Czy Δ < 0 oznacza brak rozwiązań nierówności?

Nie zawsze - to zależy od zwrotu. Przy a > 0 i Δ 0" jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, a „< 0" przez żadną.

Nierówności kwadratowe

Q: Czy wolno podzielić nierówność przez x?

Nie - poza tym, że gubimy rozwiązanie x = 0, nie wiemy nawet, jaki znak ma x, więc nie wiadomo, czy zmieniać zwrot nierówności. Zawsze przenosimy na jedną stronę i rozkładamy na czynniki.

Q: Czy Δ < 0 oznacza brak rozwiązań nierówności?

Nie zawsze - to zależy od zwrotu. Przy a > 0 i Δ 0" jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, a „< 0" przez żadną.

Klasa 2 liceum i technikum

Nierówność kwadratowa - schemat

Przenieś wszystko na jedną stronę: $ax^2 + bx + c \ \square\ 0$ .
Znajdź miejsca zerowe (delta albo rozkład na czynniki).
Naszkicuj parabolę - liczy się tylko kierunek ramion i punkty przecięcia z osią $OX$ .
Odczytaj z rysunku argumenty, dla których wykres leży nad osią ( $> 0$ ) albo pod nią ( $< 0$ ).
Zapisz odpowiedź przedziałami - domkniętymi przy $\le$ i $\ge$ , otwartymi przy $<$ i $>$ .

Rysunek zamiast reguł

Nierówności kwadratowej nie rozwiązuje się „wzorem”. Rozwiązuje się ją patrząc na parabolę: skoro miejsca zerowe to jedyne punkty, w których funkcja zmienia znak, to wystarczy wiedzieć, gdzie one są i w którą stronę idą ramiona.

Znak funkcji f(x) = x² − 2x − 3: wartości dodatnie poza miejscami zerowymi (pogrubione fragmenty osi), ujemne między nimi.

Z rysunku od razu czytamy dwie odpowiedzi naraz:

$x^2 - 2x - 3 > 0 \ \text{ dla } \ x \in (-\infty;\ -1) \cup (3;\ +\infty), \qquad x^2 - 2x - 3 < 0 \ \text{ dla } \ x \in (-1;\ 3).$

Stąd użyteczna reguła pamięciowa dla paraboli z ramionami w górę: wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych, ujemne w środku.

Przykład 1 - krok po kroku

Zadanie. Rozwiąż nierówność $x^2 + 2x - 8 \le 0$ .

Krok 1. Nierówność jest już uporządkowana (zero po prawej stronie).

Krok 2. Miejsca zerowe:

$\Delta = 4 + 32 = 36, \qquad x_1 = \frac{-2-6}{2} = -4, \qquad x_2 = \frac{-2+6}{2} = 2.$

Krok 3. Szkic. Ramiona w górę ( $a = 1 > 0$ ), parabola przecina oś w punktach $-4$ i $2$ .

Krok 4. Odczyt. Szukamy wartości niedodatnich, czyli fragmentu wykresu pod osią wraz z punktami na osi - to przedział między miejscami zerowymi.

Krok 5. Odpowiedź. $x \in \langle -4;\ 2\rangle$ - przedział domknięty, bo nierówność jest nieostra ( $\le$ ), więc miejsca zerowe też spełniają warunek.

Przykład 2 - ramiona w dół

Zadanie. Rozwiąż nierówność $-x^2 + 4x - 3 > 0$ .

Miejsca zerowe: $\Delta = 16 - 12 = 4$ , więc

$x_1 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3, \qquad x_2 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1.$

Uporządkujmy je rosnąco: $1$ i $3$ . Ramiona idą w dół, więc parabola jest nad osią między miejscami zerowymi.

Odpowiedź. $x \in (1;\ 3)$ .

Alternatywa. Można też pomnożyć całą nierówność przez $-1$ , zmieniając jej zwrot: $x^2 - 4x + 3 < 0$ . Wtedy pracujemy na ramionach w górę, co dla wielu osób jest wygodniejsze. Wynik jest oczywiście ten sam.

Przypadki szczególne

Gdy $\Delta = 0$ albo $\Delta < 0$ , parabola nie zmienia znaku (albo dotyka osi w jednym punkcie). Warto znać cztery typowe sytuacje dla $a > 0$ :

$\Delta < 0$ i nierówność $ax^2 + bx + c > 0$ $\Rightarrow$ rozwiązaniem jest całe $\mathbb{R}$ (parabola leży w całości nad osią);
$\Delta < 0$ i nierówność $ax^2 + bx + c < 0$ $\Rightarrow$ brak rozwiązań;
$\Delta = 0$ i nierówność $ax^2 + bx + c > 0$ $\Rightarrow$ wszystkie liczby oprócz miejsca zerowego, czyli $\mathbb{R} \setminus \{x_0\}$ ;
$\Delta = 0$ i nierówność $ax^2 + bx + c \le 0$ $\Rightarrow$ jedyne rozwiązanie to $x = x_0$ .

Przykład. Rozwiąż $x^2 - 6x + 9 > 0$ . Mamy $\Delta = 0$ i $x_0 = 3$ , a lewa strona to $(x-3)^2$ - kwadrat, więc nieujemny zawsze, a dodatni wszędzie poza $x = 3$ .

Odpowiedź. $x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$ , czyli $(-\infty;\ 3) \cup (3;\ +\infty)$ .

Zapis odpowiedzi

Nierówność ostra ( $<$ , $>$ ) $\Rightarrow$ przedziały otwarte.
Nierówność nieostra ( $\le$ , $\ge$ ) $\Rightarrow$ przedziały domknięte w miejscach zerowych.
Dwa rozłączne kawałki łączymy symbolem sumy: $(-\infty;\ -1) \cup (3;\ +\infty)$ .
Przy nieskończoności zawsze nawias okrągły.

Najczęstsze pytania

Czy trzeba rysować dokładny wykres? Nie. Wystarczy szkic „na brudno”: oś, dwa punkty i łuk paraboli w odpowiednią stronę. Chodzi wyłącznie o odczytanie, gdzie wykres jest nad osią, a gdzie pod nią.

Jak zapamiętać, kiedy suma przedziałów, a kiedy jeden przedział? Dla ramion w górę: „dodatnie na zewnątrz, ujemne w środku”. Dla ramion w dół - odwrotnie. Szkic pokazuje to od razu, więc regułę i tak najlepiej odtwarzać z rysunku.

Co, jeśli nierówność nie ma zera po prawej stronie? Trzeba ją najpierw uporządkować, przenosząc wszystko na jedną stronę. Z $x^2 > 3x + 4$ robimy $x^2 - 3x - 4 > 0$ i dopiero wtedy liczymy miejsca zerowe.

Czy wolno podzielić nierówność przez $x$ ? Nie - poza tym, że gubimy rozwiązanie $x = 0$ , nie wiemy nawet, jaki znak ma $x$ , więc nie wiadomo, czy zmieniać zwrot nierówności. Zawsze przenosimy na jedną stronę i rozkładamy na czynniki.

Czy $\Delta < 0$ oznacza brak rozwiązań nierówności? Nie zawsze - to zależy od zwrotu. Przy $a > 0$ i $\Delta < 0$ nierówność „ $> 0$ ” jest spełniona przez wszystkie liczby rzeczywiste, a „ $< 0$ ” przez żadną.

Przećwicz

Nierówności kwadratowe → - z ostrymi i nieostrymi znakami, ramionami w górę i w dół oraz przypadkami szczególnymi.

Podsumowanie

Nierówność rozwiązujemy rysunkiem: miejsca zerowe + kierunek ramion.
Dla $a > 0$ : wartości dodatnie na zewnątrz pierwiastków, ujemne między nimi; dla $a < 0$ - odwrotnie.
Znak $\le$ i $\ge$ daje przedziały domknięte, $<$ i $>$ - otwarte.
$\Delta < 0$ : nierówność jest spełniona przez wszystkie liczby albo przez żadną - zależnie od zwrotu i znaku $a$ .
$\Delta = 0$ : uwaga na pojedynczy punkt, który trzeba dołączyć albo wykluczyć.