Miara łukowa kąta - radiany, stopnie i kąt skierowany

Klasa 2 liceum i technikum

Radian to miara kąta środkowego opartego na łuku, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Kąt półpełny ma $\pi$ radianów, kąt pełny $2\pi$, a jeden radian to około $57{,}3^\circ$. Żeby zamienić stopnie na radiany, mnożymy przez $\frac{\pi}{180^\circ}$, np. $60^\circ = \frac{\pi}{3}$.

Zanim przejdziemy do radianów, potrzebujemy jeszcze jednego uogólnienia: kąta, który może mieć więcej niż $360^\circ$, a nawet miarę ujemną.

Kąt skierowany

Zwykły kąt to dwa ramiona i obszar między nimi - jego miara mieści się między $0^\circ$ a $360^\circ$. Kąt skierowany to para ramion w ustalonej kolejności: ramię początkowe i ramię końcowe, oraz informacja, jak (i ile razy) obróciliśmy jedno w drugie.

• Ramię początkowe kładziemy na dodatniej półosi $OX$, a wierzchołek - w początku układu.
• Obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara daje miarę dodatnią.
• Obrót zgodny z ruchem wskazówek zegara daje miarę ujemną.
• Po pełnym obrocie możemy kręcić dalej - stąd kąty $400^\circ$, $720^\circ$ czy $-500^\circ$.

Ramię końcowe nie wyznacza więc jednej miary kąta, ale całą rodzinę. Kąty o tym samym ramieniu końcowym różnią się o wielokrotność pełnego obrotu:

$\alpha + k \cdot 360^\circ, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Na rysunku: $120^\circ$, $120^\circ - 360^\circ = -240^\circ$, $120^\circ + 360^\circ = 480^\circ$ - wszystkie te kąty mają to samo ramię końcowe, więc także te same wartości sinusa i cosinusa.

Przykład 1 - w której ćwiartce leży kąt?

• $1000^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 280^\circ$, więc ramię końcowe jest takie jak dla $280^\circ$ - IV ćwiartka;
• $-135^\circ = 225^\circ - 360^\circ$ - tak jak $225^\circ$, czyli III ćwiartka;
• $405^\circ = 360^\circ + 45^\circ$ - I ćwiartka.

Radian - definicja

Narysujmy okrąg o promieniu $r$ i odłóżmy na nim łuk o długości dokładnie $r$. Kąt środkowy oparty na tym łuku to jeden radian.

Ogólnie miara łukowa kąta środkowego to stosunek długości łuku do promienia:

$\alpha = \frac{l}{r}.$

To liczba bez jednostki - centymetry z licznika skracają się z centymetrami z mianownika. Dlatego zapis „rad” często się pomija: $\alpha = 2$ oznacza kąt 2 radianów.

Skąd $180^\circ = \pi$? Cały okrąg ma długość $2\pi r$, więc kąt pełny ma miarę $\frac{2\pi r}{r} = 2\pi$ radianów. Kąt półpełny to połowa: $\pi$ radianów. Stąd $1 \ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}2958^\circ$, czyli mniej więcej $57^\circ 18'$.

Zamiana stopni na radiany

Mnożymy miarę w stopniach przez $\frac{\pi}{180^\circ}$ i skracamy ułamek.

Przykład 2.

$45^\circ = 45^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{4}, \qquad 210^\circ = \frac{210\pi}{180} = \frac{7\pi}{6}, \qquad 72^\circ = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}.$

Wygodny skrót: skoro $30^\circ = \frac{\pi}{6}$, to $210^\circ = 7 \cdot 30^\circ = \frac{7\pi}{6}$.

Zamiana radianów na stopnie

Mnożymy przez $\frac{180^\circ}{\pi}$ - albo po prostu wstawiamy $\pi = 180^\circ$.

Przykład 3.

$\frac{5\pi}{6} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{6} = 150^\circ, \qquad \frac{3\pi}{4} = \frac{3 \cdot 180^\circ}{4} = 135^\circ, \qquad \frac{11\pi}{3} = \frac{11 \cdot 180^\circ}{3} = 660^\circ.$

Gdy w mierze nie ma $\pi$, wynik jest przybliżony: $2 \ \text{rad} = 2 \cdot \frac{180^\circ}{\pi} \approx 114{,}6^\circ$.

Tabela typowych kątów

Kąt pełny $360^\circ$ to $2\pi$. Wartości funkcji dla tych kątów są w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

Kąt skierowany w radianach

Pełny obrót to $2\pi$, więc rodzina kątów o tym samym ramieniu końcowym ma postać

$\alpha + 2k\pi, \qquad k \in \mathbb{Z}.$

Przykład 4. $\frac{17\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi$, więc ramię końcowe jest takie jak dla $150^\circ$ - II ćwiartka. Z kolei $-\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} - 2\pi$ ma ramię kąta $300^\circ$, czyli leży w IV ćwiartce.

Długość łuku i pole wycinka w radianach

W lekcji o kątach w okręgu wzory na długość łuku i pole wycinka miały ułamek $\frac{\alpha}{360^\circ}$. W radianach znika on całkowicie:

$l = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{2\pi} = r\alpha, \qquad P = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{2\pi} = \tfrac{1}{2} r^2 \alpha = \tfrac{1}{2} l r.$

To główny powód, dla którego matematycy wolą radiany: wzory stają się prostsze. Inne wzory na koło i okrąg są w tablicy wzorów.

Przykład 5. Promień koła ma $10$ cm, a kąt środkowy $0{,}8$ rad. Oblicz długość łuku i pole wycinka.

$l = 10 \cdot 0{,}8 = 8 \ \text{cm}, \qquad P = \tfrac{1}{2} \cdot 10^2 \cdot 0{,}8 = 40 \ \text{cm}^2.$

Przykład 6. Łuk o długości $15$ cm leży na okręgu o promieniu $5$ cm. Jaką miarę ma kąt środkowy?

$\alpha = \frac{l}{r} = \frac{15}{5} = 3 \ \text{rad} \approx 171{,}9^\circ.$

Przykład 7 - kąt podany w stopniach. Oblicz pole wycinka koła o promieniu $4$ wyznaczonego przez kąt $135^\circ$.

Krok 1. Zamieniamy kąt na radiany: $135^\circ = \frac{3\pi}{4}$.

Krok 2. Wstawiamy do wzoru:

$P = \tfrac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot \frac{3\pi}{4} = 6\pi.$

Odpowiedź. Pole wycinka wynosi $6\pi \approx 18{,}85$. Ten sam wynik daje wzór w stopniach: $16\pi \cdot \frac{135}{360} = 6\pi$.

Najczęstsze pytania

Ile to jest 1 radian w stopniach?$1 \ \text{rad} = \frac{180^\circ}{\pi} \approx 57{,}3^\circ$ (dokładniej $57^\circ 17' 45''$). To kąt środkowy oparty na łuku równym promieniowi.

Jak zamienić stopnie na radiany? Pomnóż miarę w stopniach przez $\frac{\pi}{180}$ i skróć ułamek. Na przykład $60^\circ = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}$.

Jak zamienić radiany na stopnie? Pomnóż przez $\frac{180^\circ}{\pi}$ - w praktyce wstaw $180^\circ$ w miejsce $\pi$. Na przykład $\frac{2\pi}{3} = \frac{2 \cdot 180^\circ}{3} = 120^\circ$.

Ile radianów ma kąt pełny?$2\pi \approx 6{,}28$ radiana, bo tyle razy promień mieści się w obwodzie okręgu. Kąt półpełny ma $\pi$, a kąt prosty $\frac{\pi}{2}$.

Ile stopni to π?$\pi$ radianów to $180^\circ$. Uwaga: sama liczba $\pi \approx 3{,}14$ nie jest „równa 180” - równość $\pi = 180^\circ$ dotyczy miary kąta.

Co to jest kąt skierowany? To kąt z ustalonym ramieniem początkowym i końcowym oraz kierunkiem obrotu. Obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara daje miarę dodatnią, zgodny - ujemną, a po pełnym obrocie można obracać dalej, więc miara może przekroczyć $360^\circ$.

Czy kąt może mieć miarę ujemną? Tak, jeśli jest kątem skierowanym - na przykład $-90^\circ$ to obrót o ćwierć okręgu zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Jego ramię końcowe pokrywa się z ramieniem kąta $270^\circ$.

Po co są radiany, skoro są stopnie? Bo w radianach kąt jest zwykłą liczbą rzeczywistą, więc można z niego zrobić argument funkcji $y = \sin x$, a wzory na łuk i wycinek nie mają dodatkowych ułamków. W radianach mierzy się kąty w całej analizie matematycznej i fizyce.

Podsumowanie

• Kąt skierowany ma ramię początkowe na dodatniej półosi $OX$; obrót przeciwny do ruchu wskazówek zegara daje miarę dodatnią, zgodny - ujemną.
• Kąty $\alpha + k \cdot 360^\circ$ (czyli $\alpha + 2k\pi$) mają to samo ramię końcowe.
• Radian to kąt środkowy oparty na łuku równym promieniowi; $\alpha = \frac{l}{r}$.
• $180^\circ = \pi$ rad, $360^\circ = 2\pi$ rad, $1 \ \text{rad} \approx 57{,}3^\circ$.
• Stopnie na radiany: $\cdot \frac{\pi}{180^\circ}$; radiany na stopnie: $\cdot \frac{180^\circ}{\pi}$.
• W radianach: długość łuku $l = r\alpha$, pole wycinka $P = \tfrac{1}{2} r^2 \alpha$.
• Dalej: funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej, w których argumentem jest właśnie miara łukowa.