Punkty wspólne prostej, okręgu i paraboli - układ równań

Klasa 2 liceum i technikum

Punkt wspólny dwóch figur to punkt, którego współrzędne spełniają jednocześnie równania obu figur. Dlatego wyznaczanie punktów wspólnych zawsze sprowadza się do rozwiązania układu równań: ile rozwiązań ma układ, tyle punktów wspólnych mają figury. Rysunek pomaga zgadnąć wynik, ale dokładne współrzędne daje dopiero rachunek.

Dwie proste - układ równań liniowych

Punkt przecięcia prostych to rozwiązanie układu dwóch równań pierwszego stopnia. Rozwiązujemy go metodą podstawiania albo metodą przeciwnych współczynników.

Przykład 1. Wyznacz punkt przecięcia prostych $y = 2x - 3$ i $x + 3y - 5 = 0$.

$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ x + 3y - 5 = 0 \end{cases}$

Krok 1. Podstawiamy $y = 2x - 3$ do drugiego równania: $x + 3(2x - 3) - 5 = 0$, czyli $7x - 14 = 0$.

Krok 2. Stąd $x = 2$, a $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$.

Odpowiedź. Proste przecinają się w punkcie $(2, 1)$. Sprawdzenie w drugim równaniu: $2 + 3 - 5 = 0$.

Dwie proste mogą też nie mieć punktu wspólnego albo mieć ich nieskończenie wiele:

• $y = 2x - 3$ i $4x - 2y + 1 = 0$, czyli $y = 2x + \frac{1}{2}$ - ten sam współczynnik kierunkowy, inny wyraz wolny: proste równoległe, układ sprzeczny, brak punktów wspólnych;
• $2x - y - 3 = 0$ i $-4x + 2y + 6 = 0$ - drugie równanie to pierwsze pomnożone przez $-2$: ta sama prosta, układ nieoznaczony, nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Więcej o tych trzech przypadkach: graficzne rozwiązywanie układów równań.

Prosta i okrąg - podstawienie i delta

Z równania prostej wyznaczamy jedną zmienną i podstawiamy do równania okręgu. Wychodzi równanie kwadratowe, a jego wyróżnik $\Delta$ od razu mówi, ile jest punktów wspólnych.

Przykład 2. Wyznacz punkty wspólne okręgu $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ i prostej $y = x + 2$.

Krok 1. Podstawienie. W miejsce $y$ wstawiamy $x + 2$:

$(x - 1)^2 + (x + 2 - 2)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x + 1 + x^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x - 12 = 0.$

Krok 2. Równanie kwadratowe. $\Delta = 1 + 48 = 49$, $\sqrt{\Delta} = 7$, więc $x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3$, $x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4$.

Krok 3. Druga współrzędna z równania prostej. $y_1 = -3 + 2 = -1$, $y_2 = 4 + 2 = 6$.

Odpowiedź. Prosta przecina okrąg w punktach $(-3, -1)$ i $(4, 6)$. Kontrola w równaniu okręgu: $(-4)^2 + (-3)^2 = 25$ oraz $3^2 + 4^2 = 25$.

Przykład 3. Ta sama metoda dla prostej $4x - 3y - 23 = 0$. Z niej $y = \frac{4x - 23}{3}$, więc $y - 2 = \frac{4x - 29}{3}$. Po podstawieniu i pomnożeniu przez $9$:

$9(x - 1)^2 + (4x - 29)^2 = 225 \quad\Longrightarrow\quad 25x^2 - 250x + 625 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 10x + 25 = 0.$

Tu $\Delta = 100 - 100 = 0$: jedno rozwiązanie $x = 5$, $y = -1$. Prosta jest styczna do okręgu w punkcie $(5, -1)$.

Przykład 4. Dla prostej $y = x + 10$ podstawienie daje $(x - 1)^2 + (x + 8)^2 = 25$, czyli $x^2 + 7x + 20 = 0$. $\Delta = 49 - 80 = -31 < 0$ - brak rozwiązań, prosta jest rozłączna z okręgiem.

Druga metoda: odległość środka od prostej

Jeśli pytanie brzmi tylko „ile jest punktów wspólnych?”, nie trzeba rozwiązywać układu. Wystarczy porównać odległość $d$ środka okręgu od prostej z promieniem - tak jak w lekcji okrąg i prosta. Odległość punktu od prostej $Ax + By + C = 0$ liczymy ze wzoru z lekcji równanie ogólne prostej. Dla okręgu z przykładów, $S = (1, 2)$, $r = 5$:

Obie metody zawsze dają ten sam wynik. Odległość jest szybsza, gdy liczy się tylko liczba punktów (i przy zadaniach z parametrem, np. „dla jakiego $m$ prosta jest styczna?”). Podstawienie jest konieczne, gdy trzeba podać współrzędne punktów.

Prosta i parabola

Parabola $y = ax^2 + bx + c$ jest wykresem funkcji kwadratowej, więc zamiast podstawiania wystarczy przyrównać prawe strony obu równań.

Przykład 5. Wyznacz punkty wspólne paraboli $y = x^2 - 2x - 3$ i prostej $y = x + 1$.

Krok 1. $x^2 - 2x - 3 = x + 1$, czyli $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Krok 2. $\Delta = 9 + 16 = 25$, więc $x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1$, $x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$.

Krok 3. $y_1 = -1 + 1 = 0$, $y_2 = 4 + 1 = 5$.

Odpowiedź. $(-1, 0)$ i $(4, 5)$.

Przykład 6. Dla jakiego $m$ prosta $y = 2x + m$ ma z tą parabolą dokładnie jeden punkt wspólny?

Przyrównanie daje $x^2 - 4x - 3 - m = 0$. Jeden punkt wspólny to $\Delta = 0$: $16 + 4(3 + m) = 0$, czyli $m = -7$. Wtedy $x^2 - 4x + 4 = 0$, $x = 2$, $y = 2 \cdot 2 - 7 = -3$. Prosta $y = 2x - 7$ jest styczna do paraboli w punkcie $(2, -3)$.

Uwaga na prostą pionową. Prosta $x = 3$ ma z każdą parabolą $y = ax^2 + bx + c$ dokładnie jeden punkt wspólny, ale nie jest styczna - przecina parabolę na wylot. Kryterium „$\Delta = 0$ oznacza styczność” dotyczy prostych, które da się zapisać jako $y = mx + k$.

Dwa okręgi - odejmujemy równania

Gdy oba okręgi zapiszemy w postaci ogólnej, wyrazy $x^2$ i $y^2$ mają w nich te same współczynniki. Po odjęciu równań stronami znikają, a zostaje równanie prostej. Na tej prostej leżą wszystkie punkty wspólne okręgów (jeśli się przecinają, jest to prosta zawierająca ich wspólną cięciwę). Potem wystarczy przeciąć tę prostą z jednym z okręgów.

Przykład 7. Wyznacz punkty wspólne okręgów $x^2 + y^2 = 25$ i $(x - 8)^2 + (y - 4)^2 = 25$.

Krok 1. Postać ogólna drugiego okręgu. $x^2 + y^2 - 16x - 8y + 55 = 0$.

Krok 2. Odejmujemy równania. $(x^2 + y^2 - 25) - (x^2 + y^2 - 16x - 8y + 55) = 0$, czyli $16x + 8y - 80 = 0$, a po podzieleniu przez $8$: $2x + y - 10 = 0$, czyli $y = 10 - 2x$.

Krok 3. Prosta i pierwszy okrąg.

$x^2 + (10 - 2x)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 5x^2 - 40x + 75 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 8x + 15 = 0.$

Stąd $x = 3$ albo $x = 5$, a $y = 10 - 2x$ daje $y = 4$ albo $y = 0$.

Odpowiedź. Okręgi przecinają się w punktach $(3, 4)$ i $(5, 0)$. Kontrola w drugim równaniu: $25 + 0 = 25$ i $9 + 16 = 25$.

Samą liczbę punktów wspólnych dwóch okręgów da się ustalić bez rachunków, z odległości środków - zobacz wzajemne położenie dwóch okręgów. Tu $|S_1S_2| = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} \approx 8{,}94 < 5 + 5$, więc okręgi rzeczywiście się przecinają.

Okrąg i parabola

Tu też podstawiamy, ale wygodniej wyznaczyć $x^2$ niż $y$ - wtedy nie trzeba podnosić do kwadratu całego wielomianu.

Przykład 8. Wyznacz punkty wspólne paraboli $y = x^2$ i okręgu $x^2 + y^2 = 2$.

Krok 1. Z równania paraboli $x^2 = y$. Podstawiamy do okręgu: $y + y^2 = 2$, czyli $y^2 + y - 2 = 0$.

Krok 2. $y = 1$ albo $y = -2$.

Krok 3. Odrzucamy rozwiązanie bez punktu. Dla $y = -2$ byłoby $x^2 = -2$ - niemożliwe. Dla $y = 1$ mamy $x^2 = 1$, więc $x = -1$ albo $x = 1$.

Odpowiedź. $(-1, 1)$ i $(1, 1)$. Ten krok kontrolny jest ważny: rozwiązanie równania pomocniczego nie zawsze daje punkt wspólny.

Ile może być punktów wspólnych

Liczba rozwiązań układu to liczba punktów wspólnych, a stopień równań ogranicza ją z góry:

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch prostych? Zapisz układ złożony z równań obu prostych i rozwiąż go. Para $(x, y)$, która go spełnia, to współrzędne punktu przecięcia. Proste $y = 2x - 3$ i $x + 3y - 5 = 0$ przecinają się w $(2, 1)$.

Jak sprawdzić, czy prosta przecina okrąg? Oblicz odległość $d$ środka okręgu od prostej i porównaj z promieniem: $d < r$ - prosta przecina okrąg w dwóch punktach, $d = r$ - jest styczna, $d > r$ - nie ma punktów wspólnych. Ten sam wynik daje znak delty po podstawieniu prostej do równania okręgu.

Jak wyznaczyć punkty przecięcia prostej i okręgu? Wyznacz $y$ (albo $x$) z równania prostej, podstaw do równania okręgu, rozwiąż równanie kwadratowe i dla każdego pierwiastka oblicz drugą współrzędną z równania prostej.

Jak znaleźć punkty wspólne prostej i paraboli? Przyrównaj prawe strony: $ax^2 + bx + c = mx + k$. Pierwiastki tego równania kwadratowego to pierwsze współrzędne punktów wspólnych, a $\Delta$ mówi, ile ich jest.

Co oznacza Δ = 0 przy przecinaniu prostej z okręgiem lub parabolą? Że jest dokładnie jeden punkt wspólny - prosta jest styczna. Wyjątek: prosta pionowa i parabola mają jeden punkt wspólny, choć prosta nie jest styczna.

Jak wyznaczyć punkty wspólne dwóch okręgów? Zapisz oba w postaci ogólnej i odejmij równania - dostaniesz prostą. Przetnij ją z jednym z okręgów.

Przećwicz

• Prosta i okrąg → - wzajemne położenie, punkty przecięcia, cięciwa, styczna z parametrem.
• Równanie prostej → - m.in. punkt przecięcia dwóch prostych w postaci ogólnej.

Cały zestaw: geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami. Wszystkie te rachunki składają się na zadania z następnej lekcji: zastosowanie układów równań w geometrii analitycznej.

Podsumowanie

• Punkty wspólne figur to rozwiązania układu ich równań - ile rozwiązań, tyle punktów.
• Dwie proste: układ liniowy; wynik to jeden punkt, brak punktów (równoległe) albo cała prosta.
• Prosta i okrąg: podstawienie daje równanie kwadratowe; $\Delta > 0$ - dwa punkty, $\Delta = 0$ - styczna, $\Delta < 0$ - brak. Samą liczbę punktów szybciej da porównanie $d$ z $r$.
• Prosta i parabola: przyrównujemy prawe strony; o liczbie punktów decyduje $\Delta$.
• Dwa okręgi: odjęcie równań daje prostą, którą przecinamy z jednym z okręgów.
• Przy okręgu i paraboli sprawdzaj, czy każde rozwiązanie równania pomocniczego daje rzeczywisty punkt.