{4}, \qquad x_2 = \frac{-10 + 2}{16} = -\frac{8}{16} = -\frac{1}{2}.$

Obie liczby są różne od $0$ i od $1$, więc obie są rozwiązaniami równania.

Krok 4. Wybieramy rozwiązania z przedziału $\left(-\infty, -\frac{2}{3}\right)$. Ponieważ $-\frac{3}{4} = -0{,}75 < -0{,}(6)$, liczba $-\frac{3}{4}$ należy do przedziału. Natomiast $-\frac{1}{2} = -0{,}5 > -\frac{2}{3}$, więc $-\frac{1}{2}$ do niego nie należy.

Kontrola: dla $x = -\frac{3}{4}$ lewa strona to $\frac{-\frac{9}{4} + 4}{-\frac{7}{4}} = \frac{\frac{7}{4}}{-\frac{7}{4}} = -1$, a prawa $\frac{\frac{9}{4}}{-\frac{9}{4}} = -1$.

Pułapki z zasad oceniania: pomnożenie „na krzyż” w złym kierunku, np. $(3x + 4)(x + 3) = (x - 1) \cdot 3x$, daje $0$ punktów za całe zadanie, a podanie obu pierwiastków bez wybrania tego z przedziału - $2$ punkty z $3$.

Odpowiedź: $x = -\dfrac{3}{4}$. Zobacz: funkcja wymierna, miejsca zerowe i postać iloczynowa oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Pierwsze równanie jest w każdej odpowiedzi takie samo: $x + y = 198$. Różnica jest w drugim. Po dosadzeniu $18$ drzew iglastych byłoby ich $x + 18$, a liczba drzew liściastych $y$ się nie zmienia. „Liściastych byłoby $3$ razy więcej niż iglastych” oznacza, że liczba liściastych to trzykrotność nowej liczby iglastych:

$y = 3(x + 18).$

Pułapki: w A trzykrotność stoi po złej stronie ($x + 18 = 3y$ znaczyłoby, że to iglastych jest trzy razy więcej), w B zabrakło nawiasu (mnożone jest tylko $x$, a nie $x + 18$), a C to wersja z odwróconym stosunkiem.

Dla porządku: układ D daje $x + 3x + 54 = 198$, czyli $x = 36$ drzew iglastych i $y = 162$ liściastych; istotnie $162 = 3 \cdot 54$.

Odpowiedź: D. Zobacz: zastosowanie układów równań oraz zadania z układów równań.

Zdanie 1. O monotoniczności funkcji liniowej decyduje współczynnik kierunkowy $a = 3 > 0$, więc funkcja jest rosnąca. Prawda.

Zdanie 2. Punkt przecięcia z osią $Oy$ ma pierwszą współrzędną $0$: $f(0) = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -4)$, a nie $(0, 4)$. Fałsz. Pułapka polega na znaku wyrazu wolnego.

Odpowiedź: P, F. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej.

Miejsce zerowe to argument, dla którego wartość funkcji wynosi $0$. Podstawiamy $x = 2$:

$f(2) = 2 \cdot 2^2 - k \cdot 2 + 6 = 8 - 2k + 6 = 14 - 2k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 7.$

Kontrola: $f(x) = 2x^2 - 7x + 6 = (2x - 3)(x - 2)$, więc $2$ jest miejscem zerowym. Odpowiedź B ($-7$) to błąd znaku przy przenoszeniu $-2k$ na drugą stronę.

Odpowiedź: C. Zobacz: miejsca zerowe i postać iloczynowa oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Miejsca zerowe to argumenty, dla których wykres przecina oś $Ox$. Z rysunku widać trzy takie punkty; potwierdzamy je rachunkiem na każdym kawałku:

• $\frac{4}{3}x + \frac{14}{3} = 0 \Rightarrow x = -\frac{14}{4} = -\frac{7}{2}$, a $-\frac{7}{2} \in [-5, -2)$;
• $\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow x = -2$, a $-2 \in [-2, 2]$ (to pełne kółko na osi $Ox$);
• $-3x + 9 = 0 \Rightarrow x = 3$, a $3 \in (2, 4)$.

Funkcja ma więc dokładnie $3$ miejsca zerowe: $-\frac{7}{2}$, $-2$ oraz $3$.

Największa wartość. Najwyższy punkt wykresu to $(2, 3)$ - pełne kółko, więc wartość $3$ jest osiągana, dla argumentu $x = 2$. Puste kółko w punkcie $(-2, 2)$ leży niżej, a i tak nie należy do wykresu (dla $x = -2$ obowiązuje drugi wzór, który daje $f(-2) = 0$).

Odpowiedź: 1. $3$ miejsca zerowe; 2. dla argumentu $2$.

Dziedzina to suma przedziałów, na których określono funkcję: $[-5, -2) \cup [-2, 2] \cup (2, 4) = [-5, 4)$. Lewy koniec $-5$ należy do dziedziny (pełne kółko w punkcie $(-5, -2)$), prawy koniec $4$ nie (puste kółko w punkcie $(4, -3)$).

Wartości nieujemne ($f(x) \ge 0$) funkcja przyjmuje tam, gdzie wykres leży na osi $Ox$ lub nad nią: od pierwszego miejsca zerowego $-\frac{7}{2}$ (na pierwszym, rosnącym kawałku) do ostatniego miejsca zerowego $3$ (na trzecim, malejącym kawałku). Oba końce należą do zbioru, bo w nich $f(x) = 0$:

$\left[-\frac{7}{2}, 3\right].$

Zasady oceniania podkreślają, że przedział musi mieć poprawne końce i jednoznacznie zapisane nawiasy (otwarty czy domknięty) - zapis $(-5, 4)$ zamiast $[-5, 4)$ nie dostaje punktu.

Odpowiedź: 1. $[-5, 4)$; 2. $\left[-\frac{7}{2}, 3\right]$. Zobacz: odczytywanie własności funkcji z wykresu oraz zadania z własności funkcji.

Parabola jest symetryczna względem prostej $x = -3$ (pionowej prostej przez wierzchołek). Dwa różne argumenty dają tę samą wartość dokładnie wtedy, gdy leżą symetrycznie względem tej osi, czyli gdy ich średnia wynosi $-3$:

$\frac{t + (-9)}{2} = -3 \quad\Longrightarrow\quad t - 9 = -6 \quad\Longrightarrow\quad t = 3.$

Sprawdzenie: $-9$ leży $6$ jednostek na lewo od osi $x = -3$, a $3$ leży $6$ jednostek na prawo.

Odpowiedź: A. Zobacz: szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej.

Wykres funkcji $g(x) = f(x - 5)$ powstaje z wykresu $f$ przez przesunięcie o $5$ jednostek w prawo (wzdłuż osi $Ox$). Wierzchołek przesuwa się tak samo:

$W' = (-3 + 5, 7) = (2, 7).$

Pułapka: odpowiedź A ($(-8, 7)$) to przesunięcie w lewo - znak minus we wzorze $f(x - 5)$ oznacza ruch w prawo, nie w lewo. Odpowiedzi B i C zmieniają drugą współrzędną, a przesunięcie wzdłuż osi $Ox$ jej nie rusza.

Odpowiedź: D. Zobacz: przesunięcie wzdłuż osi Ox oraz zadania z przekształceń wykresów.

Każdy kolejny wyraz jest o $6$ mniejszy od poprzedniego, więc wypisujemy po kolei:

$a_1 = 2, \quad a_2 = -4, \quad a_3 = -10, \quad a_4 = -16, \quad a_5 = -22.$

Można też od razu: $a_5 = a_1 - 4 \cdot 6 = 2 - 24 = -22$ (cztery kroki od pierwszego do piątego wyrazu). Pułapki: $-16$ to $a_4$, a $-28$ to $a_6$ - łatwo pomylić się o jeden krok.

Odpowiedź: C.

Zdanie 1. Różnica kolejnych wyrazów jest stała: $a_{n+1} - a_n = -6$ dla każdego $n$. To dokładnie definicja ciągu arytmetycznego (o różnicy $r = -6$). Prawda.

Zdanie 2. Skoro $a_{n+1} - a_n = -6 < 0$, to każdy wyraz jest mniejszy od poprzedniego - ciąg jest malejący. Prawda.

Odpowiedź: P, P. Zobacz: ciągi oraz ciąg arytmetyczny.

Krok 1. Zapisujemy wyrazy przez różnicę $r$. W ciągu arytmetycznym $a_n = a_1 + (n - 1)r$, więc

$a_2 = 7 + r, \qquad a_3 = 7 + 2r, \qquad a_4 = 7 + 3r.$

Krok 2. Układamy równanie z warunku o sumie.

$7 + (7 + r) + (7 + 2r) + (7 + 3r) = 54 \quad\Longrightarrow\quad 28 + 6r = 54 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{26}{6} = \frac{13}{3}.$

Krok 3. Liczymy drugi wyraz.

$a_2 = 7 + \frac{13}{3} = \frac{21 + 13}{3} = \frac{34}{3}.$

Inna droga: ze wzoru na sumę $S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = 54$ dostajemy $7 + a_4 = 27$, czyli $a_4 = 20$, a stąd $r = \frac{20 - 7}{3} = \frac{13}{3}$. Cały ciąg to $\left(7, \frac{34}{3}, \frac{47}{3}, 20\right)$

• suma rzeczywiście wynosi $54$.

Odpowiedź: $a_2 = \dfrac{34}{3}$. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Niech $q$ będzie ilorazem ciągu. Wyrazy symetryczne względem środkowego $a_3 = 2$ to $a_2 = \frac{2}{q}$, $a_4 = 2q$ oraz $a_1 = \frac{2}{q^2}$, $a_5 = 2q^2$. W iloczynie ilorazy się skracają:

$a_1 \cdot a_2 \cdot 2 \cdot a_4 \cdot a_5 = \frac{2}{q^2} \cdot \frac{2}{q} \cdot 2 \cdot 2q \cdot 2q^2 = 2^5 = 32.$

Ogólna zasada: w ciągu geometrycznym iloczyn wyrazów równoodległych od środka jest równy kwadratowi wyrazu środkowego ($a_1 a_5 = a_2 a_4 = a_3^2 = 4$), więc iloczyn wszystkich pięciu wyrazów to $a_3^5$. Wynik nie zależy od $q$ - dlatego zadanie da się rozwiązać bez znajomości ilorazu.

Odpowiedź: C. Zobacz: ciąg geometryczny.

Sinus kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej:

$\sin\alpha = \frac{a}{8} = \frac{1}{4} \quad\Longrightarrow\quad a = 2.$

Druga przyprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: $b = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \approx 7{,}75$. Krótsza z nich to $a = 2$. Odpowiedź D ($2\sqrt{15}$) to dłuższa przyprostokątna - pułapka dla kogoś, kto policzy obie i nie sprawdzi, o którą pytano.

Odpowiedź: B. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z trygonometrii.

Krok 1. Kąt oparty na średnicy. Kąt wpisany $BAD$ jest oparty na średnicy $BD$, więc jest prosty: $|\sphericalangle BAD| = 90^\circ$.

Krok 2. Trzeci kąt trójkąta $ABD$.

$|\sphericalangle ADB| = 180^\circ - 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ.$

Krok 3. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku. Kąty $BCA$ i $BDA$ są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku $BA$ (punkty $C$ i $D$ leżą po tej samej stronie cięciwy $AB$), więc mają równe miary:

$|\sphericalangle BCA| = |\sphericalangle BDA| = 72^\circ.$

Inaczej: kąt $ABD = 18^\circ$ jest oparty na łuku $AD$, więc ten łuk ma $36^\circ$; łuk $BA$ (bez punktu $D$) to półokrąg $BD$ minus łuk $AD$, czyli $180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$, a kąt wpisany oparty na nim ma połowę tej miary: $72^\circ$. Pułapka A ($36^\circ$) to miara łuku $AD$, nie kąta.

Odpowiedź: C. Zobacz: kąty w okręgu oraz zadania z okręgów i kół.

Proste $k$ i $l$ są równoległe, więc trójkąty $ABC$ i $ADE$ są podobne (cecha kąt-kąt: wspólny kąt przy $A$ i równe kąty odpowiadające przy prostych równoległych). Odcinki $BC$ i $DE$ są odpowiadającymi sobie bokami, a skala podobieństwa to

$\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{6 + 2}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$

Stąd

$|DE| = |BC| \cdot \frac{4}{3} = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}.$

To to samo, co twierdzenie Talesa w postaci $\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|AD|}{|AB|}$. Pułapka A ($\frac{8}{3}$) wychodzi z proporcji $\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{|BD|}{|AB|}$ - odcinek $BD$ nie jest bokiem żadnego z podobnych trójkątów.

Odpowiedź: B. Zobacz: twierdzenie Talesa oraz zadania z twierdzenia Talesa.

Oznaczmy $|\sphericalangle CAB| = \alpha$ oraz $|\sphericalangle ABE| = \beta$. Mamy wykazać, że $\alpha = 2\beta$.

Krok 1. Trójkąt $DBE$ jest równoramienny. Z założenia $|DB| = |DE|$, więc kąty przy podstawie $BE$ są równe: $|\sphericalangle DEB| = |\sphericalangle DBE| = \beta$. Stąd

$|\sphericalangle BDE| = 180^\circ - 2\beta.$

Krok 2. Punkt $D$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ADC$. Odcinek $CD$ jest wysokością, więc trójkąt $ADC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$). Punkt $E$ jest środkiem boku $AC$ (bo $BE$ to środkowa), czyli środkiem przeciwprostokątnej trójkąta $ADC$. Środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym, więc

$|EA| = |EC| = |ED|.$

Krok 3. Trójkąt $ADE$ jest równoramienny. Z $|EA| = |ED|$ wynika, że kąty przy podstawie $AD$ są równe: $|\sphericalangle EDA| = |\sphericalangle EAD| = \alpha$.

Krok 4. Kąty przyległe. Kąty $ADE$ i $EDB$ są przyległe (punkt $D$ leży na odcinku $AB$), więc

$\alpha = |\sphericalangle EDA| = 180^\circ - |\sphericalangle BDE| = 180^\circ - (180^\circ - 2\beta) = 2\beta.$

To kończy dowód. Zasady oceniania dają $1$ punkt już za zauważenie jednej z równości $|DE| = |AE|$, $|DE| = |EC|$ albo $|AE| = |EC|$, lub za zależność $|\sphericalangle BDE| = 180^\circ - 2\beta$.

Odpowiedź: $|\sphericalangle CAB| = 2 \cdot |\sphericalangle ABE|$ - wykazane. Zobacz: okrąg opisany na trójkącie oraz zadania z trójkątów.

Z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \pm\frac{4}{5}.$

Kąt jest rozwarty ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$), a w tym przedziale cosinus jest ujemny, więc $\cos\alpha = -\frac{4}{5}$. Odpowiedź D to pułapka na zapomnienie o znaku, a B i C ($\pm\frac{3}{4}$) to wartości tangensa, nie cosinusa.

Odpowiedź: A. Zobacz: funkcje trygonometryczne oraz zadania na związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Krok 1. Wierzchołek $A$ to punkt wspólny prostych $AB$ i $AD$:

$\frac{1}{2}x + 9 = 4x - 5 \quad\Longrightarrow\quad 14 = \frac{7}{2}x \quad\Longrightarrow\quad x = 4, \quad y = 4 \cdot 4 - 5 = 11.$

Zatem $A = (4, 11)$. Kontrola na drugiej prostej: $\frac{1}{2} \cdot 4 + 9 = 11$.

Krok 2. Wierzchołek $B$. Punkt $K = (10, 14)$ jest środkiem odcinka $AB$, więc $B$ jest odbiciem $A$ względem $K$:

$B = (2 \cdot 10 - 4,\; 2 \cdot 14 - 11) = (16, 17).$

Kontrola: $B$ leży na prostej $AB$, bo $\frac{1}{2} \cdot 16 + 9 = 17$.

Krok 3. Punkt $S$. Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc $S$ jest środkiem przekątnej $BD$:

$S = \left(\frac{16 + 6}{2},\; \frac{17 + 19}{2}\right) = (11, 18).$

Kontrola inną drogą: wektor $\overrightarrow{AD} = [2, 8]$, więc $C = B + [2, 8] = (18, 25)$, a środek przekątnej $AC$ to $\left(\frac{4 + 18}{2}, \frac{11 + 25}{2}\right) = (11, 18)$ - ten sam punkt.

Zasady oceniania dają $1$ punkt za samo obliczenie $A = (4, 11)$ i $2$ punkty za $B = (16, 17)$ (albo za środek boku $AD$ i równania prostych przez $S$). Najczęstsze błędy z listy CKE: zły wzór na środek odcinka i zły związek między współczynnikami prostych równoległych.

Odpowiedź: $S = (11, 18)$. Zobacz: równanie prostej, odległość i środek odcinka oraz zadania z geometrii analitycznej.

Kolejne wierzchołki $A$ i $B$ są końcami boku kwadratu. Długość boku:

$|AB| = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}.$

Obwód to cztery boki: $4 \cdot 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2}$. Odpowiedź A ($4\sqrt{2}$) to długość jednego boku, a D ($32$) to pole kwadratu ($|AB|^2 = 32$).

Odpowiedź: B. Zobacz: zadania z długości i środka odcinka.

Środek okręgu to środek średnicy $AB$:

$S = \left(\frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + (-1)}{2}\right) = (2, 0).$

Promień to połowa średnicy albo odległość środka od końca: $r^2 = |SA|^2 = (1 - 2)^2 + (1 - 0)^2 = 2$.

Równanie: $(x - 2)^2 + y^2 = 2$. Pułapka D ma po prawej stronie $8 = |AB|^2$, czyli kwadrat średnicy zamiast kwadratu promienia.

Odpowiedź: C. Zobacz: równanie okręgu oraz zadania z równania okręgu.

Podstawą jest kwadrat o boku $12$, więc jego przekątna ma długość $12\sqrt{2}$, a spodek wysokości (środek kwadratu) jest oddalony od wierzchołka podstawy o połowę przekątnej: $6\sqrt{2}$. Wysokość $H$, połowa przekątnej i krawędź boczna $12$ tworzą trójkąt prostokątny:

$H^2 = 12^2 - \left(6\sqrt{2}\right)^2 = 144 - 72 = 72 \quad\Longrightarrow\quad H = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$

Ciekawostka: w takim ostrosłupie wysokość jest równa połowie przekątnej podstawy, bo przekrój przez przekątną podstawy to trójkąt prostokątny równoramienny.

Odpowiedź: D. Zobacz: ostrosłupy oraz twierdzenie Pitagorasa.

Zdanie 1. Pole powierzchni bocznej stożka to $\pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 6 = 18\pi$, a pole podstawy $\pi r^2 = 9\pi$. Rzeczywiście $18\pi = 2 \cdot 9\pi$. Prawda. (Ogólnie: $\frac{\pi r l}{\pi r^2} = \frac{l}{r}$, a tu $l = 2r$.)

Zdanie 2. Przekrój osiowy stożka to trójkąt o bokach $l$, $l$ i $2r$, czyli $6$, $6$, $6$ - trójkąt równoboczny. Kąt rozwarcia (kąt między tworzącymi w przekroju osiowym) to kąt trójkąta równobocznego: $60^\circ$. Prawda. Można też: $\sin\frac{\varphi}{2} = \frac{r}{l} = \frac{1}{2}$, więc $\frac{\varphi}{2} = 30^\circ$.