„Bóg stworzył liczby całkowite, cała reszta jest dziełem człowieka" - Kronecker
Leopold Kronecker, 1886
„Liczby całkowite stworzył dobry Bóg, wszystko inne jest dziełem człowieka.”
(niem. Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.)
Kto to powiedział
Leopold Kronecker (1823-1891) - berliński matematyk, mistrz algebry i teorii liczb, a przy tym jedna z najbardziej wojowniczych postaci dziewiętnastowiecznej nauki. Zamożny (przed karierą naukową z sukcesem prowadził interesy rodzinne), wpływowy i bezkompromisowy, przez dekady współdecydował o tym, co wolno było publikować w najważniejszych niemieckich czasopismach - i używał tej władzy w obronie swojej wizji matematyki.
Jak było naprawdę
Zdanie padło w 1886 roku, w wykładzie na zjeździe przyrodników w Berlinie - i nie było niewinnym aforyzmem, lecz manifestem bojowym. Kronecker głosił, że prawdziwie istnieją tylko liczby całkowite i to, co da się z nich skonstruować w skończenie wielu krokach. Cała reszta - liczby niewymierne traktowane jako gotowe obiekty, nieskończoności różnych rozmiarów, dowody istnienia bez konstrukcji - była dla niego ludzką fantazją, którą z matematyki należy wymieść.
Główną ofiarą tej filozofii był Georg Cantor i jego świeżo narodzona teoria mnogości. Kronecker nazywał ją publicznie „humbugiem”, a jej twórcę „deprawatorem młodzieży”; blokował publikacje Cantora i skutecznie zamknął mu drogę do wymarzonej profesury w Berlinie. Cantor, zaszczuty i zmagający się z nawrotami depresji, do końca życia pozostał na prowincjonalnym uniwersytecie w Halle. Wojna o nieskończoność miała więc bardzo ludzki, gorzki wymiar - opisujemy ją szerzej przy metodzie przekątniowej.
Ostrze Kroneckera raniło zresztą nie tylko Cantora. Gdy Lindemann udowodnił w 1882 roku, że jest liczbą przestępną, Kronecker miał mu pogratulować „pięknego dowodu, który jednak niczego nie dowodzi - bo nie istnieje”. A pracom analityka Weierstrassa, swojego wieloletniego kolegi, odmawiał sensu tak uparcie, że zniszczył ich przyjaźń.
Czy na pewno tak powiedział?
Zdania nie ma w żadnym tekście opublikowanym przez samego Kroneckera. Zapisał je Heinrich Weber we wspomnieniu pośmiertnym (1893), relacjonując berliński wykład z 1886 roku - źródło bliskie i wiarygodne, ale jednak z drugiej ręki.
Jest też drobiazg, który strony z cytatami niemal zawsze przekręcają: Kronecker mówił o die ganzen Zahlen - liczbach całkowitych, nie „naturalnych”, jak brzmi popularna polska (i angielska) wersja. Różnica wydaje się kosmetyczna, ale dla samego sporu wcale taka nie jest - i pokazuje, jak cytaty gładnieją w obiegu, aż zaczynają znaczyć trochę co innego, niż powiedziano.
Matematyka za tą historią
Spór nie był kaprysem starego profesora - to jedno z wielkich pytań podstaw matematyki: czy istnieje to, czego nie umiemy skonstruować? Kronecker odpowiadał „nie” i jego program przetrwał jako konstruktywizm; w XX wieku podjął go Brouwer, a dziś odżywa w informatyce, gdzie dowód konstruktywny to po prostu algorytm.
Historia przyznała jednak rację przeciwnikom w sprawie, o którą toczyła się wojna. Teoria mnogości Cantora - z twierdzeniem o mocy zbioru potęgowego i hierarchią nieskończoności - stała się fundamentem współczesnej matematyki, a odpowiedzią na zdanie Kroneckera jest drugi słynny cytat tej wojny: Hilbertowskie „nikt nas nie wypędzi z raju, który stworzył nam Cantor”. Ironia losu: z liczb całkowitych, „stworzonych przez Boga”, faktycznie można skonstruować całą resztę - ułamki, liczby rzeczywiste i zespolone - ale konstrukcja liczb rzeczywistych wymaga dokładnie tej nieskończoności, której Kronecker zakazywał.
