Twierdzenie Fermata o ekstremum

Q: Czy z f'(x_0) = 0 wynika, że jest tam ekstremum?

Nie. To najczęstszy błąd. Kontrprzykładem jest f(x) = x³ w zerze. Zerowanie pochodnej to warunek konieczny, nie wystarczający - znaleziony punkt trzeba jeszcze zbadać.

Q: Jak sprawdzić, czy kandydat to naprawdę ekstremum?

Najprościej zbadać zmianę znaku pochodnej wokół punktu: z plusa na minus to maksimum, z minusa na plus - minimum, brak zmiany - ani jedno, ani drugie. Alternatywnie można użyć drugiej pochodnej: gdy f''(x_0) 0 - minimum; gdy f''(x_0) = 0, kryterium nie rozstrzyga.

Q: Dlaczego punkt musi być wewnętrzny?

Bo dowód wymaga podstawiania przyrostów h obu znaków. Na końcu przedziału dostępna jest tylko jedna strona i oszacowania z kroków 2 i 3 nie składają się w równość.

Q: Jak to się ma do twierdzenia Rolle'a?

Rolle'a dowodzi się przez twierdzenie Fermata. Jeśli f jest ciągła na [a,b], różniczkowalna na (a,b) i f(a) = f(b), to kres funkcji wypada albo wewnątrz przedziału - i wtedy z twierdzenia Fermata pochodna się tam zeruje - albo funkcja jest stała, i wtedy zeruje się wszędzie.

Jeśli funkcja $f$ ma w punkcie wewnętrznym $x_0$ swojej dziedziny ekstremum lokalne i jest w tym punkcie różniczkowalna, to

$f'(x_0) = 0.$

Co mówi twierdzenie

W punkcie, w którym funkcja osiąga lokalne maksimum albo minimum, styczna do wykresu jest pozioma. Geometrycznie to oczywiste: gdyby styczna była nachylona, funkcja po jednej stronie punktu rosłaby, a po drugiej malała - więc na szczycie by nie była.

Praktyczne znaczenie tego twierdzenia jest jednak odwrotne do tego, jak brzmi. Twierdzenie mówi, czego ekstremum wymaga; korzystamy z niego, żeby zawęzić poszukiwania. Zamiast przeglądać całą dziedzinę, rozwiązujemy równanie $f'(x) = 0$ i dostajemy krótką listę kandydatów.

To warunek konieczny, ale nie wystarczający - i właśnie ta różnica jest źródłem najczęstszego błędu w zadaniach optymalizacyjnych.

Uwaga na nazwę: to trzecie twierdzenie noszące nazwisko Fermata, należące do analizy matematycznej, i nie ma nic wspólnego ani z małym, ani z wielkim twierdzeniem Fermata z teorii liczb. Bywa też nazywane twierdzeniem o punktach stacjonarnych.

Założenia

Oba założenia są konieczne i oba łatwo przeoczyć:

$x_0$ jest punktem wewnętrznym dziedziny - istnieje otoczenie $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ zawarte w dziedzinie. Na końcu przedziału twierdzenie nie obowiązuje.
$f$ jest różniczkowalna w $x_0$ - pochodna musi istnieć. Funkcja z „dziobem” w punkcie ekstremum go nie spełnia, bo nie ma czego przyrównać do zera.

Nie zakładamy natomiast niczego o ciągłości poza punktem $x_0$ ani o zachowaniu funkcji gdzie indziej. Ekstremum ma być lokalne - globalne jest jego szczególnym przypadkiem.

Dowód

Pokaż dowódUkryj dowód

Załóżmy, że $f$ ma w $x_0$ maksimum lokalne (dla minimum rozumowanie jest identyczne z odwróconymi nierównościami, albo wystarczy zastosować wynik do funkcji $-f$ ).

Krok 1. Zapisujemy definicję maksimum. Istnieje $\delta > 0$ takie, że dla wszystkich $h$ spełniających $|h| < \delta$ punkt $x_0 + h$ należy do dziedziny (tu korzystamy z tego, że $x_0$ jest wewnętrzny) oraz

$f(x_0 + h) \leq f(x_0), \quad \text{czyli} \quad f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0.$

Krok 2. Iloraz różnicowy od prawej. Dla $0 < h < \delta$ licznik jest niedodatni, a mianownik dodatni, więc

$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \leq 0.$

Przechodząc do granicy $h \to 0^{+}$ (granica istnieje, bo $f$ jest różniczkowalna) i korzystając z tego, że słabe nierówności zachowują się w granicy:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0^{+}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \leq 0.$

Krok 3. Iloraz różnicowy od lewej. Dla $-\delta < h < 0$ licznik jest nadal niedodatni, ale mianownik jest ujemny, więc iloraz zmienia znak:

$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \geq 0.$

Przechodząc do granicy $h \to 0^{-}$ :

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \geq 0.$

Krok 4. Składamy oszacowania. Różniczkowalność oznacza, że obie granice jednostronne istnieją i są równe tej samej liczbie $f'(x_0)$ . Z kroków 2 i 3 mamy jednocześnie $f'(x_0) \leq 0$ oraz $f'(x_0) \geq 0$ , a więc

$f'(x_0) = 0. \qquad \blacksquare$

Zwróć uwagę, gdzie dokładnie pracują założenia: wewnętrzność punktu pozwoliła podstawiać $h$ obu znaków, a różniczkowalność - utożsamić obie granice jednostronne.

Przykład - największe pudełko z kwadratowego kartonu

Z kartonu o wymiarach $30 \times 30$ cm wycinamy w rogach cztery kwadraty o boku $x$ i zaginamy boki, otrzymując otwarte pudełko. Dla jakiego $x$ objętość jest największa?

Krok 1. Model. Podstawa ma bok $30 - 2x$ , wysokość wynosi $x$ , więc

$V(x) = x(30 - 2x)^2, \qquad x \in (0, 15).$

Krok 2. Kandydaci z twierdzenia Fermata. Maksimum leży wewnątrz przedziału, a $V$ jest różniczkowalna, więc pochodna musi się tam zerować:

$V'(x) = (30 - 2x)^2 + x \cdot 2(30 - 2x) \cdot (-2) = (30 - 2x)\big[(30 - 2x) - 4x\big] = (30 - 2x)(30 - 6x).$

Krok 3. Rozwiązujemy $V'(x) = 0$ . Otrzymujemy $x = 15$ (odpada, bo to koniec przedziału - pudełko o zerowej podstawie) oraz $x = 5$ .

Krok 4. Sprawdzamy, że to naprawdę maksimum. Twierdzenie Fermata dało tylko kandydata. Badamy znak pochodnej: dla $x < 5$ oba czynniki są dodatnie, więc $V' > 0$ ; dla $5 < x < 15$ czynnik $30 - 6x$ jest ujemny, więc $V' < 0$ . Pochodna zmienia znak z plusa na minus - to maksimum.

Odpowiedź. $x = 5$ cm, objętość $V(5) = 5 \cdot 20^2 = 2000$ cm $^3$ .

Krok 4 nie jest formalnością. Bez niego nie wiadomo, czy znaleziony punkt to szczyt, dolina, czy ani jedno, ani drugie.

Kiedy przestaje działać

Trzy sytuacje, w których naiwne stosowanie twierdzenia prowadzi do błędnej odpowiedzi:

1. Pochodna się zeruje, a ekstremum nie ma. Funkcja $f(x) = x^3$ spełnia $f'(0) = 0$ , ale w zerze nie ma ani maksimum, ani minimum - funkcja jest rosnąca na całej prostej. To punkt przegięcia. Implikacja z twierdzenia nie odwraca się.

2. Ekstremum jest, a pochodnej nie ma. Funkcja $f(x) = |x|$ ma w zerze minimum globalne, ale nie jest tam różniczkowalna (pochodne jednostronne wynoszą $-1$ i $1$ ). Twierdzenie milczy, bo jego założenie nie jest spełnione - nie znaczy to jednak, że ekstremum nie istnieje.

3. Ekstremum leży na brzegu przedziału. Funkcja $f(x) = x$ na przedziale $[0, 1]$ ma minimum w $0$ i maksimum w $1$ , a jej pochodna jest wszędzie równa $1$ . Oba punkty są końcami, nie punktami wewnętrznymi.

Stąd praktyczna reguła: szukając wartości największej i najmniejszej funkcji na przedziale domkniętym, bierzemy pod uwagę trzy rodzaje punktów - miejsca zerowe pochodnej, punkty nieróżniczkowalności oraz końce przedziału.

Po co to komu

Zadania optymalizacyjne. Każde „wyznacz największą objętość / najmniejszy koszt / najkrótszą drogę” zaczyna się od przyrównania pochodnej do zera. Twierdzenie Fermata jest uzasadnieniem tego kroku.
Punkty stacjonarne i badanie przebiegu funkcji. Miejsca zerowe pochodnej dzielą dziedzinę na przedziały monotoniczności - to szkielet każdej tabelki przebiegu zmienności.
Fundament dalszych twierdzeń. Twierdzenie Rolle’a dowodzi się właśnie przez twierdzenie Fermata (funkcja ciągła na przedziale domkniętym osiąga kres; jeśli wypada on wewnątrz, pochodna się tam zeruje), a z Rolle’a wynika twierdzenie Lagrange’a o wartości średniej.
Uczenie maszynowe. Minimalizacja funkcji straty przez spadek gradientu to numeryczne poszukiwanie punktu, w którym gradient się zeruje - ta sama idea w wielu wymiarach.

Warto pamiętać, że nie zawsze trzeba sięgać po pochodną: część zadań optymalizacyjnych rozwiązuje nierówność między średnimi w dwóch linijkach.

Kto i kiedy

Pierre de Fermat (1601-1665) sformułował metodę szukania maksimów i minimów około 1636 roku, w piśmie Methodus ad disquirendam maximam et minimam, na długo przed powstaniem rachunku różniczkowego. Jego „adequatio” - przyrównywanie $f(x)$ i $f(x + e)$ , dzielenie przez $e$ i przyjmowanie $e = 0$ - to w istocie iloraz różnicowy bez pojęcia granicy.

Metoda wywołała ostry spór z Kartezjuszem, który początkowo uznał ją za błędną. Dziś uważa się Fermata za jednego z prekursorów rachunku różniczkowego; Newton i Leibniz sformalizowali to, co on robił intuicyjnie kilkadziesiąt lat wcześniej. Ścisłe sformułowanie w języku granic pochodzi dopiero z XIX wieku.

Najczęstsze pytania

Czy z $f'(x_0) = 0$ wynika, że jest tam ekstremum? Nie. To najczęstszy błąd. Kontrprzykładem jest $f(x) = x^3$ w zerze. Zerowanie pochodnej to warunek konieczny, nie wystarczający - znaleziony punkt trzeba jeszcze zbadać.

Jak sprawdzić, czy kandydat to naprawdę ekstremum? Najprościej zbadać zmianę znaku pochodnej wokół punktu: z plusa na minus to maksimum, z minusa na plus - minimum, brak zmiany - ani jedno, ani drugie. Alternatywnie można użyć drugiej pochodnej: gdy $f''(x_0) < 0$ jest maksimum, gdy $f''(x_0) > 0$ - minimum; gdy $f''(x_0) = 0$ , kryterium nie rozstrzyga.

Dlaczego punkt musi być wewnętrzny? Bo dowód wymaga podstawiania przyrostów $h$ obu znaków. Na końcu przedziału dostępna jest tylko jedna strona i oszacowania z kroków 2 i 3 nie składają się w równość.

Co z funkcjami, które nie są różniczkowalne? Twierdzenie ich nie obejmuje, ale ekstremum mogą mieć - jak $|x|$ w zerze. Punkty nieróżniczkowalności trzeba dopisać do listy kandydatów ręcznie.

Czy to to samo co wielkie twierdzenie Fermata? Nie, łączy je tylko nazwisko. Wielkie twierdzenie dotyczy równania $x^n + y^n = z^n$ w liczbach całkowitych i należy do teorii liczb. Przegląd wszystkich twierdzeń Fermata znajdziesz na stronie Twierdzenia Fermata.

Jak to się ma do twierdzenia Rolle’a? Rolle’a dowodzi się przez twierdzenie Fermata. Jeśli $f$ jest ciągła na $[a,b]$ , różniczkowalna na $(a,b)$ i $f(a) = f(b)$ , to kres funkcji wypada albo wewnątrz przedziału - i wtedy z twierdzenia Fermata pochodna się tam zeruje - albo funkcja jest stała, i wtedy zeruje się wszędzie.

Podsumowanie

Jeśli funkcja różniczkowalna ma ekstremum lokalne w punkcie wewnętrznym $x_0$ , to $f'(x_0) = 0$ .
To warunek konieczny, nie wystarczający: $f(x) = x^3$ ma $f'(0) = 0$ bez ekstremum.
Oba założenia są istotne: $|x|$ ma minimum bez pochodnej, a $f(x) = x$ na $[0,1]$ ma ekstrema na brzegu przy niezerowej pochodnej.
Dowód: iloraz różnicowy od prawej daje $f'(x_0) \leq 0$ , od lewej $f'(x_0) \geq 0$ - a obie granice są równe, bo funkcja jest różniczkowalna.
W zadaniach na wartość największą i najmniejszą sprawdzamy trzy rodzaje punktów: miejsca zerowe pochodnej, punkty nieróżniczkowalności i końce przedziału.