Równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Klasa 1 liceum i technikum

Skąd się biorą dwie niewiadome?

W równaniach z jedną niewiadomą szukaliśmy jednej liczby, np. $2x + 3 = 11$. Ale wiele sytuacji opisuje się dwiema wielkościami naraz. Przykład: bilet normalny i ulgowy. Jeśli bilet normalny kosztuje $x$ złotych, a ulgowy $y$ złotych i wiemy, że dwa normalne i trzy ulgowe kosztują razem 38 zł, to:

$2x + 3y = 38.$

To właśnie równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi - obie niewiadome występują w pierwszej potędze (nie ma $x^2$, $xy$ ani $\sqrt{x}$).

Definicja

Równaniem pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci $ax + by = c,$ gdzie $x$ i $y$ są niewiadomymi, a liczby $a$, $b$, $c$ są dane, przy czym co najmniej jedna z liczb $a$, $b$ jest różna od zera.

Przykłady takich równań:

$x + y = 4, \qquad 2x - 3y = 6, \qquad 5x = 10 + y.$

Ostatnie równanie nie wygląda jak $ax + by = c$, ale wystarczy przenieść $y$ na lewą stronę: $5x - y = 10$. Postać równania można zawsze uporządkować przekształceniami równoważnymi.

Co jest rozwiązaniem? Para liczb!

To kluczowa zmiana w stosunku do równań z jedną niewiadomą:

Rozwiązaniem równania z dwiema niewiadomymi jest para liczb $(x, y)$, która po podstawieniu do równania daje zdanie prawdziwe.

Przykład 1. Czy para $(1, 3)$ jest rozwiązaniem równania $x + y = 4$?

Podstawiamy $x = 1$ oraz $y = 3$:

$1 + 3 = 4. \quad \checkmark$

Otrzymaliśmy zdanie prawdziwe, więc para $(1, 3)$ jest rozwiązaniem.

Przykład 2. Czy para $(2, 5)$ jest rozwiązaniem równania $x + y = 4$?

$2 + 5 = 7 \ne 4.$

Zdanie fałszywe - para $(2, 5)$ nie jest rozwiązaniem.

Uwaga na kolejność! Para $(1, 3)$ to co innego niż para $(3, 1)$. Pierwsza liczba w parze to zawsze wartość $x$, druga - wartość $y$. Dla równania $2x - y = 5$ para $(3, 1)$ jest rozwiązaniem ($6 - 1 = 5$), a para $(1, 3)$ nie jest ($2 - 3 = -1 \ne 5$).

Ile rozwiązań ma takie równanie?

Wróćmy do równania $x + y = 4$. Rozwiązaniami są m.in. pary:

$(0, 4), \quad (1, 3), \quad (2, 2), \quad (4, 0), \quad (-1, 5), \quad \left(\tfrac{1}{2},\ 3\tfrac{1}{2}\right), \quad \ldots$

Za $x$ możemy podstawić dowolną liczbę - wtedy $y$ jest już wyznaczone ($y = 4 - x$). Skoro liczb rzeczywistych jest nieskończenie wiele, to:

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Najwygodniej je opisać, wyznaczając jedną niewiadomą za pomocą drugiej. Z równania $x + y = 4$:

$y = 4 - x \qquad \text{(dla dowolnego } x \in \mathbb{R}\text{)}.$

Każde podstawienie konkretnej liczby za $x$ daje jedno rozwiązanie - jedną parę.

Wykres równania, czyli prosta rozwiązań

Każdą parę liczb $(x, y)$ można zaznaczyć jako punkt w układzie współrzędnych. Jeśli zaznaczymy wszystkie rozwiązania równania $x + y = 4$, otrzymamy linię prostą - dokładnie wykres funkcji liniowej$y = -x + 4$.

Wykresem równania $ax + by = c$ (gdy $a \ne 0$ lub $b \ne 0$) jest prosta. Dlatego takie równania nazywamy równaniami liniowymi.

Trzy przypadki warto rozróżnić:

• gdy $b \ne 0$, równanie można przekształcić do postaci $y = -\tfrac{a}{b}x + \tfrac{c}{b}$ - to zwykła funkcja liniowa (prosta „ukośna” lub pozioma);
• gdy $b = 0$ (czyli równanie ma postać $ax = c$), wykresem jest prosta pionowa $x = \tfrac{c}{a}$ - to jedyny przypadek, którego nie da się zapisać jako funkcji $y = ax + b$;
• gdy $a = 0$ (postać $by = c$), wykresem jest prosta pozioma $y = \tfrac{c}{b}$.

Przykład: znajdowanie rozwiązań

Przykład 3. Podaj trzy rozwiązania równania $2x - y = 3$ i wskaż, w którym punkcie jego wykres przecina oś $OY$.

Krok 1. Wyznaczamy $y$:

$2x - y = 3 \quad\Longrightarrow\quad y = 2x - 3.$

Krok 2. Podstawiamy wygodne wartości $x$:

$x = 0:\ y = -3, \qquad x = 1:\ y = -1, \qquad x = 2:\ y = 1.$

Trzy rozwiązania to pary $(0, -3)$, $(1, -1)$, $(2, 1)$.

Krok 3. Oś $OY$ to punkty o $x = 0$, więc wykres przecina ją w punkcie $(0, -3)$.

Odpowiedź: np. $(0, -3)$, $(1, -1)$, $(2, 1)$; przecięcie z osią $OY$ w punkcie $(0, -3)$.

Najczęstsze pytania

Ile rozwiązań ma równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi? Nieskończenie wiele - za jedną niewiadomą można podstawić dowolną liczbę, a druga jest wtedy jednoznacznie wyznaczona.

Czym różni się rozwiązanie równania z dwiema niewiadomymi od równania z jedną niewiadomą? Rozwiązaniem równania z jedną niewiadomą jest liczba, a równania z dwiema niewiadomymi - uporządkowana para liczb $(x, y)$.

Czy da się wyznaczyć obie niewiadome z jednego równania? Nie - jedno równanie wiąże dwie niewiadome, ale ich nie wyznacza. Do jednoznacznego wyznaczenia pary $(x, y)$ potrzebne jest zwykle drugie równanie - i tak powstaje układ równań.

Przećwicz

• Rozwiązywanie graficzne → - równanie z dwiema niewiadomymi jako prosta.

Podsumowanie

• Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma postać $ax + by = c$ (co najmniej jedna z liczb $a$, $b$ różna od zera).
• Rozwiązaniem jest para liczb $(x, y)$; kolejność w parze ma znaczenie.
• Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; wszystkie tworzą prostą w układzie współrzędnych.
• Aby wyznaczyć jednoznacznie obie niewiadome, potrzeba dwóch równań - tym zajmiemy się w następnej lekcji.