Równania i nierówności kwadratowe z parametrem

Klasa 2 liceum i technikum

Na czym polega trudność

W zadaniach z parametrem współczynniki równania zależą od litery (najczęściej $m$), a pytanie brzmi: dla jakich wartości parametru zachodzi jakaś własność. Rozwiązanie polega na przetłumaczeniu tej własności na układ warunków - a potem na rozwiązaniu zwykłych nierówności.

Kluczowa umiejętność to dobór warunków. Poniżej najczęstsze przypadki wraz z przykładami.

Typ 1: liczba rozwiązań

Zadanie. Dla jakich wartości $m$ równanie $x^2 - 4x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania?

Liczba rozwiązań zależy wyłącznie od znaku delty:

$\Delta = 16 - 4m > 0 \quad\Longrightarrow\quad 4m < 16 \quad\Longrightarrow\quad m < 4.$

Odpowiedź. $m \in (-\infty;\ 4)$.

Dla $m = 4$ równanie ma jedno rozwiązanie (podwójne), a dla $m > 4$ - żadnego.

Typ 2: parametr przy x² - uwaga na przypadek zdegenerowany

Zadanie. Dla jakich $m$ równanie $(m-1)x^2 - 2x + 1 = 0$ ma dokładnie jedno rozwiązanie?

Tu współczynnik przy $x^2$ zależy od parametru, więc równanie nie musi być kwadratowe.

Przypadek 1: $m = 1$. Wtedy równanie przyjmuje postać $-2x + 1 = 0$ - jest liniowe i ma dokładnie jedno rozwiązanie $x = \frac{1}{2}$. Ta wartość parametru pasuje.

Przypadek 2: $m \ne 1$. Równanie jest kwadratowe, więc jedno rozwiązanie oznacza $\Delta = 0$:

$\Delta = 4 - 4(m-1) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4 = 4(m-1) \quad\Longrightarrow\quad m = 2.$

Odpowiedź. $m = 1$ lub $m = 2$.

To najczęściej gubiony przypadek. Zawsze, gdy parametr stoi przy $x^2$, sprawdź osobno, co się dzieje, gdy ten współczynnik jest zerem.

Typ 3: znaki pierwiastków

Tu pracują wzory Viète’a. Warunki układamy zawsze w tej samej kolejności: najpierw istnienie pierwiastków, potem iloczyn, na końcu suma.

Zadanie. Dla jakich $m$ równanie $x^2 + (m-1)x + m + 2 = 0$ ma dwa pierwiastki różnych znaków?

Krok 1. Iloczyn ujemny:

$x_1x_2 = m + 2 < 0 \quad\Longrightarrow\quad m < -2.$

Krok 2. Sprawdzamy deltę. Przy iloczynie ujemnym delta jest automatycznie dodatnia (bo $\Delta = b^2 - 4c$, a $-4c > 0$), więc dodatkowy warunek nic nie wnosi.

Odpowiedź. $m \in (-\infty;\ -2)$.

Typ 4: stały znak funkcji

Zadanie. Dla jakich $m$ nierówność $x^2 + mx + 4 > 0$ jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą?

Parabola ma ramiona w górę ($a = 1 > 0$), więc leży w całości nad osią dokładnie wtedy, gdy nie ma miejsc zerowych:

$\Delta = m^2 - 16 < 0 \quad\Longrightarrow\quad (m-4)(m+4) < 0 \quad\Longrightarrow\quad m \in (-4;\ 4).$

Odpowiedź. $m \in (-4;\ 4)$.

Gdyby w zadaniu było $\ge 0$ zamiast $>0$, warunek złagodniałby do $\Delta \le 0$, czyli $m \in \langle -4;\ 4\rangle$.

Typ 5: położenie pierwiastków względem liczby

Zadanie. Dla jakich $m$ oba pierwiastki równania $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ są większe od $1$?

Krok 1. Delta: $\Delta = 4m^2 - 4(m^2 - 1) = 4 > 0$ - pierwiastki zawsze istnieją i są różne.

Krok 2. Warunki na położenie. Żeby oba pierwiastki leżały na prawo od liczby $1$, muszą być spełnione dwa warunki: wierzchołek leży na prawo od $1$ oraz wartość funkcji w punkcie $1$ jest dodatnia (bo ramiona idą w górę, a $1$ leży poza pierwiastkami):

$p = \frac{2m}{2} = m > 1, \qquad f(1) = 1 - 2m + m^2 - 1 = m^2 - 2m > 0.$

Krok 3. Druga nierówność: $m(m - 2) > 0$, czyli $m < 0$ lub $m > 2$.

Krok 4. Część wspólna z warunkiem $m > 1$:

$m \in (2;\ +\infty).$

Odpowiedź. $m > 2$.

Sprawdzenie. Dla $m = 3$ równanie ma postać $x^2 - 6x + 8 = 0$, czyli pierwiastki $2$ i $4$ - oba większe od $1$. Zgadza się.

Typ 6: liczba rozwiązań równania z modułem

Tu najszybciej działa wykres i pozioma prosta $y = m$.

Zadanie. Dla jakich $m$ równanie $|x^2 - 2x - 3| = m$ ma dokładnie trzy rozwiązania?

Wykres $y = |x^2-2x-3|$ ma odbity „garb” o wysokości $4$ (bo wierzchołek paraboli to $(1,-4)$) oraz dwa ramiona biegnące w górę. Prosta $y = m$ przecina go w trzech punktach dokładnie wtedy, gdy przechodzi przez wierzchołek garbu.

Odpowiedź. $m = 4$.

Schemat postępowania

1. Sprawdź, czy parametr stoi przy $x^2$ - jeśli tak, rozważ osobno przypadek zerowego współczynnika.
2. Przetłumacz treść na warunki: $\Delta$, wzory Viète’a, wartość funkcji w punkcie, znak $a$.
3. Rozwiąż każdą nierówność osobno.
4. Weź część wspólną wszystkich warunków.
5. Sprawdź odpowiedź na jednej konkretnej wartości parametru.

Najczęstsze pytania

Dlaczego trzeba brać część wspólną, a nie sumę warunków? Bo wszystkie warunki muszą być spełnione jednocześnie. Parametr, który spełnia tylko jeden z nich, nie daje żądanej własności.

Kiedy $\Delta > 0$, a kiedy $\Delta \ge 0$? „Dwa różne pierwiastki” to $\Delta > 0$. Sformułowanie „dwa pierwiastki” bywa niejednoznaczne - w zadaniach maturalnych zwykle oznacza dwa różne. „Co najmniej jeden pierwiastek” to $\Delta \ge 0$.

Czy przy warunku na znaki pierwiastków zawsze trzeba sprawdzać deltę? Przy iloczynie ujemnym nie - delta wychodzi dodatnia automatycznie. We wszystkich pozostałych przypadkach (oba dodatnie, oba ujemne) warunek na deltę jest konieczny.

Jak sprawdzić własną odpowiedź? Podstawić konkretną wartość parametru ze znalezionego przedziału i rozwiązać powstałe równanie. Jeśli własność z treści zachodzi, warunki najprawdopodobniej są dobrze ułożone. Warto też sprawdzić wartość spoza przedziału - własność nie powinna zachodzić.

Czy zadania z parametrem da się rozwiązać z wykresu? Bardzo często tak, i bywa to szybsze - zwłaszcza przy pytaniach o liczbę rozwiązań. Szkic paraboli z zaznaczoną prostą poziomą pokazuje odpowiedź od razu.

Przećwicz

• Zadania z parametrem → - liczba rozwiązań, znaki pierwiastków, stały znak funkcji.
• Wzory Viète’a → - narzędzie, bez którego typ 3 i 5 są znacznie trudniejsze.

Podsumowanie

• Warunek na liczbę rozwiązań to warunek na znak $\Delta$.
• Gdy parametr stoi przy $x^2$, osobno rozważamy przypadek zerowego współczynnika.
• Znaki pierwiastków czytamy ze wzorów Viète’a: iloczyn rozstrzyga zgodność znaków, suma - który to znak.
• Nierówność spełniona dla każdego $x$ przy $a > 0$ oznacza $\Delta < 0$.
• Wszystkie warunki łączymy częścią wspólną, a odpowiedź sprawdzamy na konkretnej wartości parametru.