Zbiór wartości funkcji - jak go odczytać i wyznaczyć

Q: Czy zbiór wartości odczytuje się z osi OX czy OY?

Z osi pionowej OY - rzutujemy na nią cały wykres. Z osi poziomej odczytujemy dziedzinę. To najczęstsza pomyłka przy zadaniach z wykresem.

Q: Dlaczego funkcja może nie mieć wartości największej?

Bo wartość największa musi być osiągana dla konkretnego argumentu. Funkcja może zbliżać się do pewnej liczby dowolnie blisko, nigdy jej nie przyjmując - tak dzieje się na przedziałach otwartych. Kres istnieje, ale wartości największej nie ma.

Q: Czy wartość największa i miejsce zerowe to to samo co maksimum wykresu?

Nie mylmy tych pojęć: wartość największa to najwyższa wartość funkcji, miejsce zerowe to argument, dla którego wartość wynosi zero. Punkt na wykresie ma współrzędne (argument, wartość) - warto zawsze sprawdzić, o którą współrzędną pyta zadanie.

Klasa 1 liceum i technikum

Zbiór wartości - co warto zapamiętać

$ZW_f \ = \ \big\{ y : y = f(x) \ \text{dla pewnego} \ x \in D_f \big\}$

Zbiór wartości to zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje - na wykresie to „cień” rzucony na oś $OY$ .

$\textbf{Wartość najmniejsza } m:\ f(x) \ge m \ \text{dla każdego } x \quad\text{i } m \text{ jest osiągana.}$

$\textbf{Wartość największa } M:\ f(x) \le M \ \text{dla każdego } x \quad\text{i } M \text{ jest osiągana.}$

Czym jest zbiór wartości

Dziedzina mówi, co wkładamy do funkcji. Zbiór wartości mówi, co z niej wychodzi.

Zbiorem wartości funkcji $f$ nazywamy zbiór wszystkich liczb $y$ , które są wartościami tej funkcji - czyli takich, że $y = f(x)$ dla pewnego argumentu $x$ z dziedziny. Oznaczamy go $ZW_f$ .

Wracając do obrazu maszyny: dziedzina to zbiór rzeczy, które wolno wrzucić, a zbiór wartości to zbiór wszystkiego, co maszyna naprawdę kiedykolwiek wyrzuci.

Jak odczytać zbiór wartości z wykresu

Najprościej wyobrazić sobie, że na wykres świeci światło z boku (poziomo), a my patrzymy, jaki cień padnie na oś pionową $OY$ . Ten cień - zbiór wszystkich „wysokości”, na których leżą punkty wykresu - to właśnie zbiór wartości.

Dla f(x) = x² najniższy punkt leży na wysokości 0, a wykres sięga dowolnie wysoko. Zbiór wartości to ⟨0; +∞), czyli półprosta na osi OY od 0 w górę.

Dla funkcji $f(x) = x^2$ żadna wartość nie jest ujemna (kwadrat nie bywa ujemny), a najmniejszą wartość $0$ funkcja przyjmuje dla $x = 0$ . Wartości sięgają zaś dowolnie wysoko. Stąd:

$ZW_f = \langle 0; +\infty).$

Wartość najmniejsza i największa

Wśród wszystkich wartości funkcji szczególnie interesują nas dwie skrajne.

Wartością najmniejszą funkcji nazywamy taką liczbę $m$ , że $f(x) \ge m$ dla każdego argumentu $x$ z dziedziny, a w pewnym punkcie wartość $m$ jest rzeczywiście przyjmowana.
Wartością największą nazywamy liczbę $M$ , dla której $f(x) \le M$ dla każdego $x$ , i która jest przyjmowana w pewnym punkcie.

Kluczowe są oba warunki. Liczba musi nie tylko ograniczać funkcję z dołu (lub z góry), ale też być osiągana - musi istnieć argument, dla którego funkcja dokładnie tę wartość przyjmuje.

Dla $f(x) = x^2$ wartością najmniejszą jest $0$ (przyjmowana dla $x = 0$ ). Wartości największej nie ma - wartości rosną nieograniczenie.

Uwaga: nie zawsze taka wartość istnieje

Rozważmy funkcję $f(x) = x^2$ na otwartym przedziale, np. dla $x \in (0; 2)$ . Wartości są wtedy z przedziału $(0; 4)$ - liczby dodatnie dowolnie bliskie zeru, ale samo $0$ nie jest przyjmowane (bo $x = 0$ nie należy do dziedziny). Funkcja schodzi coraz niżej, ale nigdy nie osiąga najmniejszej wartości - więc wartości najmniejszej nie ma. Podobnie nie ma tu wartości największej (do $4$ funkcja się tylko zbliża).

To pokazuje, jak ważny jest warunek osiągania: sama granica „od dołu” czy „od góry” nie wystarcza, by mówić o wartości najmniejszej lub największej.

Przykład odczytu z wykresu

Załóżmy, że z wykresu pewnej funkcji odczytujemy: najniższy punkt leży na wysokości $-2$ (przyjmowany w jednym miejscu), najwyższy na wysokości $3$ (też przyjmowany), a wykres wypełnia wszystkie wysokości między nimi. Wtedy:

zbiór wartości to $ZW_f = \langle -2; 3 \rangle$ ,
wartość najmniejsza wynosi $-2$ ,
wartość największa wynosi $3$ .

Zauważ różnicę: zbiór wartości to cały zakres (przedział), a wartość najmniejsza i największa to pojedyncze liczby - jego końce, o ile są osiągane.

Najczęstsze pytania

Czym różni się zbiór wartości od przeciwdziedziny? Przeciwdziedzina to zbiór, w którym „mieszczą się” wartości - zwykle $\mathbb{R}$ . Zbiór wartości to te liczby, które funkcja naprawdę przyjmuje. Dla $f(x) = x^2$ przeciwdziedziną bywa $\mathbb{R}$ , ale zbiorem wartości jest $\langle 0; +\infty)$ .

Czy zbiór wartości odczytuje się z osi $OX$ czy $OY$ ? Z osi pionowej $OY$ - rzutujemy na nią cały wykres. Z osi poziomej odczytujemy dziedzinę. To najczęstsza pomyłka przy zadaniach z wykresem.

Dlaczego funkcja może nie mieć wartości największej? Bo wartość największa musi być osiągana dla konkretnego argumentu. Funkcja może zbliżać się do pewnej liczby dowolnie blisko, nigdy jej nie przyjmując - tak dzieje się na przedziałach otwartych. Kres istnieje, ale wartości największej nie ma.

Czy wartość największa i miejsce zerowe to to samo co maksimum wykresu? Nie mylmy tych pojęć: wartość największa to najwyższa wartość funkcji, miejsce zerowe to argument, dla którego wartość wynosi zero. Punkt na wykresie ma współrzędne $(\text{argument}, \text{wartość})$ - warto zawsze sprawdzić, o którą współrzędną pyta zadanie.

Przećwicz

Zbiór wartości i wartości ekstremalne → - wartość najmniejsza i największa w przedziale.

Podsumowanie

Zbiór wartości $ZW_f$ to zbiór wszystkich wartości funkcji - na wykresie „cień” na osi $OY$ .
Wartość najmniejsza ogranicza funkcję z dołu i jest osiągana; wartość największa ogranicza z góry i jest osiągana.
Sama granica nie wystarcza - wartość musi być przyjmowana; inaczej taka wartość nie istnieje.