Zastosowanie układów równań do rozwiązywania zadań

Klasa 1 liceum i technikum

Po co była cała ta teoria?

Właśnie po to. Układy równań to jedno z najskuteczniejszych narzędzi do zadań tekstowych: o cenach, liczbach, wieku, drodze i prędkości. Schemat jest zawsze ten sam - przetłumaczyć treść zadania z języka polskiego na język równań, a potem mechanicznie rozwiązać układ jedną z poznanych metod: podstawiania lub przeciwnych współczynników.

Najważniejsza wskazówka praktyczna:

Dwie niewiadome wymagają dwóch równań. Czytając zadanie, szukaj dwóch niezależnych informacji wiążących niewiadome - każda z nich da jedno równanie.

Przykład 1 - dwie liczby

Zadanie. Suma dwóch liczb jest równa 27, a ich różnica jest równa 5. Znajdź te liczby.

Krok 1. Oznaczamy niewiadome: $x$ - większa liczba, $y$ - mniejsza liczba.

Krok 2. Tłumaczymy treść na równania: „suma jest równa 27” oraz „różnica jest równa 5”:

$\begin{cases} x + y = 27 \\ x - y = 5 \end{cases}$

Krok 3. Współczynniki przy $y$ są przeciwne - dodajemy równania stronami:

$2x = 32 \quad\Longrightarrow\quad x = 16, \qquad y = 27 - 16 = 11.$

Krok 4. Sprawdzenie z treścią: $16 + 11 = 27$ $\checkmark$, $16 - 11 = 5$ $\checkmark$.

Odpowiedź: Szukane liczby to 16 i 11.

Przykład 2 - ceny (zakupy)

Zadanie. Trzy zeszyty i dwa długopisy kosztują 19 zł, a dwa zeszyty i cztery długopisy - 22 zł. Ile kosztuje zeszyt, a ile długopis?

Krok 1. Oznaczamy: $x$ - cena zeszytu (w zł), $y$ - cena długopisu (w zł).

Krok 2. Każdy paragon to jedno równanie:

$\begin{cases} 3x + 2y = 19 \\ 2x + 4y = 22 \end{cases}$

Krok 3. Eliminujemy $y$: mnożymy pierwsze równanie przez $-2$ i dodajemy stronami:

$\begin{cases} -6x - 4y = -38 \\ 2x + 4y = 22 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad -4x = -16 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.$

Z pierwszego równania: $3 \cdot 4 + 2y = 19$, czyli $2y = 7$, więc $y = 3{,}50$.

Krok 4. Sprawdzenie: $3 \cdot 4 + 2 \cdot 3{,}50 = 12 + 7 = 19$ $\checkmark$ oraz $2 \cdot 4 + 4 \cdot 3{,}50 = 8 + 14 = 22$ $\checkmark$. Ceny dodatnie - wynik ma sens.

Odpowiedź: Zeszyt kosztuje 4 zł, a długopis 3,50 zł.

Przykład 3 - wiek

W zadaniach o wieku kluczowe jest jedno spostrzeżenie: po $n$ latach każda osoba jest o $n$ lat starsza - obie niewiadome rosną o tyle samo.

Zadanie. Ojciec jest o 28 lat starszy od syna. Za 4 lata będzie od niego trzy razy starszy. Ile lat ma dziś ojciec, a ile syn?

Krok 1. Oznaczamy: $x$ - obecny wiek ojca (w latach), $y$ - obecny wiek syna.

Krok 2. Pierwsza informacja dotyczy „dziś”, druga - sytuacji „za 4 lata” (wtedy ojciec ma $x + 4$ lat, a syn $y + 4$):

$\begin{cases} x = y + 28 \\ x + 4 = 3(y + 4) \end{cases}$

Krok 3. Pierwsze równanie od razu podaje $x$ - idealne do metody podstawiania. Podstawiamy $x = y + 28$ do drugiego równania:

$y + 28 + 4 = 3y + 12 \quad\Longrightarrow\quad y + 32 = 3y + 12 \quad\Longrightarrow\quad 20 = 2y \quad\Longrightarrow\quad y = 10.$

Stąd $x = 10 + 28 = 38$.

Krok 4. Sprawdzenie z treścią: ojciec 38 lat, syn 10 lat - różnica 28 $\checkmark$. Za 4 lata: ojciec 42, syn 14, a $42 = 3 \cdot 14$ $\checkmark$.

Odpowiedź: Ojciec ma 38 lat, a syn 10 lat.

Przykład 4 - liczba dwucyfrowa

Tu przydaje się zapis liczby przez cyfry: liczba o cyfrze dziesiątek $x$ i cyfrze jedności $y$ to $10x + y$ (np. $47 = 10 \cdot 4 + 7$).

Zadanie. Suma cyfr liczby dwucyfrowej wynosi 11. Jeśli przestawimy jej cyfry, otrzymamy liczbę o 27 większą. Znajdź tę liczbę.

Krok 1. Oznaczamy: $x$ - cyfra dziesiątek, $y$ - cyfra jedności. Liczba to $10x + y$, a liczba z przestawionymi cyframi to $10y + x$.

Krok 2. Układamy równania:

$\begin{cases} x + y = 11 \\ 10y + x = 10x + y + 27 \end{cases}$

Krok 3. Porządkujemy drugie równanie: $9y - 9x = 27$, czyli po podzieleniu przez 9: $y - x = 3$. Układ przyjmuje postać:

$\begin{cases} x + y = 11 \\ -x + y = 3 \end{cases}$

Dodajemy stronami: $2y = 14$, więc $y = 7$ oraz $x = 11 - 7 = 4$.

Krok 4. Sprawdzenie: liczba $47$, suma cyfr $4 + 7 = 11$ $\checkmark$; po przestawieniu $74$ i rzeczywiście $74 - 47 = 27$ $\checkmark$. Obie cyfry należą do zakresu $0$-$9$, a $x \ne 0$ - liczba jest dwucyfrowa. Wynik ma sens.

Odpowiedź: Szukana liczba to 47.

Typowe „tłumaczenia” treści na równania

W zadaniach tekstowych wciąż wracają te same zwroty - warto znać ich zapis:

• „suma liczb $x$ i $y$ wynosi $S$” - $x + y = S$;
• „$x$ jest o 5 większe od $y$” - $x = y + 5$;
• „$x$ jest 3 razy większe od $y$” - $x = 3y$ (uwaga: nie $3x = y$!);
• „za $n$ lat” - do wieku każdej osoby dodajemy $n$;
• „liczba dwucyfrowa o cyfrach $x$, $y$” - $10x + y$;
• „$a$ sztuk po $x$ zł i $b$ sztuk po $y$ zł kosztuje $K$” - $ax + by = K$;
• „droga przebyta w czasie $t$ z prędkością $v$” - $s = v \cdot t$.

Najczęstszy błąd „na końcu”: zadanie pyta np. o liczbę ($47$), a uczeń kończy odpowiedzią „$x = 4$, $y = 7$”. Po rozwiązaniu układu wróć do pytania i odpowiedz na nie pełnym zdaniem, we właściwych jednostkach.

Najczęstsze pytania

Skąd wiadomo, ile równań trzeba ułożyć? Tyle, ile jest niewiadomych. Przy dwóch niewiadomych szukamy w treści dwóch niezależnych informacji - każda daje jedno równanie.

Którą metodą rozwiązywać układ z zadania tekstowego? Dowolną - wynik będzie ten sam. Jeśli jedno z równań ma postać $x = \ldots$ (jak w zadaniach o wieku), naturalne jest podstawianie; przy równaniach typu $3x + 2y = 19$ wygodne bywają przeciwne współczynniki.

Co zrobić, gdy wynik nie pasuje do treści (np. ujemna cena)? Ujemna cena, niecałkowita liczba osób czy cyfra spoza zakresu $0$-$9$ to sygnał błędu - w rachunkach albo w ułożeniu równań. Wróć do kroku 2 i sprawdź „tłumaczenie” treści na równania.

Przećwicz

• Zadania tekstowe → - liczby, ceny biletów, wiek i mieszaniny.

Podsumowanie

• Schemat: oznacz niewiadome (z jednostkami) - ułóż dwa równania - rozwiąż układ - sprawdź z treścią - odpowiedz na pytanie.
• Dwie niewiadome = dwie niezależne informacje w treści zadania.
• Przydatne zapisy: „o 5 więcej” to $+5$, „3 razy więcej” to $\cdot\, 3$, liczba dwucyfrowa to $10x + y$, „za $n$ lat” to $+n$ u każdej osoby.
• Zawsze oceń sens wyniku i odpowiedz słownie na pytanie z zadania.