Pochodna sinusa, cosinusa i tangensa - wzory, wyprowadzenie i zastosowania

Klasa 3 liceum i technikum

Pochodna sinusa jest równa cosinusowi, $(\sin x)' = \cos x$, a pochodna cosinusa - minus sinusowi, $(\cos x)' = -\sin x$. Pochodne tangensa i cotangensa wynikają z nich ze wzoru na pochodną ilorazu: $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ i $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$. Wszystkie te wzory są prawdziwe tylko wtedy, gdy kąt mierzymy w radianach.

W tej lekcji korzystamy z pojęcia pochodnej, reguł różniczkowania (iloczyn, iloraz, funkcja złożona) i związku pochodnej z monotonicznością z działu analiza matematyczna. Jeśli potrzebujesz je powtórzyć, zajrzyj do lekcji funkcja pochodna - wzory i reguły, pochodna funkcji złożonej albo na stronę pochodna funkcji - definicja, styczna, ekstrema.

Kluczowa granica: sin x / x → 1

Wyprowadzenie pochodnej sinusa opiera się na jednej granicy:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.$

Nie da się jej policzyć przez podstawienie, bo wychodzi symbol $\frac{0}{0}$. Najpierw sprawdźmy ją liczbowo (kalkulator w trybie radianów):

Uzasadnienie geometryczne. Weźmy kąt $x \in \left( 0;\ \frac{\pi}{2} \right)$ na okręgu jednostkowym. Punkt $P$ leży na okręgu, $A = (1, 0)$, a $T$ to punkt na stycznej do okręgu w $A$.

Porównujemy trzy pola - trójkąt $OAP$, wycinek koła o kącie $x$ i trójkąt $OAT$:

$\frac{1}{2}\sin x < \frac{1}{2}x < \frac{1}{2}\operatorname{tg} x.$

Mnożymy przez $\frac{2}{\sin x} > 0$:

$1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}, \qquad \text{czyli} \qquad \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.$

Gdy $x \to 0$, $\cos x \to 1$, więc iloraz $\frac{\sin x}{x}$ jest „ściśnięty” między dwiema wielkościami dążącymi do $1$ (twierdzenie o trzech funkcjach). Dla $x < 0$ wynik jest ten sam, bo $\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x}$.

Pole wycinka $\frac{1}{2}x$ wymaga, żeby kąt był w radianach - stąd zastrzeżenie we wszystkich wzorach tej lekcji.

Wyprowadzenie pochodnej sinusa i cosinusa

Z definicji pochodnej:

$(\sin x)' = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}.$

Licznik zamieniamy na iloczyn wzorem na różnicę sinusów:

$\sin(x + h) - \sin x = 2\cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \sin\frac{h}{2}.$

Stąd

$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \cos\left( x + \frac{h}{2} \right) \cdot \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \xrightarrow{\ h \to 0\ } \cos x \cdot 1 = \cos x.$

Tak samo dla cosinusa, ze wzoru $\cos(x + h) - \cos x = -2\sin\left( x + \frac{h}{2} \right)\sin\frac{h}{2}$:

$(\cos x)' = \lim_{h \to 0} \left( -\sin\left( x + \frac{h}{2} \right) \cdot \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \right) = -\sin x.$

Interpretacja. Pochodna to nachylenie wykresu. Sinusoida w punkcie $0$ rośnie najszybciej (nachylenie $\cos 0 = 1$), na szczycie w $\frac{\pi}{2}$ jest pozioma ($\cos\frac{\pi}{2} = 0$), a w $\pi$ opada z nachyleniem $\cos\pi = -1$. Wykres pochodnej sinusa to więc cosinusoida.

Pochodna tangensa i cotangensa

Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu i jedynki trygonometrycznej:

$(\operatorname{tg} x)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}.$

Dzieląc $\cos^2 x + \sin^2 x$ przez $\cos^2 x$ wyraz po wyrazie, dostajemy drugą postać: $(\operatorname{tg} x)' = 1 + \operatorname{tg}^2 x$. Pochodna jest zawsze dodatnia - dlatego tangens rośnie w każdym przedziale między asymptotami.

$(\operatorname{ctg} x)' = \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)' = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x}.$

Cotangens ma więc pochodną zawsze ujemną i maleje w każdym przedziale $(k\pi;\ \pi + k\pi)$.

Wzory na pochodne innych funkcji są w tablicy pochodnych.

Iloczyn, iloraz i funkcja złożona

Przykład 1. Oblicz pochodne funkcji $f(x) = x \sin x$ oraz $g(x) = \sin x \cos x$.

Krok 1. Pochodna iloczynu: $f'(x) = 1 \cdot \sin x + x \cos x = \sin x + x\cos x$.

Krok 2. Tak samo: $g'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x$. To wzór na cosinus podwojonego kąta, więc $g'(x) = \cos 2x$.

Odpowiedź. $f'(x) = \sin x + x\cos x$, $g'(x) = \cos 2x$.

Sprawdzenie drugiego wyniku inną drogą: $g(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$, więc $g'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos 2x = \cos 2x$ - zgadza się.

Przykład 2 - funkcje złożone. Pochodną funkcji złożonej liczymy „od zewnątrz”: pochodna funkcji zewnętrznej w punkcie $g(x)$ razy pochodna funkcji wewnętrznej.

• $(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$;
• $(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x$ (funkcja zewnętrzna to kwadrat, wewnętrzna - sinus);
• $\left( \cos(x^2) \right)' = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$;
• $\big( \operatorname{tg}(2x - 1) \big)' = \frac{1}{\cos^2(2x - 1)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x - 1)}$.

Zwróć uwagę na różnicę między $\sin^2 x = (\sin x)^2$ a $\sin(x^2)$: pierwsza ma pochodną $2\sin x\cos x$, druga $2x\cos(x^2)$.

Styczna do wykresu funkcji trygonometrycznej

Równanie stycznej do wykresu funkcji $f$ w punkcie $x_0$ ma postać $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$.

Przykład 3. Wyznacz równanie stycznej do wykresu $f(x) = \sin x$ w punkcie $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Krok 1. $f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 2. $f'(x) = \cos x$, więc współczynnik kierunkowy to $f'\left( \frac{\pi}{3} \right) = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.

Krok 3. Podstawiamy do wzoru:

$y = \frac{1}{2}\left( x - \frac{\pi}{3} \right) + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}x - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}.$

Odpowiedź. $y = \frac{1}{2}x + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6}$ (wyraz wolny $\approx 0{,}342$).

Styczna w punkcie $0$ to $y = x$, bo $\sin 0 = 0$ i $\cos 0 = 1$. To geometryczny sens granicy $\frac{\sin x}{x} \to 1$: blisko zera sinusoida niemal pokrywa się z prostą $y = x$, więc $\sin x \approx x$ (np. $\sin 0{,}1 \approx 0{,}0998$).

Monotoniczność i ekstrema

Funkcja rośnie tam, gdzie $f'(x) > 0$, i maleje tam, gdzie $f'(x) < 0$ (lekcja pochodna a monotoniczność). Przy funkcjach trygonometrycznych warunek na znak pochodnej to nierówność trygonometryczna.

Przykład 4. Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji $f(x) = x + 2\cos x$ w przedziale $\left\langle 0;\ 2\pi \right\rangle$.

Krok 1. Pochodna. $f'(x) = 1 - 2\sin x$.

Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej. $1 - 2\sin x = 0 \iff \sin x = \frac{1}{2}$, czyli $x = \frac{\pi}{6}$ lub $x = \frac{5\pi}{6}$.

Krok 3. Znak pochodnej. $f'(x) > 0 \iff \sin x < \frac{1}{2}$, czyli dla $x \in \left\langle 0;\ \frac{\pi}{6} \right) \cup \left( \frac{5\pi}{6};\ 2\pi \right\rangle$; między $\frac{\pi}{6}$ a $\frac{5\pi}{6}$ pochodna jest ujemna.

Krok 4. Ekstrema. W $\frac{\pi}{6}$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$ (maksimum), w $\frac{5\pi}{6}$ - z $-$ na $+$ (minimum):

$f_{\max} = f\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 2{,}256, \qquad f_{\min} = f\left( \frac{5\pi}{6} \right) = \frac{5\pi}{6} - \sqrt{3} \approx 0{,}886.$

Odpowiedź. $f$ rośnie w $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{6} \right\rangle$ i w $\left\langle \frac{5\pi}{6};\ 2\pi \right\rangle$, maleje w $\left\langle \frac{\pi}{6};\ \frac{5\pi}{6} \right\rangle$; maksimum lokalne $\frac{\pi}{6} + \sqrt{3}$ dla $x = \frac{\pi}{6}$, minimum lokalne $\frac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$ dla $x = \frac{5\pi}{6}$. Wartość największa w całym przedziale to $f(2\pi) = 2\pi + 2$ - na końcu przedziału, nie w maksimum lokalnym.

Zadanie optymalizacyjne: rynna o największym przekroju

Schemat takich zadań omawia lekcja zadania optymalizacyjne z pochodną.

Przykład 5. Rynnę wygina się z blachy tak, że jej przekrój jest trapezem: dno i obie ścianki mają tę samą długość $a$, a ścianki są nachylone do poziomu pod kątem $\alpha \in \left( 0;\ \frac{\pi}{2} \right\rangle$. Dla jakiego kąta pole przekroju (a więc ilość wody, którą rynna pomieści) jest największe?

Krok 1. Funkcja. Wysokość trapezu $h = a\sin\alpha$, górna podstawa $a + 2a\cos\alpha$, więc

$P(\alpha) = \frac{a + (a + 2a\cos\alpha)}{2} \cdot a\sin\alpha = a^2 \sin\alpha \,(1 + \cos\alpha).$

Krok 2. Pochodna. Z pochodnej iloczynu:

$P'(\alpha) = a^2 \left( \cos\alpha \,(1 + \cos\alpha) - \sin^2\alpha \right) = a^2 \left( \cos\alpha + \cos^2\alpha - \sin^2\alpha \right) = a^2 (\cos\alpha + \cos 2\alpha).$

Krok 3. Równanie $P'(\alpha) = 0$. Zamieniamy $\cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$:

$2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0 \iff (2\cos\alpha - 1)(\cos\alpha + 1) = 0.$

W przedziale $\left( 0;\ \frac{\pi}{2} \right\rangle$ jest $\cos\alpha > 0$, więc zostaje $\cos\alpha = \frac{1}{2}$, czyli $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Krok 4. Maksimum. Dla $\alpha < \frac{\pi}{3}$ czynnik $2\cos\alpha - 1 > 0$, więc $P' > 0$; dla $\alpha > \frac{\pi}{3}$ jest $P' < 0$. Pole rośnie do $\frac{\pi}{3}$, potem maleje:

$P_{\max} = P\left( \frac{\pi}{3} \right) = a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}a^2 \approx 1{,}299\,a^2.$

Odpowiedź. Ścianki trzeba wygiąć pod kątem $60^\circ$ do poziomu; pole przekroju wynosi wtedy $\frac{3\sqrt{3}}{4}a^2$ - o około $30\%$ więcej niż przy rynnie prostokątnej ($\alpha = \frac{\pi}{2}$, pole $a^2$). Ten trapez to połowa sześciokąta foremnego.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi pochodna sinusa?$(\sin x)' = \cos x$. Pochodna cosinusa to $(\cos x)' = -\sin x$ - z minusem, o którym łatwo zapomnieć.

Jaka jest pochodna tangensa?$(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, równoważnie $1 + \operatorname{tg}^2 x$, dla $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$. Pochodna cotangensa to $-\frac{1}{\sin^2 x}$.

Ile wynosi pochodna sin 2x?$(\sin 2x)' = 2\cos 2x$ - pochodna sinusa w punkcie $2x$ razy pochodna funkcji wewnętrznej $2x$, czyli $2$. Analogicznie $(\cos 2x)' = -2\sin 2x$.

Jaka jest pochodna sin² x?$(\sin^2 x)' = 2\sin x\cos x = \sin 2x$. Liczymy ją jak pochodną kwadratu: $2 \cdot \sin x$ razy pochodna sinusa, czyli $\cos x$.

Dlaczego pochodna sinusa to cosinus tylko w radianach? Wyprowadzenie korzysta z granicy $\frac{\sin x}{x} \to 1$, a ta wynika z pola wycinka $\frac{1}{2}x$, prawdziwego tylko dla kąta w radianach. Gdy $x$ jest w stopniach, $\left( \sin x^\circ \right)' = \frac{\pi}{180}\cos x^\circ$.

Ile wynosi granica sin x / x przy x → 0? Jeden. Uzasadnia się to nierównością $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ (porównanie pól na okręgu jednostkowym) i twierdzeniem o trzech funkcjach.

Jak znaleźć ekstrema funkcji trygonometrycznej? Oblicz pochodną, rozwiąż równanie trygonometryczne $f'(x) = 0$ w danym przedziale i zbadaj znak pochodnej wokół każdego rozwiązania. Wartość największą i najmniejszą w przedziale domkniętym szukaj też na jego końcach - zobacz największa i najmniejsza wartość funkcji.

Przećwicz

• Pochodne funkcji trygonometrycznych - zadania z rozwiązaniami → - siedem zadań: wzory, funkcje złożone, styczna, monotoniczność, wartość największa i optymalizacja.
• Na start: pochodne z wzorów i reguły iloczynu oraz pochodne funkcji złożonych.
• Trudniejsze: wartość największa i najmniejsza 2sin x + cos 2x i prostokąt w półkolu o największym obwodzie.
• Ogólne zadania z pochodnej: pochodna funkcji - zadania.
• Wszystkie typy z działu: wzory i równania trygonometryczne - zadania.

Podsumowanie

• $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, $(\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$ - przy kącie w radianach.
• Podstawą wyprowadzenia jest granica $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ i wzór na różnicę sinusów.
• Funkcje złożone: $\big( \sin g(x) \big)' = g'(x)\cos g(x)$, np. $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$, $(\sin^2 x)' = \sin 2x$.
• Styczna: $y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$; styczna do sinusoidy w $0$ to $y = x$.
• Monotoniczność i ekstrema funkcji trygonometrycznych sprowadzają się do równań i nierówności trygonometrycznych z $f'(x)$; w przedziale domkniętym sprawdzamy też końce.