Wykres wielomianu - jak naszkicować funkcję wielomianową

Q: Jak naszkicować wykres wielomianu?

Rozłóż wielomian na czynniki, zaznacz miejsca zerowe, ustal kierunek prawego końca ze znaku współczynnika przy najwyższej potędze i prowadź krzywą od prawej do lewej: w pierwiastku o krotności nieparzystej przecinaj oś, o parzystej - odbijaj się od niej. Na koniec dodaj punkt (0,\ f(0)).

Q: Co oznacza krotność pierwiastka na wykresie?

Krotność nieparzysta - wykres przecina oś i funkcja zmienia znak. Krotność parzysta - wykres dotyka osi i wraca na tę samą stronę, a funkcja nie zmienia znaku.

Q: Jak rozpoznać stopień wielomianu z wykresu?

Dokładnie - nie da się, ale można podać najmniejszy możliwy stopień: sumę krotności miejsc zerowych, licząc każde przecięcie co najmniej raz, a każde odbicie co najmniej dwa razy. Parzystość stopnia widać po końcach: po tej samej stronie osi - parzysty, po przeciwnych - nieparzysty.

Q: Czy wielomian stopnia parzystego musi mieć miejsce zerowe?

Nie. Na przykład f(x) = x^4 + 1 przyjmuje tylko wartości dodatnie. Miejsce zerowe musi mieć każdy wielomian stopnia nieparzystego, bo jego końce leżą po przeciwnych stronach osi.

Q: Ile miejsc zerowych może mieć funkcja wielomianowa stopnia n?

Co najwyżej n. Wielomian stopnia nieparzystego ma ich co najmniej jedno, parzystego - może nie mieć żadnego.

Q: Skąd wiadomo, gdzie dokładnie wykres ma górkę albo dołek?

Ze szkicu - tylko w przybliżeniu (między którymi miejscami zerowymi). Dokładne położenie daje pochodna funkcji, którą poznaje się w dalszej części kursu.

Klasa 2 liceum i technikum

Szkic wykresu z postaci iloczynowej

$f(x) = a\,(x - x_1)^{k_1}(x - x_2)^{k_2} \cdots (x - x_s)^{k_s}, \qquad n = k_1 + k_2 + \ldots + k_s$

Prawy koniec wykresu: w górze dla $a > 0$ , w dole dla $a < 0$ .
Lewy koniec: przy stopniu $n$ parzystym - tam gdzie prawy, przy nieparzystym - po przeciwnej stronie osi.
Krotność $k$ nieparzysta: wykres przecina oś $OX$ ; parzysta: dotyka osi i się odbija.
Punkt przecięcia z osią $OY$ : $(0,\ f(0))$ .

Funkcja wielomianowa to funkcja $f(x) = W(x)$ , gdzie $W$ jest wielomianem. Jej dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a wykres to nieprzerwana, gładka krzywa, która przecina oś $OX$ najwyżej tyle razy, ile wynosi stopień wielomianu.

Co już znamy

Funkcje wielomianowe niskich stopni to stare znajome: stopień $0$ to funkcja stała, stopień $1$ - funkcja liniowa, stopień $2$ - funkcja kwadratowa. Od stopnia trzeciego wykres przestaje być prostą czy parabolą i zaczyna „falować” - ma kilka górek i dołków.

Trzy własności każdej funkcji wielomianowej:

dziedzina to $\mathbb{R}$ - wielomian można obliczyć dla każdej liczby;
wykres jest ciągły - nie ma przerw ani skoków, więc między punktem pod osią a punktem nad osią musi przeciąć oś (to treść twierdzenia o wartości pośredniej);
wielomian stopnia $n$ ma co najwyżej $n$ miejsc zerowych, a wielomian stopnia nieparzystego - co najmniej jedno.

Zachowanie wykresu na krańcach

Dla bardzo dużych $|x|$ o wartości wielomianu decyduje wyraz z najwyższą potęgą $a_n x^n$ - reszta jest przy nim mała. Na przykład dla $f(x) = -2x^3 + 100x^2$ i $x = 100$ : $-2\,000\,000 + 1\,000\,000 = -1\,000\,000$ , więc wykres po prawej idzie w dół, choć współczynnik $100$ wygląda groźnie.

Kierunek końców wykresu zależy więc tylko od znaku $a_n$ i parzystości stopnia:

	Stopień parzysty	Stopień nieparzysty
aₙ > 0	oba końce w górę (jak y = x²)	lewy w dół, prawy w górę (jak y = x³)
aₙ < 0	oba końce w dół (jak y = −x²)	lewy w górę, prawy w dół (jak y = −x³)

W postaci iloczynowej współczynnik wiodący trzeba odczytać, a nie zgadnąć. Dla $f(x) = (3 - x)(x + 1)^2$ wyraz najwyższego stopnia to $(-x) \cdot x^2 = -x^3$ : stopień $3$ , $a = -1$ , więc lewy koniec w górze, prawy w dole. Czynnik $(3 - x)$ ma przy $x$ minus - to częsta pułapka.

Krotność miejsca zerowego a kształt wykresu

Jeśli w rozkładzie czynnik $(x - x_0)$ występuje $k$ razy, to $x_0$ jest pierwiastkiem $k$ -krotnym. Krotność mówi, jak wykres zachowuje się przy osi:

Krotność	Znak funkcji przy x₀	Wykres przy osi OX
1	zmienia się	przecina oś „na ukos", jak prosta
2 (i każda parzysta)	nie zmienia się	dotyka osi i odbija się, jak parabola
3 (i każda nieparzysta ≥ 3)	zmienia się	przecina oś, spłaszczając się przy niej, jak y = x³

Przykład 1 - wielomian stopnia 3 z pierwiastkiem podwójnym

Zadanie. Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = (x + 2)(x - 1)^2$ .

Krok 1. Krańce. Stopień $1 + 2 = 3$ , współczynnik wiodący $a = 1 > 0$ . Prawy koniec w górze, lewy w dole.

Krok 2. Miejsca zerowe. $x = -2$ (pojedyncze - wykres przecina oś) i $x = 1$ (podwójne - wykres odbija się od osi).

Krok 3. Oś $OY$ . $f(0) = 2 \cdot (-1)^2 = 2$ , punkt $(0,\ 2)$ .

Krok 4. Punkt pomocniczy. Między $-2$ a $1$ policzmy $f(-1) = 1 \cdot (-2)^2 = 4$ .

Krok 5. Rysujemy od prawej. Wykres schodzi z góry do punktu $1$ , dotyka osi i wraca nad nią, przechodzi przez $(0,\ 2)$ i $(-1,\ 4)$ , opada i przecina oś w $-2$ , a dalej w lewo idzie w dół.

Wykres f(x) = (x + 2)(x − 1)²: w miejscu zerowym −2 (pojedynczym) przecina oś OX, a w miejscu zerowym 1 (podwójnym) dotyka osi i się odbija. Przecina oś OY w punkcie (0, 2); przechodzi przez (−1, 4).

Własności odczytane z wykresu:

$f(x) > 0$ dla $x \in (-2;\ 1) \cup (1;\ +\infty)$ , $f(x) < 0$ dla $x \in (-\infty;\ -2)$ ;
zbiór wartości: $\mathbb{R}$ (oba końce idą w przeciwne strony bez ograniczenia);
funkcja rośnie w $(-\infty;\ -1\rangle$ , maleje w $\langle -1;\ 1\rangle$ i rośnie w $\langle 1;\ +\infty)$ .

Że górka wypada dokładnie w $x = -1$ , a dołek w $x = 1$ , potwierdza dopiero rachunek pochodnej: $f'(x) = 3(x - 1)(x + 1)$ . Do szkicu wystarczą miejsca zerowe i kilka punktów.

Przykład 2 - wielomian stopnia 4 z pierwiastkiem potrójnym

Zadanie. Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = \tfrac{1}{4}(x + 1)^3(x - 2)$ .

Krok 1. Krańce. Stopień $3 + 1 = 4$ (parzysty), $a = \tfrac{1}{4} > 0$ - oba końce w górę.

Krok 2. Miejsca zerowe. $x = -1$ (potrójne - wykres przecina oś, spłaszczając się) i $x = 2$ (pojedyncze - zwykłe przecięcie).

Krok 3. Oś $OY$ . $f(0) = \tfrac{1}{4} \cdot 1 \cdot (-2) = -\tfrac{1}{2}$ .

Krok 4. Punkty pomocnicze. $f(-2) = \tfrac{1}{4} \cdot (-1) \cdot (-4) = 1$ , $f(1) = \tfrac{1}{4} \cdot 8 \cdot (-1) = -2$ .

Wykres f(x) = ¼(x + 1)³(x − 2): w punkcie −1 (pierwiastek potrójny) przecina oś OX, spłaszczając się przy niej, a w punkcie 2 przecina ją zwyczajnie. Oba końce wykresu idą w górę, bo stopień 4 jest parzysty, a współczynnik ¼ dodatni.

Własności odczytane z wykresu:

$f(x) > 0$ dla $x \in (-\infty;\ -1) \cup (2;\ +\infty)$ , $f(x) < 0$ dla $x \in (-1;\ 2)$ ;
funkcja ma wartość najmniejszą (dołek między $-1$ a $2$ ), a największej nie ma - zbiór wartości jest ograniczony z dołu. Dokładnie: najmniejsza wartość to $f\big(\tfrac{5}{4}\big) = -\tfrac{2187}{1024} \approx -2{,}14$ (położenie dołka wskazuje pochodna).

Odczytywanie własności z wykresu

Z samego wykresu wielomianu można wyczytać sporo informacji o jego wzorze:

miejsca zerowe - punkty wspólne z osią $OX$ ;
parzystość krotności - przecięcie oznacza krotność nieparzystą, odbicie - parzystą;
znak $a_n$ - prawy koniec w górze oznacza $a_n > 0$ ;
parzystość stopnia - końce po tej samej stronie osi: stopień parzysty, po przeciwnych: nieparzysty;
najmniejszy możliwy stopień - sumujemy krotności: każde przecięcie liczy się co najmniej raz, każde odbicie co najmniej dwa razy.

Przykład. Wykres przecina oś w trzech punktach i odbija się od niej w jednym; lewy koniec jest w górze, prawy w dole. Stopień wynosi co najmniej $3 \cdot 1 + 2 = 5$ , a prawy koniec w dole oznacza ujemny współczynnik wiodący. Najprostszy pasujący wzór ma postać $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4)^2$ z $a < 0$ .

Kierunek końców zawsze zgadza się z liczbą przecięć: każde przecięcie zmienia znak funkcji, więc przy nieparzystej liczbie przecięć końce leżą po przeciwnych stronach osi (stopień nieparzysty), a przy parzystej - po tej samej (stopień parzysty).

Ogólne zasady odczytu - dziedzina, zbiór wartości, monotoniczność - są w lekcji odczytywanie własności funkcji z wykresu.

Wyznaczanie wzoru z warunków i z wykresu

Gdy znamy miejsca zerowe z krotnościami, wzór ma postać $f(x) = a(x - x_1)^{k_1} \cdots$ - brakuje tylko $a$ , które wyznaczamy z jednego dodatkowego punktu.

Przykład 3. Wielomian stopnia trzeciego ma pierwiastek podwójny $-1$ i pojedynczy $3$ , a jego wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0,\ 6)$ . Wyznacz wzór.

$f(x) = a(x + 1)^2(x - 3), \qquad f(0) = a \cdot 1 \cdot (-3) = -3a = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = -2.$

Odpowiedź. $f(x) = -2(x + 1)^2(x - 3) = -2x^3 + 2x^2 + 10x + 6$ .

Przykład 4. Wykres wielomianu stopnia czwartego przecina oś $OX$ w punktach $-2$ i $2$ , dotyka jej w punkcie $0$ i przechodzi przez punkt $(1,\ 3)$ . Wyznacz wzór.

Dotknięcie w $0$ oznacza pierwiastek podwójny, przecięcia - pojedyncze. Razem $2 + 1 + 1 = 4$ , czyli cały stopień:

$f(x) = a\,x^2(x - 2)(x + 2) = a\,x^2(x^2 - 4), \qquad f(1) = a \cdot 1 \cdot (-3) = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.$

Odpowiedź. $f(x) = -x^2(x^2 - 4) = -x^4 + 4x^2$ . Zgadza się z wykresem: $a < 0$ i stopień parzysty, więc oba końce w dół, a między $-2$ i $2$ (poza zerem) wartości dodatnie.

Najczęstsze błędy

Zły znak współczynnika wiodącego przy czynnikach typu $(3 - x)$ albo $(1 - 2x)$ - każdy z nich wnosi minus.
Przecięcie w pierwiastku podwójnym. Wykres w pierwiastku o krotności parzystej tylko dotyka osi.
Rysowanie od lewej z błędnym startem. Najbezpieczniej zaczynać od prawej strony, gdzie znak wyznacza samo $a_n$ .
Zapominanie o czynniku kwadratowym bez pierwiastków. Nie daje miejsc zerowych, ale podnosi stopień i może zmienić znak $a_n$ .

Najczęstsze pytania

Jak naszkicować wykres wielomianu? Rozłóż wielomian na czynniki, zaznacz miejsca zerowe, ustal kierunek prawego końca ze znaku współczynnika przy najwyższej potędze i prowadź krzywą od prawej do lewej: w pierwiastku o krotności nieparzystej przecinaj oś, o parzystej - odbijaj się od niej. Na koniec dodaj punkt $(0,\ f(0))$ .

Co oznacza krotność pierwiastka na wykresie? Krotność nieparzysta - wykres przecina oś i funkcja zmienia znak. Krotność parzysta - wykres dotyka osi i wraca na tę samą stronę, a funkcja nie zmienia znaku.

Jak rozpoznać stopień wielomianu z wykresu? Dokładnie - nie da się, ale można podać najmniejszy możliwy stopień: sumę krotności miejsc zerowych, licząc każde przecięcie co najmniej raz, a każde odbicie co najmniej dwa razy. Parzystość stopnia widać po końcach: po tej samej stronie osi - parzysty, po przeciwnych - nieparzysty.

Czy wielomian stopnia parzystego musi mieć miejsce zerowe? Nie. Na przykład $f(x) = x^4 + 1$ przyjmuje tylko wartości dodatnie. Miejsce zerowe musi mieć każdy wielomian stopnia nieparzystego, bo jego końce leżą po przeciwnych stronach osi.

Ile miejsc zerowych może mieć funkcja wielomianowa stopnia n? Co najwyżej $n$ . Wielomian stopnia nieparzystego ma ich co najmniej jedno, parzystego - może nie mieć żadnego.

Skąd wiadomo, gdzie dokładnie wykres ma górkę albo dołek? Ze szkicu - tylko w przybliżeniu (między którymi miejscami zerowymi). Dokładne położenie daje pochodna funkcji, którą poznaje się w dalszej części kursu.

Przećwicz

Wykres wielomianu → - szkice z postaci iloczynowej, dobór wzoru do wykresu, wyznaczanie wzoru z miejsc zerowych i punktu oraz odczyt zbiorów z rysunku.
Nierówności wielomianowe → - wężyk, czyli uproszczony wykres, w nierównościach.

Podsumowanie

Funkcja wielomianowa ma dziedzinę $\mathbb{R}$ i ciągły wykres.
Krańce wykresu wyznacza znak współczynnika wiodącego i parzystość stopnia; szkic zaczynamy od prawej strony.
Krotność nieparzysta - przecięcie osi, parzysta - odbicie; krotność $3$ daje przecięcie ze „spłaszczeniem”.
Punkt $(0,\ f(0))$ i kilka obliczonych wartości poprawiają szkic.
Wzór wyznaczamy z miejsc zerowych z krotnościami i jednego dodatkowego punktu.

Zobacz też: rozkładanie wielomianów na czynniki, nierówności wielomianowe, szkicowanie paraboli, wielomiany - wzory i twierdzenia.