Wykres funkcji kwadratowej z wartością bezwzględną

Q: Czym różni się |f(x)| od f(|x|)?

Pierwsze działa na wartościach - odbija dół wykresu do góry. Drugie działa na argumentach - odbija prawą stronę na lewą. To dwa zupełnie różne wykresy.

Q: Czy |f(x)| ma te same miejsca zerowe co f(x)?

Tak, bo |0| = 0. Odbicie nie przesuwa punktów leżących na osi OX.

Q: Czy wykres y = f(|x|) zawsze jest symetryczny?

Tak, względem osi OY - dla każdej funkcji f. Wynika to wprost z równości |-x| = |x|.

Q: Czy wykres z wartością bezwzględną to nadal parabola?

Nie. To krzywa złożona z fragmentów parabol, z ostrymi załamaniami w miejscach odbicia. Dlatego nie stosujemy do niej wzorów na wierzchołek - trzeba czytać z wykresu.

Klasa 2 liceum i technikum

Dwa różne przekształcenia

$y = |f(x)| \quad \text{- część wykresu pod osią } OX \text{ odbijamy NAD oś}$

$y = f(|x|) \quad \text{- część wykresu dla } x \ge 0 \text{ odbijamy symetrycznie względem osi } OY$

Wartość bezwzględna na zewnątrz działa na wartości (oś $OY$ ), a wewnątrz - na argumenty (oś $OX$ ).

Skąd biorą się odbicia

Przypomnijmy definicję wartości bezwzględnej: $|t| = t$ dla $t \ge 0$ oraz $|t| = -t$ dla $t < 0$ . Wartość bezwzględna „zabiera znak minus”.

Wykres $y = |f(x)|$ . Tam, gdzie funkcja była nieujemna, nic się nie zmienia. Tam, gdzie była ujemna, wartość zmienia znak na przeciwny - punkt o rzędnej $-4$ przechodzi w punkt o rzędnej $4$ . Geometrycznie: fragment wykresu leżący pod osią $OX$ odbijamy symetrycznie nad tę oś.

Wykres $y = f(|x|)$ . Tu zmieniamy argument, a nie wartość. Dla $x \ge 0$ mamy $|x| = x$ , więc wykres zostaje bez zmian. Dla $x < 0$ obliczamy $f(-x)$ , czyli wartość z prawej strony - zatem prawą część wykresu odbijamy symetrycznie względem osi $OY$ , a lewą kasujemy.

Po lewej: część paraboli pod osią (linia przerywana) odbita nad oś. Po prawej: prawa część wykresu odbita względem osi OY - powstaje „podwójne dno" z ostrym wierzchołkiem w punkcie (0, −3).

Przykład 1 - wykres y = |f(x)|

Weźmy $f(x) = x^2 - 2x - 3$ z miejscami zerowymi $-1$ i $3$ oraz wierzchołkiem $(1, -4)$ .

Wykres $y = |f(x)|$ powstaje przez odbicie fragmentu między miejscami zerowymi (tam funkcja jest ujemna). Wierzchołek $(1, -4)$ przechodzi w punkt $(1, 4)$ , a miejsca zerowe zostają na swoim miejscu - bo zero po odbiciu nadal jest zerem.

Własności nowego wykresu:

zbiór wartości: $\langle 0;\ +\infty)$ - wartości ujemnych już nie ma;
miejsca zerowe: te same, $x = -1$ oraz $x = 3$ ;
w punktach $-1$ i $3$ wykres ma ostre załamania (nie jest już gładką parabolą).

Przykład 2 - wykres y = f(|x|)

Dla tej samej funkcji rysujemy $y = f(|x|) = x^2 - 2|x| - 3$ .

Bierzemy prawą część paraboli (dla $x \ge 0$ ) i odbijamy ją względem osi $OY$ . Powstaje wykres symetryczny - z dwoma „dołkami” w punktach $(-1, -4)$ i $(1, -4)$ oraz ostrym wierzchołkiem w punkcie $(0, -3)$ .

Własności:

wykres jest symetryczny względem osi $OY$ - tak jest zawsze przy $f(|x|)$ ;
miejsca zerowe: $x = -3$ oraz $x = 3$ (odbicie miejsca zerowego $3$ );
zbiór wartości: $\langle -4;\ +\infty)$ ;
wartość najmniejsza $-4$ jest przyjmowana w dwóch punktach.

Po co to wszystko: liczba rozwiązań równania

Najczęstsze zastosowanie tych wykresów to zadania typu „dla ilu wartości $m$ równanie ma dokładnie trzy rozwiązania”. Rozwiązania równania $|f(x)| = m$ to punkty wspólne wykresu $y = |f(x)|$ z poziomą prostą $y = m$ . Wystarczy więc spojrzeć na rysunek i policzyć przecięcia.

Dla naszego wykresu $y = |x^2 - 2x - 3|$ :

$m < 0$ - brak rozwiązań (wykres leży nad osią);
$m = 0$ - dwa rozwiązania ( $x = -1$ i $x = 3$ );
$0 < m < 4$ - cztery rozwiązania;
$m = 4$ - trzy rozwiązania (prosta przechodzi przez odbity wierzchołek);
$m > 4$ - dwa rozwiązania.

To rozumowanie wraca w lekcji o zadaniach z parametrem - i jest znacznie szybsze niż rozwiązywanie równań z modułem „na piechotę”.

Najczęstsze pytania

Czym różni się $|f(x)|$ od $f(|x|)$ ? Pierwsze działa na wartościach - odbija dół wykresu do góry. Drugie działa na argumentach - odbija prawą stronę na lewą. To dwa zupełnie różne wykresy.

Czy $|f(x)|$ ma te same miejsca zerowe co $f(x)$ ? Tak, bo $|0| = 0$ . Odbicie nie przesuwa punktów leżących na osi $OX$ .

Czy wykres $y = f(|x|)$ zawsze jest symetryczny? Tak, względem osi $OY$ - dla każdej funkcji $f$ . Wynika to wprost z równości $|-x| = |x|$ .

Jak wygląda $|f(x)|$ , gdy funkcja nie ma miejsc zerowych? Jeśli parabola leży w całości nad osią, wykres się nie zmienia. Jeśli w całości pod osią (bo $a < 0$ i $\Delta < 0$ ), cały wykres odbija się nad oś i powstaje parabola ramionami w górę.

Czy wykres z wartością bezwzględną to nadal parabola? Nie. To krzywa złożona z fragmentów parabol, z ostrymi załamaniami w miejscach odbicia. Dlatego nie stosujemy do niej wzorów na wierzchołek - trzeba czytać z wykresu.

Przećwicz

Wartość bezwzględna w zadaniach kwadratowych →
- wykresy, równania i nierówności z modułem.

Podsumowanie

$y = |f(x)|$ : fragment pod osią $OX$ odbijamy nad oś; zbiór wartości staje się nieujemny, miejsca zerowe zostają.
$y = f(|x|)$ : prawą część wykresu odbijamy względem osi $OY$ ; wykres jest symetryczny.
Oba wykresy mają ostre załamania - to już nie są parabole.
Liczbę rozwiązań równania z modułem odczytujemy jako liczbę przecięć z prostą poziomą $y = m$ .