Elementy analizy matematycznej - kurs, klasa 3: granice, ciągłość, pochodna

Klasa 3 liceum i technikum

Analiza matematyczna to dział matematyki, który bada, jak zmieniają się wartości funkcji: do czego zbliżają się, gdy argument zbliża się do danej liczby (granica), czy wykres można narysować bez odrywania ołówka (ciągłość) i jak szybko funkcja rośnie lub maleje w danym miejscu (pochodna). Pochodna to najmocniejsze narzędzie szkolnej matematyki do badania funkcji - pozwala znaleźć przedziały monotoniczności, ekstrema i rozwiązywać zadania optymalizacyjne.

W tym dziale idziemy od granic do pochodnej i jej zastosowań. Najpierw uczymy się, co znaczy granica funkcji w punkcie, jak ją obliczać (także przy symbolu $\frac{0}{0}$), czym są granice jednostronne, granice w nieskończoności i granice niewłaściwe. Na tej podstawie definiujemy ciągłość funkcji i wyznaczamy asymptoty wykresu. Druga część to rachunek różniczkowy: pochodna w punkcie jako granica ilorazu różnicowego, wzory na pochodne (także funkcji złożonej), równanie stycznej, badanie monotoniczności i ekstremów, największa i najmniejsza wartość funkcji w przedziale oraz zadania optymalizacyjne.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• obliczać granice funkcji w punkcie i w nieskończoności, także jednostronne i niewłaściwe;
• radzić sobie z symbolami nieoznaczonymi - rozkładem na czynniki i wyrażeniem sprzężonym;
• sprawdzać ciągłość funkcji i dobierać parametr tak, by funkcja była ciągła;
• korzystać z własności Darboux do wykazania, że równanie ma rozwiązanie;
• wyznaczać asymptoty pionowe, poziome i ukośne;
• obliczać pochodną z definicji i ze wzorów, także pochodną funkcji złożonej;
• wyznaczać równanie stycznej do wykresu funkcji;
• badać monotoniczność i ekstrema lokalne funkcji za pomocą pochodnej;
• znajdować największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale domkniętym;
• rozwiązywać zadania optymalizacyjne - od pudełka o największej objętości po najtańszą trasę.

Warto wcześniej znać granicę ciągu i obliczanie granic ciągów, funkcję wymierną, rozkład wielomianu na czynniki, nierówności wielomianowe oraz monotoniczność funkcji.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - zestaw zadań z granic i pochodnej funkcji: 113 zadań w 14 typach, od obliczania granic i ciągłości przez asymptoty i pochodne po styczne, ekstrema i zadania optymalizacyjne.

Zwięzłe zestawienie definicji i wzorów jest na stronach granica funkcji, pochodna funkcji i tablica pochodnych.