Równania i nierówności z niewiadomą pod pierwiastkiem kwadratowym

Klasa 2 liceum i technikum

Skąd biorą się dodatkowe warunki

Pierwiastek kwadratowy stawia dwa ograniczenia naraz. Po pierwsze, wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne - inaczej pierwiastek nie istnieje. Po drugie, sama wartość pierwiastka jest nieujemna, więc prawa strona równania też musi taka być.

Podnoszenie do kwadratu jest przekształceniem, które potrafi dołożyć rozwiązania. Widać to na najprostszym przykładzie: równanie $x = -3$ po podniesieniu do kwadratu daje $x^2 = 9$, czyli $x = 3$ lub $x = -3$ - pojawiła się liczba, która pierwotnego równania nie spełniała. Dlatego każde rozwiązanie trzeba na końcu sprawdzić.

Przykład 1 - równanie pierwiastkowe

Zadanie. Rozwiąż równanie $\sqrt{x + 6} = x$.

Krok 1. Warunki.

$x + 6 \ge 0 \ \Rightarrow\ x \ge -6, \qquad\qquad x \ge 0 \ \text{(bo pierwiastek jest nieujemny)}.$

Razem: $x \ge 0$.

Krok 2. Podnosimy obie strony do kwadratu:

$x + 6 = x^2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x - 6 = 0.$

Krok 3. Rozwiązujemy:

$\Delta = 1 + 24 = 25, \qquad x_1 = \frac{1-5}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{1+5}{2} = 3.$

Krok 4. Konfrontujemy z warunkami. Liczba $-2$ nie spełnia warunku $x \ge 0$ - odpada. Zostaje $x = 3$.

Sprawdzenie: $\sqrt{3 + 6} = \sqrt{9} = 3$. Zgadza się.

Odpowiedź. $x = 3$.

Przykład 2 - gdy prawa strona jest liczbą

Zadanie. Rozwiąż równanie $\sqrt{2x - 1} = 5$.

Prawa strona jest dodatnia, więc drugi warunek jest spełniony automatycznie. Zostaje dziedzina $2x - 1 \ge 0$, czyli $x \ge \frac{1}{2}$, i podniesienie do kwadratu:

$2x - 1 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 26 \quad\Longrightarrow\quad x = 13.$

Wynik należy do dziedziny.

Odpowiedź. $x = 13$.

Kiedy od razu wiadomo, że nie ma rozwiązań. Równanie $\sqrt{x^2 + 1} = -2$ nie ma rozwiązań, bo lewa strona jest nieujemna, a prawa ujemna. Nie trzeba nic liczyć.

Przykład 3 - dwa pierwiastki

Zadanie. Rozwiąż równanie $\sqrt{x + 5} = \sqrt{2x - 1}$.

Obie strony są nieujemne z definicji, więc wystarczy dziedzina i podniesienie do kwadratu:

$x + 5 \ge 0 \ \text{ oraz } \ 2x - 1 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge \tfrac{1}{2},$

$x + 5 = 2x - 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 6.$

Wynik mieści się w dziedzinie.

Odpowiedź. $x = 6$.

Nierówności z pierwiastkiem

Tutaj trzeba jeszcze więcej ostrożności, bo podnoszenie nierówności do kwadratu jest dozwolone tylko wtedy, gdy obie strony są nieujemne.

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\sqrt{x - 1} < 3$.

Krok 1. Dziedzina: $x - 1 \ge 0$, czyli $x \ge 1$.

Krok 2. Prawa strona jest dodatnia, a lewa nieujemna, więc wolno podnieść obie strony do kwadratu:

$x - 1 < 9 \quad\Longrightarrow\quad x < 10.$

Krok 3. Część wspólna z dziedziną:

$x \in \langle 1;\ 10).$

Odpowiedź. $x \in \langle 1;\ 10)$.

A gdy nierówność jest odwrotna? Dla $\sqrt{x - 1} > 3$ postępujemy tak samo: dziedzina $x \ge 1$, podniesienie daje $x - 1 > 9$, czyli $x > 10$. Odpowiedź: $x \in (10;\ +\infty)$.

Uwaga. Gdyby po prawej stronie stała liczba ujemna, np. $\sqrt{x-1} > -2$, nierówność byłaby spełniona przez całą dziedzinę - pierwiastek zawsze jest nieujemny, więc zawsze większy od liczby ujemnej. Odpowiedź: $x \in \langle 1;\ +\infty)$.

Najczęstsze pytania

Dlaczego trzeba sprawdzać rozwiązania? Bo podnoszenie do kwadratu nie jest przekształceniem równoważnym - z $A = B$ wynika $A^2 = B^2$, ale nie odwrotnie. Rozwiązania, które pojawiły się „po drodze”, nazywamy obcymi i odrzucamy.

Czy warunek na prawą stronę jest zawsze potrzebny? Potrzebny jest wtedy, gdy prawa strona zawiera niewiadomą. Gdy jest liczbą dodatnią, warunek i tak jest spełniony; gdy ujemną - równanie od razu nie ma rozwiązań.

Czy zamiast warunków można po prostu sprawdzić wyniki? Można i jest to poprawne - podstawienie do równania wyjściowego rozstrzyga wszystko. Warunki bywają jednak wygodniejsze, bo od razu odsiewają część przypadków, a w nierównościach sprawdzenie „ręczne” nie wystarcza.

Skąd wiadomo, że $\sqrt{x^2} = |x|$, a nie $x$? Bo pierwiastek arytmetyczny jest nieujemny. Dla $x = -4$ mamy $\sqrt{(-4)^2} = 4 = |-4|$. To ten sam powód, dla którego prawa strona równania musi być nieujemna.

Czy w nierównościach wolno podnosić obie strony do kwadratu? Tylko gdy obie są nieujemne. Gdy prawa strona może być ujemna (zawiera niewiadomą), trzeba rozważyć przypadki osobno - inaczej łatwo o błędny wynik.

Przećwicz

• Równania kwadratowe → - w tym równania z niewiadomą pod pierwiastkiem.
• Przypomnienie własności pierwiastków: pierwiastek arytmetyczny.

Podsumowanie

• Równanie $\sqrt{W(x)} = P(x)$ wymaga trzech warunków: $W(x) \ge 0$, $P(x) \ge 0$ oraz $W(x) = P(x)^2$.
• Podnoszenie do kwadratu nie jest równoważne - dokłada rozwiązania obce, które trzeba odrzucić.
• Gdy prawa strona jest ujemna, równanie nie ma rozwiązań; gdy dodatnia - warunek na nią jest spełniony automatycznie.
• W nierównościach podnosimy do kwadratu tylko przy obu stronach nieujemnych, a wynik przecinamy z dziedziną.