Równanie okręgu krok po kroku - postać kanoniczna i ogólna

Klasa 2 liceum i technikum

Równanie okręgu o środku $S = (a, b)$ i promieniu $r > 0$ to $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Spełniają je współrzędne dokładnie tych punktów $(x, y)$, które leżą w odległości $r$ od środka - i żadnych innych. To nie jest nowy wzór do wykucia, tylko wzór na długość odcinka zapisany dla punktu „ruchomego”.

Skąd się bierze równanie okręgu

Okrąg to zbiór punktów odległych od środka $S$ o $r$. Punkt $P = (x, y)$ leży na okręgu wtedy i tylko wtedy, gdy $|SP| = r$. Długość odcinka $SP$ liczymy z twierdzenia Pitagorasa - poziomy bok trójkąta ma długość $|x - a|$, pionowy $|y - b|$:

$|SP| = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r.$

Obie strony są nieujemne, więc wolno je podnieść do kwadratu. Znika pierwiastek i dostajemy równanie okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Kwadrat usuwa też wartości bezwzględne, dlatego nie trzeba się martwić, czy punkt leży na lewo, czy na prawo od środka.

Przykład 1. Napisz równanie okręgu o środku $S = (-1, 1)$ przechodzącego przez punkt $P = (3, 4)$.

Krok 1. Promień to odległość środka od punktu okręgu.

$r = |SP| = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Krok 2. Wstawiamy środek i promień. $a = -1$, $b = 1$, $r^2 = 25$:

$(x - (-1))^2 + (y - 1)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad (x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 25.$

Odpowiedź. $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$. Kontrola: dla $P = (3, 4)$ wychodzi $16 + 9 = 25$.

Jak odczytać środek i promień z równania

W postaci kanonicznej odczyt jest natychmiastowy, ale znaki są odwrócone: w nawiasie stoi $x$ minus pierwsza współrzędna środka. Nawias $(x + 4)$ to $(x - (-4))$, więc $a = -4$. Po prawej stronie stoi $r^2$, nie $r$ - promień to pierwiastek z tej liczby.

Ostatnie dwa wiersze pokazują, że po prawej stronie musi stać liczba dodatnia - inaczej równanie nie opisuje okręgu.

Postać ogólna równania okręgu

Gdy w równaniu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ wymnożymy nawiasy i przeniesiemy wszystko na lewą stronę, dostaniemy

$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0.$

Liczbę w nawiasie oznacza się zwykle literą $c$. Stąd postać ogólna$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ oraz zależność $r^2 = a^2 + b^2 - c$. Rozpoznajesz ją po tym, że $x^2$ i $y^2$ mają ten sam współczynnik i nie ma wyrazu z iloczynem $xy$.

Z postaci ogólnej środka nie widać od razu. Są dwie drogi: uzupełnianie do kwadratu (zrozumiesz, skąd biorą się liczby) albo gotowe wzory $a$, $b$, $r^2$ (szybciej, ale łatwo o pomyłkę w znaku).

Przykład 2. Wyznacz środek i promień okręgu $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$.

Sposób 1. Uzupełnianie do kwadratu. Grupujemy wyrazy z $x$ i z $y$, a każdą grupę uzupełniamy do wzoru skróconego mnożenia: $x^2 + 8x = (x + 4)^2 - 16$ oraz $y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$. Zatem

$(x + 4)^2 - 16 + (y - 1)^2 - 1 + 8 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x + 4)^2 + (y - 1)^2 = 9.$

Sposób 2. Wzory. Porównujemy współczynniki: $-2a = 8$, więc $a = -4$; $-2b = -2$, więc $b = 1$; $c = 8$. Wtedy $r^2 = (-4)^2 + 1^2 - 8 = 9$.

Odpowiedź. $S = (-4, 1)$, $r = 3$.

Kiedy postać ogólna nie opisuje okręgu

Warunek $a^2 + b^2 - c > 0$ trzeba sprawdzić zawsze, bo nie każde równanie „wyglądające jak okrąg” nim jest.

Przykład 3. Czy równanie $x^2 + y^2 - 6x + 10y + 40 = 0$ opisuje okrąg?

Tu $a = 3$, $b = -5$, $c = 40$, więc $a^2 + b^2 - c = 9 + 25 - 40 = -6 < 0$. Po uzupełnieniu do kwadratów: $(x - 3)^2 + (y + 5)^2 = -6$. Suma kwadratów nie bywa ujemna - nie ma takich punktów, to nie jest okrąg.

Z kolei $x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = 0$ daje $4 + 1 - 5 = 0$, czyli $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 0$ - to jeden punkt $(2, -1)$, a nie okrąg.

Przykład 4. Wyznacz środek i promień okręgu $2x^2 + 2y^2 - 4x + 12y + 2 = 0$.

Najpierw dzielimy przez 2, żeby przy $x^2$ i $y^2$ stały jedynki: $x^2 + y^2 - 2x + 6y + 1 = 0$. Teraz $a = 1$, $b = -3$, $c = 1$ i $r^2 = 1 + 9 - 1 = 9$. Środek $S = (1, -3)$, promień $3$. Bez dzielenia wyszłoby $c = 2$ i fałszywy promień.

Okrąg o danej średnicy

Środek okręgu leży w środku średnicy, a promień to połowa jej długości.

Przykład 5. Napisz równanie okręgu o średnicy $AB$, gdzie $A = (-2, 3)$, $B = (4, -5)$.

Krok 1. Środek to środek odcinka $AB$.

$S = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 + (-5)}{2}\right) = (1, -1).$

Krok 2. Promień to połowa $|AB|$ (albo od razu $|SA|$):

$|AB| = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10, \qquad r = 5.$

Odpowiedź. $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$.

Podobnie okrąg styczny do osi układu: okrąg o środku $(3, -2)$ styczny do osi $OX$ ma promień równy odległości środka od tej osi, czyli $|-2| = 2$, i równanie $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

Położenie punktu względem okręgu. Równanie koła

Żeby sprawdzić, gdzie leży punkt $(x_0, y_0)$, podstawiamy go do lewej strony równania i porównujemy wynik z $r^2$. Lewa strona to kwadrat odległości punktu od środka, więc:

Przykład 6. Okrąg $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 25$ i punkty $K = (4, 3)$, $L = (2, 1)$, $M = (-4, 4)$.

• $K$: $3^2 + 4^2 = 25$ - punkt leży na okręgu;
• $L$: $1^2 + 2^2 = 5 < 25$ - punkt leży wewnątrz;
• $M$: $(-5)^2 + 5^2 = 50 > 25$ - punkt leży na zewnątrz.

Stąd równanie koła: koło o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ to zbiór punktów spełniających nierówność $(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2$. Ostra nierówność $< r^2$ opisuje samo wnętrze (koło bez brzegu), a $> r^2$ - wszystko na zewnątrz okręgu.

Najczęstsze błędy

• Zły znak środka. $(x + 3)^2$ oznacza $a = -3$, nie $a = 3$.
• Promień bez pierwiastka. Z $(x - 1)^2 + y^2 = 16$ wychodzi $r = 4$, nie $16$.
• Brak dzielenia. Przed odczytem z postaci ogólnej współczynniki przy $x^2$ i $y^2$ muszą być równe $1$.
• Brak sprawdzenia warunku $a^2 + b^2 - c > 0$ - równanie może nie opisywać żadnego okręgu.
• Średnica zamiast promienia. W okręgu o średnicy $AB$ po prawej stronie stoi $\left(\frac{|AB|}{2}\right)^2$.

Zebrane w jednym miejscu wzory (także równanie stycznej i położenie dwóch okręgów) są na stronie równanie okręgu - środek i promień. Przecięcia okręgu z prostą i parabolą liczymy w następnej lekcji: punkty wspólne prostych, okręgów i parabol.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć środek i promień okręgu z równania? W postaci $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ środek to $(a, b)$ - ze zmienionymi znakami liczb z nawiasów - a promień to pierwiastek z prawej strony. Postać ogólną najpierw sprowadź do kanonicznej uzupełnianiem do kwadratu albo skorzystaj z $a$, $b$ i $r^2 = a^2 + b^2 - c$.

Jak napisać równanie okręgu, znając środek i punkt na okręgu? Oblicz promień jako odległość środka od tego punktu i wstaw do $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Środek $(-1, 1)$ i punkt $(3, 4)$ dają $r = 5$ i $(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 25$.

Kiedy równanie x² + y² − 2ax − 2by + c = 0 jest równaniem okręgu? Gdy $a^2 + b^2 - c > 0$. Dla zera równanie opisuje jeden punkt, dla liczby ujemnej - zbiór pusty.

Jak sprawdzić, czy punkt leży na okręgu? Podstaw jego współrzędne do równania. Jeśli lewa strona jest równa $r^2$ - punkt leży na okręgu; mniejsza - wewnątrz, większa - na zewnątrz.

Czym różni się równanie okręgu od równania koła? Okrąg opisuje równanie $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ (sam brzeg), a koło - nierówność $(x - a)^2 + (y - b)^2 \le r^2$ (brzeg razem z wnętrzem).

Przećwicz

• Równanie okręgu → - środek i promień z obu postaci, warunek istnienia okręgu, okrąg przez punkt, o średnicy AB, styczny do osi, położenie punktu.

Cały zestaw: geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Równanie okręgu $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ to wzór na długość odcinka $SP$ podniesiony do kwadratu.
• Środek odczytujemy ze zmienionymi znakami, promień to pierwiastek z prawej strony.
• Postać ogólną $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ sprowadzamy do kanonicznej uzupełnianiem do kwadratu; okrąg istnieje tylko, gdy $a^2 + b^2 - c > 0$.
• Okrąg o średnicy $AB$: środek w środku $AB$, promień $\frac{|AB|}{2}$.
• Punkt podstawiony do równania daje $< r^2$ (wewnątrz), $= r^2$ (na okręgu) albo $> r^2$ (na zewnątrz); koło to nierówność $\le r^2$.