Działania na wielomianach - dodawanie, odejmowanie, mnożenie

Q: Jaki stopień ma iloczyn wielomianów?

Równy sumie stopni czynników: deg(W · V) = deg W + deg V (dla wielomianów niezerowych). Wielomian stopnia 3 razy wielomian stopnia 4 daje wielomian stopnia 7.

Q: Jaki stopień ma suma wielomianów?

Co najwyżej równy większemu ze stopni. Jeśli stopnie są różne - dokładnie równy większemu. Jeśli są równe, a współczynniki wiodące są przeciwne, stopień sumy jest mniejszy.

Q: Jak mnożyć wielomiany?

Każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego, dodając wykładniki potęg, a potem redukcja wyrazów podobnych. Przy dłuższych wielomianach pomaga tabela iloczynów.

Q: Jak sprawdzić, czy dobrze pomnożyłem wielomiany?

Podstaw x = 1 po obu stronach: iloczyn sum współczynników czynników musi być równy sumie współczynników wyniku. Dla większej pewności podstaw jeszcze jedną liczbę, np. x = 2.

Q: Czy iloraz wielomianów jest wielomianem?

Nie zawsze - x² + 1/x wielomianem nie jest. Dzielenie wielomianów z resztą omawia lekcja dzielenie wielomianów.

Klasa 2 liceum i technikum

Działania na wielomianach i stopień wyniku

$(W + V)(x) = W(x) + V(x) \qquad (W - V)(x) = W(x) - V(x) \qquad (W \cdot V)(x) = W(x) \cdot V(x)$

$\deg (W \cdot V) = \deg W + \deg V \qquad \deg (W \pm V) \le \max(\deg W, \deg V)$

Współczynnik wiodący iloczynu to iloczyn współczynników wiodących, a wyraz wolny iloczynu - iloczyn wyrazów wolnych (dla niezerowych $W$ i $V$ ).

Działania na wielomianach wykonujemy tak samo jak na wyrażeniach algebraicznych: przy dodawaniu i odejmowaniu redukujemy wyrazy podobne, a przy mnożeniu mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego. Wynik dodawania, odejmowania i mnożenia wielomianów jest zawsze wielomianem.

W tej lekcji pracujemy głównie na dwóch wielomianach:

$W(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5, \qquad V(x) = -2x^3 + x^2 + 3x + 1.$

Dodawanie wielomianów

Dodajemy współczynniki przy tych samych potęgach $x$ .

Przykład 1. Oblicz $W(x) + V(x)$ .

Krok 1. Zapisujemy sumę i opuszczamy nawiasy (przed drugim stoi plus, więc znaki się nie zmieniają):

$W(x) + V(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5 - 2x^3 + x^2 + 3x + 1.$

Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne: $2x^3 - 2x^3 = 0$ , $-4x^2 + x^2 = -3x^2$ , $x + 3x = 4x$ , $-5 + 1 = -4$ .

Odpowiedź. $W(x) + V(x) = -3x^2 + 4x - 4$ .

Oba wielomiany miały stopień $3$ , a suma ma stopień $2$ - wyrazy z $x^3$ się zniosły, bo współczynniki wiodące $2$ i $-2$ są liczbami przeciwnymi. Dlatego o stopniu sumy mówimy tylko „co najwyżej tyle, ile większy ze stopni”.

Odejmowanie wielomianów

Odejmowanie to dodanie wielomianu przeciwnego: minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu w nawiasie, nie tylko pierwszego.

Przykład 2. Oblicz $W(x) - V(x)$ .

Krok 1. Opuszczamy nawias, zmieniając wszystkie znaki drugiego wielomianu:

$W(x) - V(x) = 2x^3 - 4x^2 + x - 5 + 2x^3 - x^2 - 3x - 1.$

Krok 2. Redukujemy: $2x^3 + 2x^3 = 4x^3$ , $-4x^2 - x^2 = -5x^2$ , $x - 3x = -2x$ , $-5 - 1 = -6$ .

Odpowiedź. $W(x) - V(x) = 4x^3 - 5x^2 - 2x - 6$ .

Tym razem stopień się nie obniżył, bo $2 - (-2) = 4 \neq 0$ .

Mnożenie wielomianów

Mnożymy każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego, korzystając z reguły $x^m \cdot x^k = x^{m+k}$ , a potem redukujemy wyrazy podobne. Wielomian o $m$ wyrazach razy wielomian o $k$ wyrazach daje przed redukcją $m \cdot k$ iloczynów - to dobra kontrola, czy żadnego nie zgubiliśmy.

Przykład 3. Oblicz $P(x) \cdot Q(x)$ , gdzie $P(x) = x^2 - 3x + 2$ , $Q(x) = 2x + 1$ .

Krok 1. Mnożymy każdy wyraz $P$ przez $2x$ , a potem przez $1$ (razem $3 \cdot 2 = 6$ iloczynów):

$(x^2 - 3x + 2)(2x + 1) = 2x^3 + x^2 - 6x^2 - 3x + 4x + 2.$

Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne.

Odpowiedź. $P(x) \cdot Q(x) = 2x^3 - 5x^2 + x + 2$ .

Przykład 4. Oblicz $(x^2 + 2x - 1)(x^2 - x + 3)$ .

Przy większej liczbie wyrazów wygodnie jest ułożyć iloczyny w tabeli: wiersze to wyrazy pierwszego wielomianu, kolumny - drugiego.

·	x²	−x	3
x²	x⁴	−x³	3x²
2x	2x³	−2x²	6x
−1	−x²	x	−3

Krok 1. Zbieramy wyrazy z tabeli według potęg: $x^4$ ; $-x^3 + 2x^3 = x^3$ ; $3x^2 - 2x^2 - x^2 = 0$ ; $6x + x = 7x$ ; $-3$ .

Krok 2. Zapisujemy wynik (wyraz z $x^2$ się wyzerował).

Odpowiedź. $(x^2 + 2x - 1)(x^2 - x + 3) = x^4 + x^3 + 7x - 3$ .

Sprawdzenie przez $x = 1$ . Lewa strona: $(1 + 2 - 1)(1 - 1 + 3) = 2 \cdot 3 = 6$ . Prawa: $1 + 1 + 7 - 3 = 6$ . Zgadza się - to szybki test na sumę współczynników z lekcji wielomian jednej zmiennej. Pomyłkę wyłapie on prawie zawsze, choć nie daje stuprocentowej pewności - dla pewności można podstawić jeszcze $x = 2$ albo $x = -1$ .

Przykład 5. Podnieś do kwadratu $(x^2 - 2x + 3)$ .

Kwadrat trójmianu to suma kwadratów wyrazów plus podwojone iloczyny każdej pary:

$(x^2 - 2x + 3)^2 = x^4 + 4x^2 + 9 + 2 \cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 2 \cdot (-2x) \cdot 3.$

Odpowiedź. $(x^2 - 2x + 3)^2 = x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 12x + 9$ .

Działania łączone

Przykład 6. Dla $W(x) = x^2 - 2x + 4$ i $V(x) = 3x - 5$ oblicz $3W(x) - x \cdot V(x)$ .

Krok 1. $3W(x) = 3x^2 - 6x + 12$ oraz $x \cdot V(x) = 3x^2 - 5x$ .

Krok 2. Odejmujemy, pamiętając o zmianie obu znaków:

$3x^2 - 6x + 12 - 3x^2 + 5x = -x + 12.$

Odpowiedź. $3W(x) - x \cdot V(x) = -x + 12$ - wielomian stopnia pierwszego.

Stopień sumy i iloczynu

Stopień iloczynu znamy bez wymnażania: najwyższa potęga w iloczynie powstaje tylko z pomnożenia najwyższych potęg obu czynników, a ich współczynniki $a_n \neq 0$ i $b_m \neq 0$ dają iloczyn $a_n b_m \neq 0$ . Stąd

$\deg(W \cdot V) = \deg W + \deg V.$

Przy sumie najwyższe wyrazy mogą się znieść, więc stopień sumy może być mniejszy:

W(x)	V(x)	W + V	stopień sumy	stopień iloczynu
x³ + 2	x² − 1	x³ + x² + 1	3 = max(3, 2)	5 = 3 + 2
x² + 3x	−x² + 1	3x + 1	1 < 2	4 = 2 + 2
2x³ − 4x² + x − 5	−2x³ + x² + 3x + 1	−3x² + 4x − 4	2 < 3	6 = 3 + 3
x − 4	4 − x	0	nieokreślony	2 = 1 + 1

Przykład 7. Podaj stopień, współczynnik wiodący i wyraz wolny wielomianu $W(x) = (2x^3 - x + 1)^4 \cdot (x^2 + 5)$ - bez wymnażania.

Krok 1. Stopień. $(2x^3 - x + 1)^4$ to iloczyn czterech wielomianów stopnia $3$ , więc ma stopień $4 \cdot 3 = 12$ . Razem z czynnikiem stopnia $2$ : $12 + 2 = 14$ .

Krok 2. Współczynnik wiodący. Iloczyn współczynników wiodących: $2^4 \cdot 1 = 16$ .

Krok 3. Wyraz wolny. Iloczyn wyrazów wolnych: $1^4 \cdot 5 = 5$ (to samo co $W(0)$ ).

Odpowiedź. Stopień $14$ , współczynnik wiodący $16$ , wyraz wolny $5$ .

Współczynnik przy wybranej potędze

Czasem pytają tylko o jeden współczynnik iloczynu. Nie trzeba wtedy wymnażać wszystkiego - wystarczy znaleźć pary wyrazów, których potęgi sumują się do szukanej.

Przykład 8. Wyznacz współczynnik przy $x^2$ w iloczynie $(3x^3 - x + 2)(x^2 + 4x - 5)$ .

Krok 1. Szukamy par (wyraz z pierwszego nawiasu, wyraz z drugiego) dających $x^2$ : $(-x) \cdot 4x = -4x^2$ oraz $2 \cdot x^2 = 2x^2$ . Wyraz $3x^3$ nie pasuje do żadnego wyrazu drugiego nawiasu (dałby co najmniej $x^3$ ).

Krok 2. Sumujemy: $-4 + 2 = -2$ .

Odpowiedź. Współczynnik przy $x^2$ wynosi $-2$ .

Typowe błędy

Minus tylko przy pierwszym wyrazie. $W(x) - (x^2 - 3x + 1)$ to $W(x) - x^2 + 3x - 1$ , a nie $W(x) - x^2 - 3x + 1$ .
Mnożenie potęg przez pomnożenie wykładników. $x^2 \cdot x^3 = x^5$ , nie $x^6$ . Wykładniki przy mnożeniu potęg dodajemy.
Zgubiony iloczyn. Trójmian razy trójmian to $9$ iloczynów; jeśli wyszło $8$ , któregoś brakuje. Pomaga tabela z przykładu 4.
„Suma wielomianów stopnia 3 ma stopień 3”. Nie zawsze - wyrazy wiodące mogą się znieść (przykład 1).
$(x^2 + x)^2 = x^4 + x^2$ . Brakuje podwojonego iloczynu $2x^3$ - ten sam błąd co przy wzorach skróconego mnożenia.

Najczęstsze pytania

Jaki stopień ma iloczyn wielomianów? Równy sumie stopni czynników: $\deg(W \cdot V) = \deg W + \deg V$ (dla wielomianów niezerowych). Wielomian stopnia $3$ razy wielomian stopnia $4$ daje wielomian stopnia $7$ .

Jaki stopień ma suma wielomianów? Co najwyżej równy większemu ze stopni. Jeśli stopnie są różne - dokładnie równy większemu. Jeśli są równe, a współczynniki wiodące są przeciwne, stopień sumy jest mniejszy.

Jak mnożyć wielomiany? Każdy wyraz pierwszego wielomianu przez każdy wyraz drugiego, dodając wykładniki potęg, a potem redukcja wyrazów podobnych. Przy dłuższych wielomianach pomaga tabela iloczynów.

Jak sprawdzić, czy dobrze pomnożyłem wielomiany? Podstaw $x = 1$ po obu stronach: iloczyn sum współczynników czynników musi być równy sumie współczynników wyniku. Dla większej pewności podstaw jeszcze jedną liczbę, np. $x = 2$ .

Czy iloraz wielomianów jest wielomianem? Nie zawsze - $\frac{x^2 + 1}{x}$ wielomianem nie jest. Dzielenie wielomianów z resztą omawia lekcja dzielenie wielomianów.

Przećwicz

Działania na wielomianach → - suma, różnica i iloczyn wielomianów, stopień wyniku, współczynnik przy wybranej potędze i parametr w iloczynie.
Równość wielomianów → - wymnażanie postaci iloczynowej i porównywanie współczynników.

Podsumowanie

Dodając i odejmując wielomiany, redukujemy wyrazy przy tych samych potęgach; minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu.
Mnożymy „każdy przez każdy”, dodając wykładniki; $m$ wyrazów razy $k$ wyrazów to $m \cdot k$ iloczynów przed redukcją.
$\deg(W \cdot V) = \deg W + \deg V$ , a $\deg(W \pm V) \le \max(\deg W, \deg V)$ .
Współczynnik wiodący i wyraz wolny iloczynu to iloczyny odpowiednich współczynników czynników.
Wynik sprawdzamy, podstawiając $x = 1$ (suma współczynników).

Dalej w dziale: równość wielomianów - jak wyznaczać parametry, porównując współczynniki. Mnożenie wyrażeń przećwiczysz w zadaniach mnożenie sum algebraicznych → oraz upraszczanie wyrażeń →.