Zbiory liczbowe - liczby naturalne, całkowite, wymierne i rzeczywiste

Klasa 1 liceum i technikum

W matematyce posługujemy się kilkoma zbiorami liczbowymi. Każdy z nich zawiera poprzedni i rozszerza go o nowe liczby - od liczb naturalnych, którymi liczymy przedmioty, aż po liczby rzeczywiste, którymi opisujemy długości, pola i inne wielkości ciągłe.

Liczby naturalne - $\mathbb{N}$

Liczby naturalne to liczby, którymi posługujemy się przy liczeniu. Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą $\mathbb{N}$:

$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, \dots\}.$

Zbiór liczb naturalnych dodatnich (bez zera) oznaczamy $\mathbb{N}_{+}$:

$\mathbb{N}_{+} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}.$

Liczby całkowite - $\mathbb{Z}$

Liczby całkowite to liczby naturalne wraz z liczbami do nich przeciwnymi (ujemnymi). Zbiór liczb całkowitych oznaczamy literą $\mathbb{Z}$:

$\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}.$

Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą, więc $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$.

Liczby wymierne - $\mathbb{Q}$

Liczbą wymierną nazywamy liczbę, którą można zapisać w postaci ułamka

$\frac{p}{q}, \qquad \text{gdzie } p \in \mathbb{Z}, \ q \in \mathbb{Z}, \ q \ne 0.$

Zbiór liczb wymiernych oznaczamy literą $\mathbb{Q}$. Liczbami wymiernymi są na przykład:

$\frac{2}{3}, \quad -\frac{7}{4}, \quad 5 = \frac{5}{1}, \quad 0{,}25 = \frac{1}{4}, \quad 1\tfrac{1}{2} = \frac{3}{2}.$

Każda liczba całkowita jest wymierna (można ją zapisać jako ułamek o mianowniku $1$), zatem $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$.

Rozwinięcie dziesiętne. Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci rozwinięcia dziesiętnego:

• skończonego, np. $\dfrac{1}{4} = 0{,}25$;
• nieskończonego okresowego, np. $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$ albo $\dfrac{2}{11} = 0{,}1818\ldots = 0{,}(18)$.

Powtarzającą się grupę cyfr (okres) zapisujemy w nawiasie.

Liczby niewymierne

Liczbą niewymierną nazywamy liczbę, która nie jest wymierna - czyli nie da się jej zapisać w postaci ułamka $\frac{p}{q}$ liczb całkowitych. Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe.

Przykładami liczb niewymiernych są:

$\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots, \qquad \sqrt{3}, \qquad \pi = 3{,}14159\ldots, \qquad e = 2{,}71828\ldots$

Uwaga: nie każdy pierwiastek jest niewymierny - na przykład $\sqrt{9} = 3$ jest liczbą naturalną. Niewymierne są tylko te pierwiastki, które nie „wychodzą równo”.

Liczby rzeczywiste - $\mathbb{R}$

Liczby wymierne i niewymierne razem tworzą zbiór liczb rzeczywistych, oznaczany literą $\mathbb{R}$:

$\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \{\text{liczby niewymierne}\}.$

Zbiory liczb wymiernych i niewymiernych są rozłączne - żadna liczba nie jest jednocześnie wymierna i niewymierna.

Każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i odwrotnie - każdemu punktowi osi odpowiada dokładnie jedna liczba rzeczywista. Z tego powodu oś liczbową nazywamy też osią liczb rzeczywistych.

Zawierania zbiorów liczbowych

Kolejne zbiory liczbowe zawierają się jeden w drugim:

$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}.$

Zbiór liczb niewymiernych również zawiera się w $\mathbb{R}$, ale jest rozłączny z $\mathbb{Q}$.

Oznaczenia. Symbole $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ pochodzą od słów: naturalne, Zahlen (niem. liczby - stąd $\mathbb{Z}$), quotient (iloraz - stąd $\mathbb{Q}$) i real (rzeczywiste). W starszych polskich podręcznikach spotyka się też oznaczenia $C$ (całkowite) i $W$ (wymierne).

Przykład

Rozstrzygnijmy, do których zbiorów liczbowych należą podane liczby.

• $7$ - liczba naturalna, a więc także całkowita, wymierna i rzeczywista: $7 \in \mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$.
• $-4$ - liczba całkowita (ale nie naturalna), wymierna i rzeczywista: $-4 \in \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$, natomiast $-4 \notin \mathbb{N}$.
• $\dfrac{3}{5}$ - liczba wymierna i rzeczywista, ale nie całkowita: $\dfrac{3}{5} \in \mathbb{Q},\ \mathbb{R}$, natomiast $\dfrac{3}{5} \notin \mathbb{Z}$.
• $\sqrt{2}$ - liczba niewymierna, więc tylko rzeczywista: $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$, natomiast $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Każda z tych liczb jest rzeczywista, ale tylko $7$ jest naturalna, a $\sqrt{2}$ jako jedyna jest niewymierna.

Najczęstsze pytania

Czy zero jest liczbą naturalną? W polskiej szkole tak - przyjmujemy $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}$. W części publikacji (zwłaszcza zagranicznych) zero pomija się, dlatego na wszelki wypadek spotyka się zapis $\mathbb{N}_+$ na liczby naturalne dodatnie.

Jak rozpoznać, czy liczba jest wymierna? Wymierna to taka, którą da się zapisać jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Praktyczny test: jej rozwinięcie dziesiętne jest skończone albo okresowe. Rozwinięcie nieskończone i nieokresowe (jak $\pi$ czy $\sqrt{2}$) oznacza liczbę niewymierną.

Czy $\sqrt{9}$ jest liczbą niewymierną? Nie - $\sqrt{9} = 3$, czyli liczba naturalna. Niewymierne są pierwiastki tylko wtedy, gdy liczba pod pierwiastkiem nie jest kwadratem liczby wymiernej. Sam symbol pierwiastka niczego nie przesądza.

Czy $0{,}(3)$ to liczba wymierna? Tak, to $\tfrac{1}{3}$. Każde rozwinięcie okresowe da się zamienić na ułamek zwykły, więc wszystkie takie liczby są wymierne.

Czy każda liczba rzeczywista jest wymierna albo niewymierna? Tak - te dwa zbiory dopełniają się w $\mathbb{R}$ i nie mają części wspólnej. Liczb niewymiernych jest przy tym „nieporównanie więcej”, choć w szkole częściej spotykamy wymierne.