Nierówność z jedną niewiadomą. Rozwiązywanie nierówności

Q: Kiedy zmienia się zwrot nierówności?

Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Z -2x > 6 po podzieleniu przez -2 dostajemy x < -3. Dodawanie i odejmowanie nigdy zwrotu nie zmieniają.

Q: Ile rozwiązań ma nierówność?

Zwykle nieskończenie wiele - dlatego rozwiązanie zapisujemy przedziałem, a nie pojedynczą liczbą. Nierówność może też być sprzeczna (brak rozwiązań, ∅) albo spełniona przez każdą liczbę (wtedy odpowiedzią jest R).

Q: Czy koniec przedziału należy do rozwiązania?

Przy nierówności ostrej ( ) nie - nawias okrągły. Przy nieostrej (≤, ≥) tak - nawias ostry. To ta sama zasada, co przy zaznaczaniu kółka pustego i pełnego na osi.

Q: Co zrobić, gdy niewiadoma zniknie w trakcie przekształceń?

Zostaje nierówność liczbowa. Jeśli jest prawdziwa (np. 3 < 5), rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Jeśli fałszywa (np. 4 < 1), nierówność jest sprzeczna.

Klasa 1 liceum i technikum

Czym jest nierówność

Nierówność to wyrażenie, w którym dwie strony połączono jednym ze znaków: $<$ (mniejsze), $>$ (większe), $\le$ (mniejsze lub równe) albo $\ge$ (większe lub równe), a występuje w nim niewiadoma, np.:

$2x + 1 > 7.$

Rozwiązaniem nierówności jest każda liczba, która podstawiona w miejsce niewiadomej daje prawdziwą nierówność. Zbiór rozwiązań nierówności to najczęściej przedział - zwykle nieskończenie wiele liczb.

Waga przechylona - jedna szalka cięższa od drugiej — Nierówność: jedna strona „cięższa" od drugiej - waga się przechyla.

Przekształcenia równoważne nierówności

Zbiór rozwiązań nierówności nie zmienia się, gdy:

do obu stron dodamy lub od obu stron odejmiemy tę samą liczbę - zwrot nierówności pozostaje bez zmian;
obie strony pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę dodatnią - zwrot pozostaje bez zmian;
obie strony pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę ujemną - wtedy zwrot nierówności zmieniamy na przeciwny (np. $<$ na $>$ ).

Punkt 3 to najważniejsza różnica między nierównościami a równaniami. Łatwo to zapamiętać na przykładzie: $2 < 5$ , ale po pomnożeniu obu stron przez $-1$ mamy $-2 > -5$ - znak musiał się odwrócić.

Przykład 1

Rozwiążmy nierówność $2x + 1 > 7$ .

$2x + 1 > 7 \qquad |-1$ $2x > 6 \qquad |:2$ $x > 3.$

Dzielimy przez liczbę dodatnią ( $2$ ), więc zwrot się nie zmienia. Zbiorem rozwiązań jest przedział $(3; +\infty)$ .

Rozwiązanie x > 3: kółko puste w punkcie 3 (3 nie należy), zaznaczenie w prawo - przedział (3; +∞).

Przykład 2 (mnożenie przez liczbę ujemną)

Rozwiążmy nierówność $-3x \ge 12$ .

$-3x \ge 12 \qquad |:(-3)$ $x \le -4.$

Dzielimy przez liczbę ujemną ( $-3$ ), więc zwrot nierówności zmieniamy z $\ge$ na $\le$ . Zbiorem rozwiązań jest przedział $(-\infty; -4\rangle$ .

Rozwiązanie x ≤ −4: kółko pełne w punkcie −4 (−4 należy), zaznaczenie w lewo - przedział (−∞; −4⟩.

Zapis rozwiązania

Rozwiązanie nierówności podajemy zwykle na dwa sposoby: jako warunek ( $x > 3$ ), jako przedział ( $(3; +\infty)$ ) oraz przedstawiamy na osi liczbowej. Pamiętaj, że końcowi nieostremu ( $\le$ , $\ge$ ) odpowiada kółko pełne, a ostremu ( $<$ , $>$ ) - kółko puste.

Najczęstsze pytania

Kiedy zmienia się zwrot nierówności? Przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Z $-2x > 6$ po podzieleniu przez $-2$ dostajemy $x < -3$ . Dodawanie i odejmowanie nigdy zwrotu nie zmieniają.

Ile rozwiązań ma nierówność? Zwykle nieskończenie wiele - dlatego rozwiązanie zapisujemy przedziałem, a nie pojedynczą liczbą. Nierówność może też być sprzeczna (brak rozwiązań, $\emptyset$ ) albo spełniona przez każdą liczbę (wtedy odpowiedzią jest $\mathbb{R}$ ).

Czy koniec przedziału należy do rozwiązania? Przy nierówności ostrej ( $<$ , $>$ ) nie - nawias okrągły. Przy nieostrej ( $\le$ , $\ge$ ) tak - nawias ostry. To ta sama zasada, co przy zaznaczaniu kółka pustego i pełnego na osi.

Co zrobić, gdy niewiadoma zniknie w trakcie przekształceń? Zostaje nierówność liczbowa. Jeśli jest prawdziwa (np. $3 < 5$ ), rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych. Jeśli fałszywa (np. $4 < 1$ ), nierówność jest sprzeczna.