Jedynka trygonometryczna i tożsamości trygonometryczne

Klasa 2 liceum i technikum

Jedynka trygonometryczna to tożsamość $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, prawdziwa dla każdego kąta $\alpha$: suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta zawsze wynosi 1. Razem ze wzorami $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ i $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ pozwala z jednej znanej funkcji wyznaczyć wszystkie pozostałe.

Tożsamość - czyli równość prawdziwa zawsze

Tożsamość trygonometryczna to równość, która jest prawdziwa dla każdego kąta, dla którego obie jej strony mają sens. Nie rozwiązuje się jej jak równania - nie szukamy kąta, który ją spełnia, bo spełnia ją każdy kąt z dziedziny. Dlatego przy każdej tożsamości trzeba umieć powiedzieć, dla jakich kątów zachodzi.

Skąd się biorą - wyprowadzenie z definicji

W poprzedniej lekcji funkcje dowolnego kąta zdefiniowaliśmy przez punkt $P = (x, y)$ leżący na końcowym ramieniu kąta i jego odległość od początku układu $r = \sqrt{x^2 + y^2} > 0$:

$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y}.$

Jedynka trygonometryczna. Podnosimy sinus i cosinus do kwadratu i dodajemy:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = \frac{y^2}{r^2} + \frac{x^2}{r^2} = \frac{x^2 + y^2}{r^2} = \frac{r^2}{r^2} = 1.$

To po prostu twierdzenie Pitagorasa zapisane dla trójkąta o bokach $|x|$, $|y|$ i $r$. Ponieważ $r$ nigdy nie jest zerem, jedynka działa dla każdego kąta - także rozwartego, większego od $360^\circ$ czy ujemnego.

Tangens przez sinus i cosinus. Dzielimy licznik i mianownik przez $r$:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = \frac{y/r}{x/r} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}.$

Tak samo $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{x}{y} = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$, a iloczyn $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y} = 1$.

Sprawdzenie na rysunku. Dla $P = (-3, 4)$: $\left(\tfrac{4}{5}\right)^2 + \left(-\tfrac{3}{5}\right)^2 = \tfrac{16}{25} + \tfrac{9}{25} = 1$ oraz $\frac{4/5}{-3/5} = -\tfrac{4}{3} = \operatorname{tg}\alpha$.

Kiedy tożsamość zachodzi - dziedzina

Jedynka nie ma żadnych zastrzeżeń, ale pozostałe wzory zawierają dzielenie:

• $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ - tylko gdy $\cos\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ$ (punkt $P$ nie leży na osi $OY$);
• $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ - tylko gdy $\sin\alpha \neq 0$, czyli $\alpha \neq k \cdot 180^\circ$ (punkt $P$ nie leży na osi $OX$);
• $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$ - tylko gdy istnieją obie funkcje, czyli $\alpha \neq k \cdot 90^\circ$ ($k$ całkowite).

Przy $\alpha = 90^\circ$ wzór $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$ nie zachodzi - nie dlatego, że daje inny wynik, ale dlatego, że tangens kąta $90^\circ$ nie istnieje.

Z jedynki wynika jeszcze jeden przydatny wzór. Dzieląc ją stronami przez $\cos^2\alpha$:

$1 + \operatorname{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} \qquad (\cos\alpha \neq 0).$

Wyznaczanie pozostałych funkcji z jednej danej

Jedynka daje kwadrat szukanej funkcji, więc pierwiastek ma dwa możliwe znaki. Wybieramy go na podstawie ćwiartki, w której leży kąt (znaki funkcji w ćwiartkach omówiliśmy w poprzedniej lekcji).

Przykład 1. Wiadomo, że $\sin\alpha = \tfrac{5}{13}$ i $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Oblicz pozostałe funkcje kąta $\alpha$.

Krok 1. Z jedynki trygonometrycznej:

$\cos^2\alpha = 1 - \left(\tfrac{5}{13}\right)^2 = 1 - \tfrac{25}{169} = \tfrac{144}{169}.$

Krok 2. Kąt leży w II ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, więc $\cos\alpha = -\tfrac{12}{13}$.

Krok 3. Tangens i cotangens:

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{5/13}{-12/13} = -\frac{5}{12}, \qquad \operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} = -\frac{12}{5}.$

Odpowiedź. $\cos\alpha = -\tfrac{12}{13}$, $\operatorname{tg}\alpha = -\tfrac{5}{12}$, $\operatorname{ctg}\alpha = -\tfrac{12}{5}$.

Przykład 2 - dany tangens. Wiadomo, że $\operatorname{tg}\alpha = 2$ i $180^\circ < \alpha < 270^\circ$. Oblicz $\sin\alpha$ i $\cos\alpha$.

Krok 1. Z $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2$ mamy $\sin\alpha = 2\cos\alpha$. Wstawiamy do jedynki:

$(2\cos\alpha)^2 + \cos^2\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad 5\cos^2\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \cos^2\alpha = \tfrac{1}{5}.$

Krok 2. W III ćwiartce sinus i cosinus są ujemne:

$\cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}, \qquad \sin\alpha = 2\cos\alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

Odpowiedź. $\sin\alpha = -\tfrac{2\sqrt{5}}{5}$, $\cos\alpha = -\tfrac{\sqrt{5}}{5}$, a $\operatorname{ctg}\alpha = \tfrac{1}{2}$.

Przykład 3 - szybko. Jeśli $\cos\alpha = -0{,}6$ i kąt leży w III ćwiartce, to $\sin^2\alpha = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, więc $\sin\alpha = -0{,}8$, a $\operatorname{tg}\alpha = \frac{-0{,}8}{-0{,}6} = \tfrac{4}{3}$ i $\operatorname{ctg}\alpha = \tfrac{3}{4}$.

Upraszczanie wyrażeń

Strategia jest zawsze ta sama: tangens i cotangens zamieniamy na sinus i cosinus, a wszędzie, gdzie pojawia się $1 - \sin^2\alpha$ albo $1 - \cos^2\alpha$, korzystamy z jedynki.

• $\dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha} = \sin\alpha$ (dla $\sin\alpha \neq 0$);
• $\operatorname{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \cos\alpha = \sin\alpha$ (dla $\cos\alpha \neq 0$);
• $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$;
• $\sin^4\alpha - \cos^4\alpha = (\sin^2\alpha - \cos^2\alpha)(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = \sin^2\alpha - \cos^2\alpha$.

W ostatnim przykładzie przydał się wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów - w trygonometrii używa się ich bardzo często.

Przykład 4. Wiadomo, że $\sin\alpha + \cos\alpha = 1{,}2$. Oblicz $\sin\alpha \cdot \cos\alpha$.

Podnosimy równość do kwadratu i korzystamy z jedynki:

$(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Zatem $1{,}44 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha$, czyli $\sin\alpha\cos\alpha = 0{,}22$.

Dowodzenie tożsamości

Żeby udowodnić tożsamość, przekształcamy jedną stronę (zwykle bardziej skomplikowaną), aż otrzymamy drugą. Nie wolno zaczynać od założenia, że równość jest prawdziwa, i „przenosić” wyrazów między stronami - tak dowodzi się tylko, że coś wynika z tezy, a nie że teza jest prawdziwa. Na początku zawsze zapisujemy, dla jakich kątów obie strony mają sens.

Przykład 5. Udowodnij, że $\dfrac{1}{\cos\alpha} - \cos\alpha = \sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha$ dla $\cos\alpha \neq 0$.

Przekształcamy lewą stronę:

$L = \frac{1 - \cos^2\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha \cdot \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \sin\alpha \cdot \operatorname{tg}\alpha = P.$

Przykład 6. Udowodnij, że $\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{ctg}\alpha = \dfrac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}$ dla $\alpha \neq k \cdot 90^\circ$.

$L = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha} = \frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha} = P.$

Dziedzina jest tu ważna: dla $\alpha = 90^\circ$ nie istnieje tangens, a dla $\alpha = 180^\circ$ - cotangens, więc tożsamość dotyczy wyłącznie kątów różnych od wielokrotności $90^\circ$.

Najczęstsze pytania

Co to jest jedynka trygonometryczna? To tożsamość $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$: suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest zawsze równa 1. Wynika wprost z twierdzenia Pitagorasa.

Czy jedynka trygonometryczna działa dla każdego kąta? Tak - dla każdego kąta, także rozwartego, ujemnego i większego od $360^\circ$. W przeciwieństwie do wzoru na tangens nie ma w niej dzielenia, więc nie ma też wyjątków.

Jak obliczyć cosinus, gdy znam sinus? Z jedynki: $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$, potem pierwiastek. Znak wybierasz według ćwiartki: cosinus jest dodatni w I i IV ćwiartce, ujemny w II i III. Dla kąta ostrego zawsze bierzesz plus.

Ile wynosi tg α · ctg α? Jeden - pod warunkiem, że obie funkcje istnieją, czyli kąt nie jest wielokrotnością $90^\circ$. Tangens i cotangens tego samego kąta są swoimi odwrotnościami.

Dlaczego przy wyznaczaniu cosinusa wychodzą dwa znaki? Bo jedynka podaje kwadrat cosinusa, a równanie $\cos^2\alpha = \tfrac{144}{169}$ ma dwa rozwiązania: $\tfrac{12}{13}$ i $-\tfrac{12}{13}$. Ten sam sinus mają dwa kąty - jeden w I, drugi w II ćwiartce - i ich cosinusy różnią się właśnie znakiem.

Jak udowodnić tożsamość trygonometryczną? Przekształć jedną stronę, aż dostaniesz drugą: zamień tangens i cotangens na sinus i cosinus, sprowadź do wspólnego mianownika, a $1 - \sin^2\alpha$ zastąp przez $\cos^2\alpha$. Zapisz też dziedzinę - kąty, dla których wyrażenia mają sens.

Czy $\sin^2\alpha$ to to samo co $\sin(\alpha^2)$? Nie. Zapis $\sin^2\alpha$ oznacza $(\sin\alpha)^2$ - najpierw liczymy sinus, potem podnosimy do kwadratu. Dla $\alpha = 30^\circ$ to $\tfrac{1}{4}$.

Przećwicz

• Związki między funkcjami trygonometrycznymi → - jedynka, tangens przez sinus i cosinus, wyznaczanie funkcji z jednej danej.
• Dalej: wzory redukcyjne - jak sprowadzić dowolny kąt do kąta ostrego.

Podsumowanie

• Jedynka trygonometryczna: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ dla każdego kąta.
• $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ (gdy $\cos\alpha \neq 0$), $\operatorname{ctg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ (gdy $\sin\alpha \neq 0$).
• $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{ctg}\alpha = 1$ dla $\alpha \neq k \cdot 90^\circ$.
• Wszystkie wzory wynikają z definicji przez punkt $P = (x, y)$ i twierdzenia Pitagorasa.
• Z jednej funkcji wyznaczamy pozostałe jedynką, a znak - z ćwiartki.
• Tożsamość dowodzimy, przekształcając jedną stronę, i zawsze podajemy dziedzinę.