Dwie proste przecięte trzecią prostą. Suma kątów w trójkącie

Q: Jak odróżnić kąty odpowiadające od naprzemianległych?

Odpowiadające leżą po tej samej stronie siecznej (jeden przy każdej prostej, w tym samym ustawieniu). Naprzemianległe leżą po przeciwnych stronach siecznej.

Q: Czy kąty odpowiadające są zawsze równe?

Nie - tylko wtedy, gdy przecinane proste są równoległe. Równość tych kątów jest równoważna równoległości prostych.

Klasa 1 liceum i technikum

Co warto zapamiętać

Przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą: kąty odpowiadające są równe, kąty naprzemianległe są równe.

Działa to też w drugą stronę - równość tych kątów dowodzi równoległości prostych.

$\textbf{Suma kątów w trójkącie:}\qquad \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

Kąty przy przecięciu dwóch prostych

Zacznijmy od dwóch prostych. Gdy się przecinają, powstają cztery kąty. Sąsiednie pary to kąty przyległe (sumują się do $180^\circ$ ), a pary „naprzeciwko” to kąty wierzchołkowe - zawsze równe. Dlaczego? Oba kąty wierzchołkowe są przyległe do tego samego kąta, więc oba są równe $180^\circ$ minus jego miara.

Dwie proste przecięte trzecią prostą

Teraz sytuacja z tytułu lekcji: dwie proste $k$ i $l$ przecina trzecia prosta (nazywamy ją sieczną). Przy każdym przecięciu powstają cztery kąty - razem osiem. Pary tych kątów mają swoje nazwy:

kąty odpowiadające - leżą po tej samej stronie siecznej i „w tym samym miejscu” względem swoich prostych (np. oba nad prostą, na prawo od siecznej);
kąty naprzemianległe - leżą po przeciwnych stronach siecznej, między prostymi (naprzemianległe wewnętrzne) albo na zewnątrz (naprzemianległe zewnętrzne).

Proste równoległe k i l przecięte sieczną. Kąty α to kąty odpowiadające - są równe. Kąt β (przy górnej prostej) i dolny kąt α to kąty naprzemianległe wewnętrzne - one także są równe.

Najważniejsze twierdzenie tej lekcji wiąże te kąty z równoległością:

Jeżeli proste $k$ i $l$ są równoległe, to kąty odpowiadające są równe i kąty naprzemianległe są równe. I odwrotnie: jeżeli przy przecięciu dwóch prostych trzecią kąty odpowiadające (lub naprzemianległe) są równe, to proste $k$ i $l$ są równoległe.

Ta druga część jest bardzo praktyczna: daje sposób sprawdzania równoległości - wystarczy porównać kąty.

Przykład 1. Proste $k \parallel l$ przecięto sieczną. Jeden z powstałych kątów ma miarę $118^\circ$ . Jakie miary mają pozostałe kąty?

Rozwiązanie. Przy „górnym” przecięciu kąty to: $118^\circ$ , przyległy $180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$ oraz ich kąty wierzchołkowe: $118^\circ$ i $62^\circ$ . Przy „dolnym” przecięciu - dzięki równoległości - kąty odpowiadające mają te same miary: ponownie $118^\circ$ , $62^\circ$ , $118^\circ$ , $62^\circ$ .

Odpowiedź: Powstają tylko dwie miary: $118^\circ$ (4 kąty) i $62^\circ$ (4 kąty).

Suma kątów w trójkącie

Z kątów naprzemianległych wynika jedno z najsłynniejszych twierdzeń geometrii:

Suma miar kątów wewnętrznych trójkąta jest równa $180^\circ$ .

Dowód (krótki i elegancki). Przez wierzchołek $C$ trójkąta $ABC$ prowadzimy prostą równoległą do boku $AB$ :

Prosta przez C równoległa do AB. Kąty α i β „przenoszą się" do wierzchołka C jako kąty naprzemianległe, a tam α + γ + β tworzą kąt półpełny: 180°.

Kąt $\alpha$ przy wierzchołku $A$ i kąt między prostą równoległą a ramieniem $CA$ to kąty naprzemianległe przy prostych równoległych - są więc równe. Tak samo kąt $\beta$ przy $B$ „przenosi się” na drugą stronę wierzchołka $C$ . Przy punkcie $C$ trzy kąty: $\alpha$ , $\gamma$ i $\beta$ wypełniają razem kąt półpełny, zatem:

$\alpha + \gamma + \beta = 180^\circ. \qquad \blacksquare$

Przykład 2. W trójkącie jeden kąt ma miarę $48^\circ$ , a drugi $73^\circ$ . Oblicz trzeci kąt.

$\gamma = 180^\circ - 48^\circ - 73^\circ = 59^\circ.$

Odpowiedź: Trzeci kąt ma miarę $59^\circ$ .

Kąt zewnętrzny trójkąta

Kąt zewnętrzny trójkąta to kąt przyległy do kąta wewnętrznego (powstaje po przedłużeniu boku). Z sumy kątów natychmiast wynika przydatna własność:

Kąt zewnętrzny trójkąta jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych.

Uzasadnienie: kąt zewnętrzny przy $C$ to $180^\circ - \gamma$ , a z twierdzenia o sumie kątów $180^\circ - \gamma = \alpha + \beta$ .

Przykład 3. Kąty wewnętrzne trójkąta przy wierzchołkach $A$ i $B$ mają miary $35^\circ$ i $80^\circ$ . Kąt zewnętrzny przy $C$ ma miarę $35^\circ + 80^\circ = 115^\circ$ (sprawdzenie: kąt wewnętrzny przy $C$ to $65^\circ$ , a $180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$ ).

Najczęstsze pytania

Jak odróżnić kąty odpowiadające od naprzemianległych? Odpowiadające leżą po tej samej stronie siecznej (jeden przy każdej prostej, w tym samym ustawieniu). Naprzemianległe leżą po przeciwnych stronach siecznej.

Czy kąty odpowiadające są zawsze równe? Nie - tylko wtedy, gdy przecinane proste są równoległe. Równość tych kątów jest równoważna równoległości prostych.

Dlaczego suma kątów trójkąta to 180°? Bo po poprowadzeniu przez wierzchołek prostej równoległej do przeciwległego boku dwa kąty trójkąta przenoszą się do tego wierzchołka jako naprzemianległe i razem z trzecim tworzą kąt półpełny.

Co to jest kąt zewnętrzny trójkąta? (Pełne omówienie wraz z dwoma dowodami: twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta). Kąt przyległy do kąta wewnętrznego (między bokiem a przedłużeniem sąsiedniego boku). Jest równy sumie dwóch pozostałych kątów wewnętrznych.

Przećwicz

Kąty w trójkącie → - suma kątów, kąty w stosunku i kąt zewnętrzny.

Podsumowanie

Przy przecięciu dwóch prostych: kąty wierzchołkowe równe, przyległe sumują się do $180^\circ$ .
Proste równoległe przecięte sieczną: odpowiadające równe, naprzemianległe równe - i odwrotnie (test równoległości).
Suma kątów trójkąta: $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ (dowód przez prostą równoległą i kąty naprzemianległe).
Kąt zewnętrzny = suma dwóch nieprzyległych kątów wewnętrznych.