Przybliżenia, błąd bezwzględny i błąd względny, szacowanie

Klasa 1 liceum i technikum

Zaokrąglanie liczb

Przybliżenie liczby to zastąpienie jej liczbą „okrągłą”, bliską danej. Najczęściej zaokrąglamy do określonego rzędu (jedności, części dziesiętnych, setnych itd.).

Reguła zaokrąglania. Patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę:

• jeśli jest mniejsza od $5$ - zostawiamy ostatnią zachowaną cyfrę bez zmian (zaokrąglenie w dół),
• jeśli jest równa $5$ lub większa - zwiększamy ostatnią zachowaną cyfrę o $1$ (zaokrąglenie w górę).

Na przykład: $3{,}7 \approx 4$ (do jedności), $3{,}14159 \approx 3{,}14$ (do setnych), $3{,}14159 \approx 3{,}142$ (do tysięcznych).

Przybliżenie mniejsze od liczby dokładnej nazywamy przybliżeniem z niedomiarem, a większe - z nadmiarem. Dla $3{,}7$ przybliżenie $3$ jest z niedomiarem, a $4$ - z nadmiarem.

Błąd bezwzględny

Błąd bezwzględny przybliżenia to wartość bezwzględna różnicy między liczbą dokładną $x$ a jej przybliżeniem $x_0$:

$\Delta x = |x - x_0|.$

Przykład. Liczbę $\pi = 3{,}14159\ldots$ przybliżamy przez $3{,}14$. Błąd bezwzględny:

$\Delta x = |3{,}14159 - 3{,}14| = 0{,}00159.$

Błąd względny

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do wartości dokładnej, najczęściej podawany w procentach:

$\delta x = \frac{\Delta x}{|x|} = \frac{|x - x_0|}{|x|}.$

Dla przybliżenia $\pi \approx 3{,}14$:

$\delta x = \frac{0{,}00159}{3{,}14159} \approx 0{,}0005 = 0{,}05\%.$

Błąd względny mówi, jak duży jest błąd w stosunku do wielkości liczby - dlatego lepiej niż błąd bezwzględny pozwala porównywać dokładność przybliżeń różnych wielkości.

Szacowanie

Szacowanie to szybka, przybliżona ocena wyniku bez wykonywania dokładnych obliczeń - zwykle przez zaokrąglenie liczb do wygodnych wartości. Pozwala sprawdzić, czy dokładny wynik jest sensowny.

Przykład. Iloczyn $198 \cdot 51$ szacujemy jako:

$198 \cdot 51 \approx 200 \cdot 50 = 10\,000.$

Dokładny wynik to $10\,098$ - nasze oszacowanie jest bardzo bliskie, więc potwierdza, że rachunek wykonaliśmy poprawnie.

Najczęstsze pytania

Kiedy zaokrąglamy w górę, a kiedy w dół? Patrzymy na pierwszą odrzucaną cyfrę: gdy jest to $0$–$4$, zostawiamy ostatnią zachowywaną cyfrę bez zmian, gdy $5$–$9$ - zwiększamy ją o jeden. Zaokrąglając $3{,}148$ do części dziesiętnych, patrzymy na $4$, więc wynik to $3{,}1$.

Czym różni się błąd bezwzględny od względnego? Bezwzględny to różnica między wartością dokładną a przybliżeniem - ma jednostkę i mówi „o ile”. Względny to ta różnica podzielona przez wartość dokładną - podawany w procentach i mówi „jak bardzo” w stosunku do wielkości mierzonej. Błąd $1$ cm jest mały przy pomiarze pokoju, a ogromny przy pomiarze śruby.

Dlaczego lepiej zaokrąglać dopiero na końcu obliczeń? Bo błędy się kumulują - zaokrąglenie każdego składnika po kolei może przesunąć wynik znacznie bardziej niż jedno zaokrąglenie na końcu. Podczas rachunków trzymamy więcej cyfr, niż wypisujemy w odpowiedzi.

Po co szacować, skoro można policzyć dokładnie? Szacowanie to kontrola sensowności wyniku. Jeśli szacunek daje „około $200$”, a z kalkulatora wyszło $2000$, to gdzieś jest błąd - najczęściej przecinek albo przepisana cyfra.