Równanie kierunkowe prostej y = ax + b - nachylenie i warunki

Klasa 2 liceum i technikum

Równanie kierunkowe prostej to zapis $y = ax + b$, w którym $a$ jest współczynnikiem kierunkowym (tangensem kąta nachylenia prostej do osi $OX$), a $b$ - wyrazem wolnym, czyli drugą współrzędną punktu przecięcia prostej z osią $OY$. W tej postaci da się zapisać każdą prostą z wyjątkiem prostych pionowych.

Postać $y = ax + b$ znasz już jako wzór funkcji liniowej. W geometrii analitycznej patrzymy na nią inaczej: nie jak na funkcję, tylko jak na opis zbioru punktów - punkt $(x, y)$ leży na prostej dokładnie wtedy, gdy jego współrzędne spełniają równanie. Zestawienie samych wzorów jest na stronie równanie prostej - wzory.

Co mówią współczynniki a i b

• $b$ odczytujemy, podstawiając $x = 0$: wtedy $y = b$. Prosta przechodzi przez punkt $(0, b)$.
• $a$ mówi, o ile zmienia się $y$, gdy $x$ rośnie o $1$. Ogólniej - to iloraz przyrostów $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ dla dowolnych dwóch punktów prostej. Znak $a$ decyduje o tym, czy prosta „wznosi się” ($a > 0$), czy „opada” ($a < 0$); przy $a = 0$ jest pozioma.

Szczegółowo o roli współczynnika $a$ (tempo zmian, monotoniczność) była mowa w lekcji współczynnik kierunkowy funkcji liniowej. Tutaj potrzebujemy przede wszystkim jego związku z kątem.

Współczynnik kierunkowy a kąt nachylenia

W trójkącie prostokątnym z rysunku przyprostokątna pionowa to $\Delta y$, a pozioma - $\Delta x$. Ich iloraz to z definicji tangens kąta, który prosta tworzy z dodatnią półosią $OX$:

$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \operatorname{tg} \alpha.$

Dla prostych opadających kąt $\alpha$ jest rozwarty, a jego tangens - ujemny. Najczęstsze wartości:

Przykład 1. Napisz równanie prostej nachylonej do osi $OX$ pod kątem $60^\circ$, która przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -2)$.

Współczynnik kierunkowy: $a = \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3}$, wyraz wolny: $b = -2$. Odpowiedź: $y = \sqrt{3}x - 2$.

Prosta przez punkt o danym nachyleniu

Niech prosta o współczynniku $a$ przechodzi przez punkt $P = (x_0, y_0)$. Dla każdego innego punktu $(x, y)$ tej prostej iloraz przyrostów jest równy $a$:

$\frac{y - y_0}{x - x_0} = a \quad\Rightarrow\quad y - y_0 = a(x - x_0).$

Ten wzór pozwala pominąć osobne liczenie $b$ - wystarczy podstawić i uporządkować.

Przykład 2. Wyznacz równanie prostej o współczynniku kierunkowym $\frac{3}{4}$, przechodzącej przez punkt $P = (2, -3)$.

Krok 1. Podstawiamy do wzoru: $y - (-3) = \frac{3}{4}(x - 2)$, czyli $y + 3 = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2}$.

Krok 2. Wyznaczamy $y$: $y = \frac{3}{4}x - \frac{3}{2} - 3 = \frac{3}{4}x - \frac{9}{2}$.

Krok 3. Sprawdzenie. Dla $x = 2$: $\frac{3}{4} \cdot 2 - \frac{9}{2} = \frac{3}{2} - \frac{9}{2} = -3$ - punkt $P$ leży na prostej.

Odpowiedź: $y = \frac{3}{4}x - \frac{9}{2}$.

Prosta przechodząca przez dwa punkty

Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Gdy $x_A \ne x_B$, jej współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostów, a potem korzystamy z poprzedniego wzoru.

Przykład 3. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez $A = (-1, 4)$ i $B = (3, -4)$.

Krok 1. Współczynnik kierunkowy.

$a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-4 - 4}{3 - (-1)} = \frac{-8}{4} = -2.$

Krok 2. Wzór z punktem $A$. $y - 4 = -2(x + 1)$, czyli $y = -2x + 2$.

Krok 3. Sprawdzenie punktem $B$. $-2 \cdot 3 + 2 = -4$ - zgadza się.

Odpowiedź: $y = -2x + 2$.

Ten sam wynik daje układ równań: podstawiamy oba punkty do $y = ax + b$ i dostajemy $4 = -a + b$ oraz $-4 = 3a + b$. Odejmując stronami: $-8 = 4a$, więc $a = -2$ i $b = 2$. Metoda z ilorazem przyrostów jest zwykle szybsza.

Prosta pionowa nie ma postaci kierunkowej

Punkty $A = (2, -1)$ i $B = (2, 5)$ mają tę samą pierwszą współrzędną. Wzór na $a$ wymagałby dzielenia przez $x_B - x_A = 0$ - współczynnik kierunkowy nie istnieje. Prosta przez te punkty to $x = 2$: zbiór wszystkich punktów o pierwszej współrzędnej $2$. Nie jest to wykres żadnej funkcji, bo jednemu $x$ odpowiada nieskończenie wiele wartości $y$.

Prosta pozioma nie sprawia kłopotu: $y = 3$ to postać kierunkowa z $a = 0$ i $b = 3$.

Prostą pionową opisuje dopiero równanie ogólne prostej$Ax + By + C = 0$ - temat następnej lekcji.

Proste równoległe i prostopadłe

Dla prostych $k\colon y = a_1x + b_1$ oraz $l\colon y = a_2x + b_2$:

• $k \parallel l$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1 = a_2$ - ten sam współczynnik to ten sam kąt nachylenia. Jeśli dodatkowo $b_1 = b_2$, proste się pokrywają.
• $k \perp l$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$, czyli $a_2 = -\frac{1}{a_1}$.

Skąd warunek prostopadłości? Prosta o współczynniku $a$ ma kierunek wektora $[1, a]$ (krok o $1$ w prawo, o $a$ w górę). Obrót o $90^\circ$ zamienia go na wektor $[-a, 1]$, którego nachylenie wynosi $\frac{1}{-a} = -\frac{1}{a}$. Iloczyn obu współczynników: $a \cdot \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$. Praktyczna reguła: odwróć ułamek i zmień znak.

Przykład 4. Rozstrzygnij, jak położone są proste:

• $y = \frac{3}{2}x + 1$ i $y = -\frac{2}{3}x + 4$: iloczyn $\frac{3}{2} \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = -1$ - prostopadłe;
• $y = 3x + 1$ i $y = 3x - 5$: równe współczynniki, różne wyrazy wolne - równoległe;
• $y = 3x + 1$ i $y = -3x + 2$: ani $a_1 = a_2$, ani $a_1 a_2 = -1$ - przecinają się, ale nie pod kątem prostym. Sama zmiana znaku nie wystarcza!

Prosta równoległa i prostopadła przez dany punkt

Przykład 5. Dana jest prosta $l\colon y = 2x - 1$ i punkt $P = (-1, 3)$. Wyznacz prostą $k$ równoległą do $l$ i prostą $m$ prostopadłą do $l$, obie przechodzące przez $P$.

Krok 1. Prosta równoległa. Ma ten sam współczynnik $a = 2$: $y - 3 = 2(x + 1)$, czyli $k\colon y = 2x + 5$.

Krok 2. Prosta prostopadła. Ma współczynnik $-\frac{1}{2}$: $y - 3 = -\frac{1}{2}(x + 1)$, czyli $m\colon y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$.

Krok 3. Sprawdzenie. Dla $x = -1$ obie dają $y = 3$, a $2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1$.

Punkt przecięcia $m$ z $l$ wyznaczamy z równania $2x - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$, skąd $x = 1{,}4$ i $y = 1{,}8$. To punkt prostej $l$ najbliższy punktowi $P$ - odległość od niego policzymy szybciej wzorem z lekcji o równaniu ogólnym.

Symetralna odcinka

Symetralna odcinka $AB$ przechodzi przez jego środek i jest prostopadła do $AB$. Dwa poznane narzędzia wystarczą, żeby ją wyznaczyć.

Przykład 6. Wyznacz symetralną odcinka o końcach $A = (1, 4)$ i $B = (5, 2)$.

Krok 1. Środek odcinka. $S = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{4 + 2}{2}\right) = (3, 3)$.

Krok 2. Nachylenie $AB$. $a_{AB} = \frac{2 - 4}{5 - 1} = -\frac{1}{2}$, więc symetralna ma współczynnik $2$.

Krok 3. Równanie. $y - 3 = 2(x - 3)$, czyli $y = 2x - 3$.

To ta sama prosta, na której w lekcji odcinek w układzie współrzędnych leżał punkt $(1{,}5;\ 0)$ równo oddalony od $A$ i $B$: $2 \cdot 1{,}5 - 3 = 0$.

Zadanie z parametrem

Przykład 7. Dla jakich $m$ proste $y = mx + 1$ i $y = (m - 2)x + 3$ są a) równoległe, b) prostopadłe?

a) Równoległość: $m = m - 2$, czyli $0 = -2$ - sprzeczność. Proste nigdy nie są równoległe (ich współczynniki zawsze różnią się o $2$).

b) Prostopadłość: $m(m - 2) = -1$, czyli $m^2 - 2m + 1 = 0$, $(m - 1)^2 = 0$, więc $m = 1$. Wtedy proste to $y = x + 1$ i $y = -x + 3$, a $1 \cdot (-1) = -1$.

Typowe błędy

• Odwrócony iloraz: $a = \frac{\Delta y}{\Delta x}$, nie $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ - przyrost „w pionie” idzie do licznika.
• Prostopadła „tylko ze zmianą znaku” albo „tylko z odwróceniem”: do $a = 2$ prostopadła ma $-\frac{1}{2}$, a nie $-2$ ani $\frac{1}{2}$.
• Wyraz wolny pomylony z punktem: $b$ to wartość $y$ dla $x = 0$, a nie druga współrzędna dowolnego danego punktu.
• Wzór na $a$ przy prostej pionowej: gdy $x_A = x_B$, odpowiedzią jest $x = x_A$, a nie „brak prostej”.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty? Oblicz $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$, a potem podstaw jeden z punktów do $y - y_A = a(x - x_A)$ i wyznacz $y$. Na koniec sprawdź drugi punkt.

Jak obliczyć współczynnik kierunkowy prostej? Z dwóch punktów prostej: różnica drugich współrzędnych podzielona przez różnicę pierwszych. Gdy znasz kąt nachylenia $\alpha$, to $a = \operatorname{tg} \alpha$.

Kiedy proste są prostopadłe? Gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$, na przykład $2$ i $-\frac{1}{2}$. Wyjątek: prosta pozioma i pionowa też są prostopadłe, choć pionowa nie ma współczynnika - taki przypadek obsługuje równanie ogólne.

Kiedy proste są równoległe? Gdy mają równe współczynniki kierunkowe. Przy różnych wyrazach wolnych nie mają punktów wspólnych, przy równych - pokrywają się.

Co oznacza b w równaniu y = ax + b? To druga współrzędna punktu, w którym prosta przecina oś $OY$ - prosta przechodzi przez $(0, b)$.

Dlaczego prosta pionowa nie ma równania kierunkowego? Bo wszystkie jej punkty mają tę samą pierwszą współrzędną, a we wzorze na $a$ dzielilibyśmy przez zero. Taką prostą zapisujemy jako $x = c$.

Przećwicz

• Równanie prostej → - prosta przez dwa punkty, prosta pionowa, równoległe i prostopadłe przez punkt.
• Prosta równoległa → i prosta prostopadła → - warunki z rozdziału o funkcji liniowej.
• Wzór prostej z dwóch punktów →.
• Figury w układzie współrzędnych → - między innymi symetralna odcinka.

Podsumowanie

• Równanie kierunkowe $y = ax + b$: $b$ - punkt przecięcia z osią $OY$, $a = \operatorname{tg} \alpha$ - nachylenie.
• Z dwóch punktów: $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$; przez punkt o danym nachyleniu: $y - y_0 = a(x - x_0)$.
• Prosta pionowa $x = c$ nie ma postaci kierunkowej, pozioma $y = c$ ma ($a = 0$).
• Równoległe: $a_1 = a_2$; prostopadłe: $a_1 \cdot a_2 = -1$ - odwracamy ułamek i zmieniamy znak.
• Symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego, przechodząca przez jego środek.