Matura czerwiec 2024 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

$32 = 2^5$, więc $32^{\frac{3}{5}} = \left(2^5\right)^{\frac{3}{5}} = 2^3 = 8$, a $2^{-1} = \frac{1}{2}$:

$2^{-1} \cdot 32^{\frac{3}{5}} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4.$

Pułapki A i B to potraktowanie ujemnego wykładnika jak znaku minus przed liczbą - wykładnik $-1$ oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną.

Odpowiedź: D. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym oraz zadania z potęg.

Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu:

$\log_3 \frac{3}{2} + \log_3 \frac{2}{9} = \log_3 \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{9}\right) = \log_3 \frac{1}{3} = \log_3 3^{-1} = -1.$

Pułapka A ($\log_3 \frac{31}{18}$) to logarytm sumy ułamków $\frac{3}{2} + \frac{2}{9} = \frac{31}{18}$ - a logarytm sumy nie jest sumą logarytmów.

Odpowiedź: C. Zobacz: prawa logarytmów oraz zadania z logarytmów.

Ze wzoru na kwadrat sumy $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$\left(2\sqrt{10}\right)^2 + 2 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \sqrt{2} + \left(\sqrt{2}\right)^2 = 40 + 4\sqrt{20} + 2 = 42 + 4 \cdot 2\sqrt{5} = 42 + 8\sqrt{5}.$

Pułapki: B ($42$) to pominięcie podwojonego iloczynu, C - nieuproszczenie $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ i pozostawienie $4\sqrt{5}$ zamiast $8\sqrt{5}$.

Odpowiedź: D. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania z pierwiastków.

Po każdym roku kapitał rośnie o $6\%$, czyli jest mnożony przez $1{,}06$. Po trzech latach mnożymy trzy razy:

$K_3 = K_0 \cdot 1{,}06 \cdot 1{,}06 \cdot 1{,}06 = K_0 \cdot (1{,}06)^3.$

Pułapka D ($K_0 \cdot 1{,}18$) to procent prosty ($3 \cdot 6\% = 18\%$) - bez odsetek od odsetek. Odpowiedź C opisuje kapitalizację półroczną po $3\%$, której w zadaniu nie ma.

Odpowiedź: A. Zobacz: zadania z procentów.

Krok 1. Rozkład na czynniki.

$5n^3 - 5n = 5n\left(n^2 - 1\right) = 5(n - 1) \cdot n \cdot (n + 1).$

Krok 2. Podzielność przez $2$ i przez $3$. Liczby $n - 1$, $n$, $n + 1$ to trzy kolejne liczby całkowite. Wśród dwóch kolejnych liczb jedna jest parzysta, więc iloczyn dzieli się przez $2$; wśród trzech kolejnych dokładnie jedna dzieli się przez $3$, więc iloczyn dzieli się przez $3$.

Krok 3. Wniosek. Iloczyn $(n - 1)n(n + 1)$ jest podzielny przez $2$ i przez $3$, a te liczby są względnie pierwsze, więc jest podzielny przez $6$. Pomnożony przez $5$ jest podzielny przez $5 \cdot 6 = 30$. To kończy dowód.

(Sprawdzenie: dla $n = 2$ liczba $40 - 10 = 30$; dla $n = 3$ liczba $135 - 15 = 120 = 4 \cdot 30$.) Zasady oceniania: za sam rozkład $5(n - 1)n(n + 1)$ jest $1$ punkt; sprawdzenie dla kilku $n$ - $0$.

Odpowiedź: $5n^3 - 5n = 5(n - 1)n(n + 1)$, iloczyn trzech kolejnych liczb dzieli się przez $6$, więc całość przez $30$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód oraz zadania z indukcji i podzielności.

Mnożymy obie strony przez $12$:

$3x - 5 < 4 \quad\Longrightarrow\quad 3x < 9 \quad\Longrightarrow\quad x < 3.$

Całkowite dodatnie liczby mniejsze od $3$ to $1$ i $2$ - są dwie. Pułapka B ($3$) to policzenie także liczby $3$, która nierówności ostrej nie spełnia ($\frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, a nie mniej).

Odpowiedź: A. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $-4$: $-4(x - 2y) = -4 \cdot 3$, czyli $-4x + 8y = -12$. Oba równania opisują tę samą prostą, więc każdy jej punkt jest rozwiązaniem - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań (układ nieoznaczony).

Gdyby po pomnożeniu zgadzały się współczynniki przy $x$ i $y$, ale nie wyrazy wolne (np. $-4x + 8y = 5$), proste byłyby równoległe i rozłączne - odpowiedź A. Odpowiedź C jest niemożliwa dla dwóch prostych.

Odpowiedź: D. Zobacz: graficzne rozwiązywanie układów równań oraz zadania z układów równań.

Rozkładamy $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$ i skracamy:

$\frac{2x^2}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{x + 1}{x} = \frac{2x^2 (x + 1)}{(x - 1)(x + 1) \cdot x} = \frac{2x}{x - 1}.$

Skróciliśmy $x + 1$ (bo $x \ne -1$) i jedno $x$ (bo $x \ne 0$) - stąd założenia w treści zadania. Kontrola dla $x = 2$: lewa strona $\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = 4$, a $\frac{2 \cdot 2}{1} = 4$.

Odpowiedź: B. Zobacz: funkcja wymierna oraz zadania z działań na wyrażeniach algebraicznych.

Suma współczynników wielomianu to jego wartość dla $x = 1$: $W(1) = a + b + c + d$. Nie trzeba wymnażać:

$W(1) = F(1) \cdot G(1) = (2 - 3)^2 \cdot (3 - 2) = (-1)^2 \cdot 1 = 1.$

Dla pewności wymnożenie: $F(x) = 9x^2 - 12x + 4$, więc $W(x) = 27x^3 - 18x^2 - 36x^2 + 24x + 12x - 8 = 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8$ i $27 - 54 + 36 - 8 = 1$.

Odpowiedź: $1$. Zobacz: wielomiany.

Krok 1. Grupujemy wyrazy. Z pierwszych dwóch wyłączamy $4x^2$, z ostatnich dwóch $-1$:

$4x^2(x - 3) - (x - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 3)\left(4x^2 - 1\right) = 0.$

Krok 2. Rozkładamy dalej. $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$ (różnica kwadratów), więc

$(x - 3)(2x - 1)(2x + 1) = 0.$

Krok 3. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$x = 3 \quad\text{lub}\quad x = \frac{1}{2} \quad\text{lub}\quad x = -\frac{1}{2}.$

Kontrola dla $x = 3$: $108 - 108 - 3 + 3 = 0$. Zasady oceniania: rozkład na iloczyn i rozwiązanie jednego z równań daje $2$ punkty; pełne trzy pierwiastki - $3$.

Odpowiedź: $x \in \left\{-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}, 3\right\}$. Zobacz: wielomiany oraz miejsca zerowe i postać iloczynowa.

Szukamy argumentów, dla których wykres leży na prostej $y = 2$ lub pod nią. Prosta $y = 2$ przecina wykres w dwóch punktach o współrzędnych całkowitych - odczytujemy je z rysunku:

• lewe ramię łamanej biegnie od $(-1, 4)$ do $(1, 0)$, czyli $y = -2x + 2$; wartość $2$ przyjmuje dla $x = 0$;
• prawe ramię biegnie od $(1, 0)$ do $(7, 4)$, czyli $y = \frac{2}{3}(x - 1)$; wartość $2$ przyjmuje dla $x = 4$.

Między tymi punktami wykres leży poniżej prostej (w $x = 1$ osiąga $0$), a poza nimi - powyżej. Nierówność jest nieostra, więc końce należą do zbioru rozwiązań:

$x \in [0, 4].$

Odpowiedź: $[0, 4]$.

Wzór. Przesunięcie wykresu o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $Ox$ to zamiana $x$ na $x + 4$: $g(x) = f(x + 4)$. Kontrola: wierzchołek łamanej $f$ jest w $(1, 0)$, a $g$ w $(-3, 0)$; istotnie $g(-3) = f(-3 + 4) = f(1) = 0$. Odpowiedź B ($f(x - 4)$) to przesunięcie w prawo, a C - w dół.

Co się nie zmienia. Przesunięcie wzdłuż osi $Ox$ zmienia dziedzinę (z $[-1, 7]$ na $[-5, 3]$), ale nie zmienia zbioru wartości - oba wykresy sięgają od $0$ do $4$. Zatem odpowiedź 2.

Odpowiedź: A2. Zobacz: przesunięcie wzdłuż osi Ox, odczytywanie własności funkcji z wykresu oraz zadania z przekształceń wykresów.

Zdanie 1. Wartość $0$ pojawia się w tabeli dwa razy: dla $x = -1$ i dla $x = 1$. Funkcja ma dwa miejsca zerowe. Fałsz.

Zdanie 2. Symetria względem osi $Oy$ wymaga $f(-x) = f(x)$ dla każdego argumentu. Dla $x = 2$: $f(-2) = -1$, ale $f(2) = 3$. Fałsz. (Para $f(-1) = f(1) = 0$ to za mało - warunek musi zachodzić dla wszystkich argumentów.)

Odpowiedź: F, F. Zobacz: odczytywanie własności funkcji z wykresu oraz zadania z własności funkcji.

Podstawiamy $x = 2$ i przyrównujemy do zera:

$f(2) = 2(3 - m) + 4 = 6 - 2m + 4 = 10 - 2m = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 5.$

Kontrola: $f(x) = (3 - 5)x + 4 = -2x + 4$, a $f(2) = 0$. Pułapka B ($m = 3$) daje funkcję stałą $f(x) = 4$, która w ogóle nie ma miejsca zerowego.

Odpowiedź: D. Zobacz: wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej oraz zadania z funkcji liniowej.

Krok 1. Interpretacja. Parabola zawsze przecina oś $Oy$ dokładnie raz (w $M$). Skoro z obiema osiami ma tylko dwa punkty wspólne, to z osią $Ox$ ma jeden punkt $N = (3, 0)$ - parabola jest styczna do osi $Ox$, a $N$ jest jej wierzchołkiem.

Krok 2. Postać kanoniczna. Wierzchołek $(3, 0)$ daje $f(x) = a(x - 3)^2$.

Krok 3. Współczynnik $a$ z punktu $M = (0, 18)$:

$f(0) = a \cdot 9 = 18 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.$

Odpowiedź: $f(x) = 2(x - 3)^2 = 2x^2 - 12x + 18$. Zasady oceniania: za samo $f(x) = a(x - 3)^2$ albo za zauważenie, że wyraz wolny wynosi $18$, jest $1$ punkt. Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Wzór $f(x) = -(x + 1)^2 + 4$ to postać kanoniczna $a(x - p)^2 + q$ z $a = -1$, $p = -1$, $q = 4$: wierzchołek w punkcie $(-1, 4)$, ramiona skierowane w dół (bo $a < 0$). Tylko rysunek B ma wierzchołek w $(-1, 4)$ i ramiona w dół. Rysunek D ma wierzchołek w $(1, 4)$ - pułapka na znak w nawiasie: $(x + 1)^2$ oznacza przesunięcie w lewo.

Odpowiedź: B.

Zdanie 1. $f(0) = -(0 + 1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3$, więc wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$, nie $(0, 4)$. Fałsz. Pułapka: $q = 4$ to druga współrzędna wierzchołka, a nie punktu na osi $Oy$.

Zdanie 2. $-(x + 1)^2 + 4 = 0 \Rightarrow (x + 1)^2 = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2 \Rightarrow x = 1$ lub $x = -3$. Prawda.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej oraz postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Czynnik $(-1)^{n+1}$ wynosi $1$ dla $n$ nieparzystych i $-1$ dla parzystych, więc wyrazy to na przemian $7$ i $3$: $(7, 3, 7, 3, \ldots)$. Wśród dziesięciu początkowych wyrazów jest pięć siódemek i pięć trójek:

$S_{10} = 5 \cdot 7 + 5 \cdot 3 = 35 + 15 = 50.$

Można też zauważyć, że każda para sąsiednich wyrazów daje $10$, a par jest pięć.

Odpowiedź: C.

Zdanie 1. Wyrazy $7, 3, 7, 3, \ldots$ na przemian maleją i rosną - ciąg nie jest malejący (ani rosnący). Fałsz.

Zdanie 2. Ilorazy kolejnych wyrazów: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{3}{7}$, ale $\frac{a_3}{a_2} = \frac{7}{3}$ - nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Fałsz. (Nie jest też arytmetyczny: różnice $-4$ i $4$.)

Odpowiedź: F, F. Zobacz: ciągi oraz ciąg geometryczny.

Różnica ciągu: $r = a_2 - a_1 = 13 - 7 = 6$. Ze wzoru na wyraz ogólny:

$a_{10} = a_1 + 9r = 7 + 9 \cdot 6 = 7 + 54 = 61.$

Pułapka D ($67$) to $7 + 10 \cdot 6$, czyli o jeden krok za dużo - od pierwszego do dziesiątego wyrazu jest $9$ kroków.

Odpowiedź: C. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Ciąg arytmetyczny. Różnica $r = 2 - (-1) = 3$, więc $x = 2 + 3 = 5 > 0$.

Ciąg geometryczny. Iloraz $q = \frac{2}{-1} = -2$, więc $y = 2 \cdot (-2) = -4 < 0$. (To samo daje własność wyrazu środkowego: $2^2 = -1 \cdot y$, skąd $y = -4$.)

Odpowiedź: B. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz ciąg geometryczny.

Z jedynki trygonometrycznej $\cos^2 27^\circ = 1 - \sin^2 27^\circ$, więc

$1 + \cos^2 27^\circ = 1 + 1 - \sin^2 27^\circ = 2 - \sin^2 27^\circ.$

Pułapka D ($2$) wychodzi z błędnego założenia $\cos^2 27^\circ = 1$; C - ze złego znaku przy przekształcaniu jedynki trygonometrycznej.

Odpowiedź: A. Zobacz: funkcje trygonometryczne oraz zadania na związki między funkcjami trygonometrycznymi.

Opuszczamy z $C$ wysokość na podstawę $AB$; jej spodek $E$ dzieli $AB$ tak, że $|AE| = |DC| = 5$, więc $|EB| = 8 - 5 = 3$. W trójkącie prostokątnym $EBC$ przyprostokątne mają długości $3$ i $\sqrt{3}$:

$\operatorname{tg}\sphericalangle ABC = \frac{|CE|}{|EB|} = \frac{\sqrt{3}}{3} \quad\Longrightarrow\quad |\sphericalangle ABC| = 30^\circ.$

Pułapka D ($60^\circ$) to odwrócenie ułamka ($\operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$) - tangens to przyprostokątna naprzeciw kąta przez przyprostokątną przy kącie.

Odpowiedź: B. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z czworokątów.

Łuk $AB$ to $\frac{1}{5}$ okręgu, więc kąt środkowy oparty na tym łuku ma miarę $\frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest dwa razy mniejszy:

$|\sphericalangle ACB| = \frac{72^\circ}{2} = 36^\circ.$

Pułapka D ($72^\circ$) to kąt środkowy, nie wpisany; A ($18^\circ$) to podzielenie przez $2$ dwa razy.

Odpowiedź: C. Zobacz: kąty w okręgu oraz zadania z okręgów i kół.

Krok 1. Trójkąt $ABS$ jest prostokątny (kąt prosty przy $B$, bo $S$ leży na boku $BC$), o przyprostokątnych $|AB| = 12$ i $|BS| = 6$ (połowa boku). Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$|AS| = \sqrt{12^2 + 6^2} = \sqrt{144 + 36} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}.$

Krok 2. $BP$ to wysokość trójkąta $ABS$ opuszczona na przeciwprostokątną. Pole trójkąta liczymy na dwa sposoby:

$\frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BS| = \frac{1}{2} \cdot |AS| \cdot |BP| \quad\Longrightarrow\quad 12 \cdot 6 = 6\sqrt{5} \cdot |BP| \quad\Longrightarrow\quad |BP| = \frac{72}{6\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}.$

Inna droga: $\sin\sphericalangle BAS = \frac{|BS|}{|AS|} = \frac{6}{6\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$, a w trójkącie $ABP$: $|BP| = |AB| \cdot \sin\sphericalangle BAS = \frac{12}{\sqrt{5}}$. Zasady oceniania dają $1$ punkt za samo $|AS| = 6\sqrt{5}$.

Odpowiedź: $|BP| = \dfrac{12\sqrt{5}}{5}$. Zobacz: twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów oraz zadania z trójkątów.

Zdanie 1. Podstawiamy $x = -1$, $y = -3$: $(-1 - 1)^2 + (-3 + 2)^2 = 4 + 1 = 5$. Równanie jest spełnione, punkt leży na okręgu. Prawda.

Zdanie 2. W równaniu okręgu po prawej stronie stoi kwadrat promienia: $r^2 = 5$, więc $r = \sqrt{5}$, a nie $5$. Fałsz.

Odpowiedź: P, F.

Środek okręgu $\mathcal{O}$ to $S = (1, -2)$ (uwaga na znaki: $(x - 1)$ daje $1$, $(y + 2)$ daje $-2$). Symetria środkowa względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych: $S' = (-1, 2)$. Promień się nie zmienia:

$\mathcal{K}:\ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5.$

Pułapki: B to symetria względem osi $Oy$, C - względem osi $Ox$, A - brak zmiany.

Odpowiedź: D. Zobacz: równanie okręgu, przekształcenia wykresów oraz zadania z równania okręgu.

Krok 1. Środek odcinka $AB$.

$M = \left(\frac{2 + 10}{2}, \frac{8 + 2}{2}\right) = (6, 5).$

Krok 2. Współczynnik kierunkowy symetralnej. Prosta $AB$ ma współczynnik $a_{AB} = \frac{2 - 8}{10 - 2} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$. Symetralna jest do niej prostopadła, więc $a = -\frac{1}{a_{AB}} = \frac{4}{3}$.

Krok 3. Równanie symetralnej (przez $M$):

$y = \frac{4}{3}(x - 6) + 5 = \frac{4}{3}x - 8 + 5 = \frac{4}{3}x - 3.$

Krok 4. Punkt $P$ na osi $Ox$, czyli $y = 0$:

$\frac{4}{3}x - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{9}{4}, \qquad P = \left(\frac{9}{4}, 0\right).$

Krok 5. Długość $AP$.

$|AP| = \sqrt{\left(2 - \frac{9}{4}\right)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{\frac{1}{16} + 64} = \sqrt{\frac{1025}{16}} = \frac{\sqrt{1025}}{4} = \frac{5\sqrt{41}}{4}.$

Kontrola: $P$ leży na symetralnej, więc jest jednakowo odległy od $A$ i $B$: $|BP|^2 = \left(10 - \frac{9}{4}\right)^2 + 4 = \frac{961}{16} + \frac{64}{16} = \frac{1025}{16}$ - zgadza się.

Inna droga (bez równania prostej): $P = (p, 0)$ spełnia $|PA| = |PB|$, czyli $(p - 2)^2 + 64 = (p - 10)^2 + 4$, skąd $-4p + 68 = -20p + 104$ i $p = \frac{9}{4}$. Zasady oceniania: środek $M$ - $1$ pkt, równanie symetralnej - $2$ pkt, punkt $P$ - $3$ pkt.

Odpowiedź: $P = \left(\dfrac{9}{4}, 0\right)$, $|AP| = \dfrac{5\sqrt{41}}{4}$. Zobacz: równanie prostej, odległość i środek odcinka oraz zadania z prostych prostopadłych.

Ostrosłup o $n$ ścianach bocznych ma w podstawie $n$-kąt: $n$ krawędzi podstawy i $n$ krawędzi bocznych (po jednej do każdego wierzchołka podstawy). Razem $2n$:

$2 \cdot 2024 = 4048.$

Pułapka A ($2025$) to liczba ścian ostrosłupa (boczne plus podstawa), a B ($2026$) - liczba jego wierzchołków plus jeden. Ostrosłup o $n$ ścianach bocznych ma $n + 1$ ścian, $n + 1$ wierzchołków i $2n$ krawędzi.

Odpowiedź: C. Zobacz: ostrosłupy.

Przekątna ściany (kwadratu o boku $a$) ma długość $a\sqrt{2}$:

$a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad a = 2, \qquad V = a^3 = 8.$

Pułapka D ($16\sqrt{2}$) to $\left(2\sqrt{2}\right)^3$, czyli potraktowanie przekątnej jak krawędzi; C wychodzi z pomylenia przekątnej ściany z przekątną sześcianu ($a\sqrt{3}$).

Odpowiedź: A. Zobacz: graniastosłupy.

Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny. Przekątna podstawy (kwadratu o boku $4$) ma długość $d = 4\sqrt{2}$, a tangens kąta nachylenia to stosunek wysokości do tej przekątnej:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d} = \frac{H}{4\sqrt{2}} = 2 \quad\Longrightarrow\quad H = 8\sqrt{2}.$

Pułapka B ($8$) to wzięcie boku podstawy $4$ zamiast jej przekątnej $4\sqrt{2}$ - kąt $\alpha$ leży między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy, nie krawędzią.

Odpowiedź: C. Zobacz: graniastosłupy oraz trygonometria kąta ostrego.

Odczytujemy liczebności: $2, 9, 5, 3, 5, 1$ - razem $25$ uczniów. Średnia to suma wszystkich ocen podzielona przez liczbę uczniów (średnia ważona liczebnościami):

$\bar{x} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 5 + 6 \cdot 1}{25} = \frac{2 + 18 + 15 + 12 + 25 + 6}{25} = \frac{78}{25} = 3{,}12.$

Pułapka C ($3{,}5$) to średnia samych ocen $1$-$6$ bez uwzględnienia, ilu uczniów je dostało; D ($4{,}1(6)$) to średnia liczebności ($25 : 6$).

Odpowiedź: B. Zobacz: zadania ze średniej arytmetycznej oraz zadania z diagramów i tabel.

Cyfra jedności musi być parzysta, więc jest to $2$ albo $4$ - dwie możliwości. Każdą z pozostałych trzech cyfr wybieramy dowolnie spośród $2$, $4$, $7$ - po trzy możliwości (cyfry mogą się powtarzać, a zero nie wchodzi w grę, więc nie ma kłopotu z pierwszą cyfrą). Z reguły mnożenia:

$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 54.$

Pułapka D ($81$) to wszystkie liczby z tych cyfr bez warunku parzystości; B ($27$) - pominięcie jednej pozycji.

Odpowiedź: C. Zobacz: kombinatoryka oraz zadania z reguły mnożenia.

Niech $b$ oznacza liczbę kul białych. Prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej to stosunek liczby czarnych do wszystkich:

$\frac{18}{18 + b} = \frac{3}{5} \quad\Longrightarrow\quad 90 = 54 + 3b \quad\Longrightarrow\quad b = 12.$

Kontrola: $\frac{18}{30} = \frac{3}{5}$. Pułapka D ($30$) to liczba wszystkich kul, nie białych.

Odpowiedź: B. Zobacz: rachunek prawdopodobieństwa.

Krok 1. Zdarzenia elementarne. Wynikiem są pary $(a, b)$ liczb oczek z pierwszego i drugiego rzutu: $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$ jednakowo prawdopodobnych par.