Kąt wpisany i kąt środkowy w okręgu - twierdzenia

Klasa 2 liceum i technikum

Dwa rodzaje kątów

Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, a jego ramiona to promienie.

Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona to cięciwy.

Oba mogą być „oparte na tym samym łuku” - to znaczy, że ich ramiona wyznaczają ten sam fragment okręgu. I właśnie wtedy zachodzi między nimi bardzo prosta zależność.

Twierdzenie o kącie wpisanym

Twierdzenie. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Przykład. Jeśli kąt środkowy oparty na łuku $AB$ ma miarę $140^\circ$, to każdy kąt wpisany oparty na tym łuku ma miarę $70^\circ$.

Trzy wnioski, które trzeba znać

Wniosek 1. Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe. Skoro każdy z nich jest połową tego samego kąta środkowego, wszystkie muszą być równe. Dlatego w zadaniach można „przesuwać” wierzchołek kąta po okręgu, nie zmieniając jego miary.

Wniosek 2. Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty. Średnica wyznacza kąt środkowy o mierze $180^\circ$, więc kąt wpisany ma $90^\circ$. To jedno z najczęściej używanych twierdzeń w geometrii - zwane twierdzeniem Talesa o okręgu.

Wniosek 3. Kąt między styczną a cięciwą poprowadzoną z punktu styczności jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie (po przeciwnej stronie).

Przykład 1 - z kątem środkowym

Zadanie. Kąt wpisany oparty na łuku $AB$ ma miarę $35^\circ$. Jaką miarę ma kąt środkowy oparty na tym samym łuku?

$\alpha_{\text{środkowy}} = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ.$

Odpowiedź. $70^\circ$.

Przykład 2 - kąt oparty na średnicy

Zadanie. Punkty $A$ i $B$ są końcami średnicy okręgu, a punkt $C$ leży na okręgu. Wiedząc, że $|\angle CAB| = 25^\circ$, oblicz pozostałe kąty trójkąta $ABC$.

Krok 1. Kąt $ACB$ jest oparty na średnicy, więc ma miarę $90^\circ$.

Krok 2. Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$:

$|\angle ABC| = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ.$

Odpowiedź. $|\angle ACB| = 90^\circ$, $|\angle ABC| = 65^\circ$.

Kąty w czworokącie wpisanym w okrąg

Z twierdzenia o kącie wpisanym wynika jeszcze jedna użyteczna własność:

W czworokącie wpisanym w okrąg sumy kątów przeciwległych są równe $180^\circ$.

Przykład. Jeśli w czworokącie wpisanym jeden z kątów ma $110^\circ$, to kąt leżący naprzeciw niego ma $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Długość łuku i pole wycinka

Kąt środkowy mówi też, jaką część okręgu i koła wycinamy. Dla kąta $\alpha$ (w stopniach):

$\text{długość łuku} = 2\pi r \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}, \qquad \text{pole wycinka} = \pi r^2 \cdot \frac{\alpha}{360^\circ}.$

Przykład. Dla $r = 6$ i $\alpha = 60^\circ$ długość łuku wynosi $12\pi \cdot \frac{1}{6} = 2\pi$, a pole wycinka $36\pi \cdot \frac{1}{6} = 6\pi$.

Najczęstsze pytania

Co znaczy „kąty oparte na tym samym łuku”? Że ramiona obu kątów przechodzą przez te same dwa punkty okręgu, a wierzchołki leżą po tej samej stronie cięciwy. Wtedy kąty wpisane są równe.

Dlaczego kąt oparty na średnicy jest prosty? Bo odpowiadający mu kąt środkowy to kąt półpełny ($180^\circ$), a kąt wpisany jest jego połową.

Czy kąt wpisany może być rozwarty? Tak - gdy jest oparty na łuku większym od półokręgu. Odpowiadający mu kąt środkowy jest wtedy kątem wklęsłym (większym niż $180^\circ$).

Jak rozpoznać kąt środkowy na rysunku? Po wierzchołku: kąt środkowy ma go w środku okręgu, a wpisany - na okręgu. To jedyna różnica, ale zmienia miarę dwukrotnie.

Czy twierdzenie działa też dla kątów w czworokątach? Tak - własność sum kątów przeciwległych w czworokącie wpisanym wynika wprost z twierdzenia o kącie wpisanym.

Przećwicz

• Kąty środkowe i wpisane → - kąty oparte na tym samym łuku, kąt oparty na średnicy i czworokąt wpisany.
• Długość łuku i pole wycinka → - obliczenia z kątem środkowym.
• Kąt wpisany na żywo → - przeciągaj punkty po okręgu i sprawdzaj, że zależność $\alpha = \tfrac{1}{2}\beta$ trzyma się w każdym ustawieniu.

Podsumowanie

• Kąt środkowy ma wierzchołek w środku, kąt wpisany - na okręgu.
• Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku.
• Kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe.
• Kąt wpisany oparty na średnicy ma miarę $90^\circ$.
• W czworokącie wpisanym w okrąg kąty przeciwległe sumują się do $180^\circ$.