Wzór Herona i inne wzory na pole trójkąta (r, R)

Klasa 2 liceum i technikum

Wzór Herona pozwala obliczyć pole trójkąta wyłącznie z długości jego boków: $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, gdzie $p$ to połowa obwodu. Dwa kolejne wzory wiążą pole z promieniami okręgów: $P = r \cdot p$ (okrąg wpisany) i $P = \frac{abc}{4R}$ (okrąg opisany) - najczęściej używa się ich „od tyłu”, żeby z pola wyznaczyć $r$ lub $R$.

Ta lekcja jest drugą częścią tematu pola trójkąta - wzory z wysokością i z sinusem kąta są w lekcji pole trójkąta - wzory. Połowę obwodu oznaczamy tu literą $p$; w części materiałów spotkasz literę $s$ - to ta sama wielkość.

Wzór Herona - pole z trzech boków

Wzór Herona. Trójkąt o bokach $a$, $b$, $c$ i połowie obwodu $p = \frac{a+b+c}{2}$ ma pole $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

Przykład 1. Oblicz pole trójkąta o bokach $13$, $14$, $15$.

Krok 1. Połowa obwodu: $p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$.

Krok 2. Różnice: $p - a = 8$, $p - b = 7$, $p - c = 6$ (kolejność boków nie ma znaczenia).

Krok 3.

$P = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84.$

Odpowiedź: $P = 84$. Przy rozkładzie na czynniki pierwiastek liczy się bez kalkulatora: $21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = (3 \cdot 7) \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2$, więc $P = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 84$.

Przykład 2. Boki $7$, $8$, $9$: $p = 12$, a

$P = \sqrt{12 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{720} = \sqrt{144 \cdot 5} = 12\sqrt{5} \approx 26{,}83.$

Kontrola na znanym trójkącie. Trójkąt równoramienny $5, 5, 6$ ma wysokość $\sqrt{25 - 9} = 4$ opuszczoną na podstawę, więc pole $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$. Heron: $p = 8$, $P = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{144} = 12$. Zgadza się.

Kiedy Heron jest wygodny? Gdy znamy trzy boki będące liczbami całkowitymi (lub wymiernymi) i nie znamy żadnej wysokości ani kąta. Gdy boki zawierają pierwiastki, rachunek pod pierwiastkiem szybko robi się ciężki - wtedy lepiej z twierdzenia cosinusów wyznaczyć cosinus kąta, z jedynki trygonometrycznej sinus i użyć $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Jeżeli któraś z różnic $p - a$, $p - b$, $p - c$ wyjdzie ujemna lub zero, trójkąt o takich bokach nie istnieje - to inna postać nierówności trójkąta.

Skąd się bierze wzór Herona

Wyprowadzenie korzysta tylko z dwóch znanych faktów: $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$ i twierdzenia cosinusów $2ab\cos\gamma = a^2 + b^2 - c^2$. Podnosimy pole do kwadratu i mnożymy przez $16$:

$16P^2 = 4a^2b^2\sin^2\gamma = 4a^2b^2 - (2ab\cos\gamma)^2 = (2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2.$

Dwa razy korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$16P^2 = \left(c^2 - (a-b)^2\right)\left((a+b)^2 - c^2\right) = (c - a + b)(c + a - b)(a + b - c)(a + b + c).$

Każdy nawias to podwojona różnica z $p$: $a + b + c = 2p$, $-a + b + c = 2(p - a)$, $a - b + c = 2(p - b)$, $a + b - c = 2(p - c)$. Zatem $16P^2 = 16\,p(p-a)(p-b)(p-c)$ i po spierwiastkowaniu dostajemy wzór Herona. Historię samego wzoru (Heron opisał go w I wieku n.e. w dziele Metrica) znajdziesz w biogramie Herona z Aleksandrii.

Pole przez promień okręgu wpisanego: P = r · p

Środek $I$ okręgu wpisanego jest odległy o $r$ od każdego boku. Odcinki $IA$, $IB$, $IC$ dzielą trójkąt na trzy trójkąty, których podstawami są boki $a$, $b$, $c$, a wysokością - za każdym razem promień $r$ (promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do boku):

$P = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \frac{a + b + c}{2} = r \cdot p.$

Stąd promień okręgu wpisanego: $r = \frac{P}{p}$. Dla trójkąta $13, 14, 15$ z rysunku: $r = \frac{84}{21} = 4$. Konstrukcję okręgu wpisanego i dwusieczne omawia lekcja okrąg wpisany w trójkąt.

Przykład 3 (trójkąt prostokątny). Przyprostokątne $8$ i $15$, przeciwprostokątna $17$.

Krok 1. $P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 60$, $p = \frac{8 + 15 + 17}{2} = 20$.

Krok 2. $r = \frac{60}{20} = 3$.

Odpowiedź: $r = 3$. W trójkącie prostokątnym działa też skrót $r = \frac{a + b - c}{2}$: $\frac{8 + 15 - 17}{2} = 3$.

Pole przez promień okręgu opisanego: P = abc / (4R)

Z twierdzenia sinusów$\frac{c}{\sin\gamma} = 2R$, czyli $\sin\gamma = \frac{c}{2R}$. Wstawiamy to do wzoru z sinusem:

$P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{c}{2R} = \frac{abc}{4R}.$

Stąd promień okręgu opisanego: $R = \frac{abc}{4P}$.

Przykład 4. Trójkąt $13, 14, 15$ (pole $84$):

$R = \frac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8} = 8{,}125.$

Kontrola na trójkącie prostokątnym. Dla $8, 15, 17$: $R = \frac{8 \cdot 15 \cdot 17}{4 \cdot 60} = \frac{2040}{240} = 8{,}5$, czyli połowa przeciwprostokątnej - tak, jak powinno być, bo środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży w środku przeciwprostokątnej (okrąg opisany na trójkącie).

Wyznaczanie r i R z pola - przykłady

Przykład 5. Trójkąt równoramienny ma ramiona $10$ i podstawę $12$. Oblicz $r$ i $R$.

Krok 1. Pole. Wysokość opuszczona na podstawę dzieli ją na połowy: $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$, więc $P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$.

Krok 2. Promień wpisany. $p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16$, $r = \frac{48}{16} = 3$.

Krok 3. Promień opisany. $R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = \frac{1200}{192} = 6{,}25$.

Odpowiedź: $r = 3$, $R = 6{,}25$.

Przykład 6 (wszystkie trzy wzory naraz). Trójkąt ma boki $5$ i $8$ oraz kąt $60^\circ$ między nimi. Oblicz pole, trzeci bok, $r$ i $R$.

Krok 1. Pole z sinusem. $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

Krok 2. Trzeci bok z twierdzenia cosinusów.$c^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 49$, więc $c = 7$.

Krok 3. Promień wpisany. $p = \frac{5 + 8 + 7}{2} = 10$, $r = \frac{10\sqrt{3}}{10} = \sqrt{3}$.

Krok 4. Promień opisany. $R = \frac{5 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 10\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04$.

Odpowiedź: $P = 10\sqrt{3}$, $c = 7$, $r = \sqrt{3}$, $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$. Kontrola: z twierdzenia sinusów $2R = \frac{7}{\sin 60^\circ} = \frac{14}{\sqrt{3}}$ - ten sam wynik.

Który wzór na pole trójkąta wybrać

O wyborze wzoru decydują dane, a nie przyzwyczajenie. Zestawienie:

Typowe błędy

• Obwód zamiast połowy obwodu. We wzorze Herona i w $P = r \cdot p$ występuje $p$ - połowa obwodu. Z pełnym obwodem trójkąt $13, 14, 15$ dałby „promień” $2$ zamiast $4$.
• Pomylone promienie. $r$ (wpisany) leży wewnątrz trójkąta i jest zawsze mniejszy od $R$ (opisanego) - dokładniej $R \geq 2r$. Gdy wychodzi odwrotnie, gdzieś jest błąd.
• Pierwiastek z ujemnej liczby w Heronie to nie błąd rachunkowy, tylko sygnał, że trójkąt o takich bokach nie istnieje.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć pole trójkąta, mając trzy boki? Wzorem Herona: policz połowę obwodu $p$, potem $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. Boki $13, 14, 15$ dają $p = 21$ i $P = 84$.

Co oznacza p we wzorze Herona? Połowę obwodu trójkąta: $p = \frac{a+b+c}{2}$. W niektórych książkach oznacza się ją literą $s$.

Jak obliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt? Podziel pole przez połowę obwodu: $r = \frac{P}{p}$. Dla trójkąta $8, 15, 17$: $r = \frac{60}{20} = 3$.

Jak obliczyć promień okręgu opisanego na trójkącie?$R = \frac{abc}{4P}$ albo z twierdzenia sinusów $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$. Dla trójkąta $13, 14, 15$: $R = \frac{65}{8}$.

Kiedy stosować wzór Herona? Gdy znasz trzy boki, a nie znasz żadnej wysokości ani kąta. Gdy masz kąt między dwoma bokami, szybszy jest wzór $\frac{1}{2}ab\sin\gamma$.

Kim był Heron? Grecki matematyk i inżynier z Aleksandrii, żył w I wieku n.e. Wzór na pole z trzech boków podał w dziele Metrica - więcej w jego biogramie.

Przećwicz

• Okrąg opisany i wpisany → - promienie $r$ i $R$ dla trójkąta prostokątnego, równobocznego i o bokach $5, 6, 7$.
• Rozwiązywanie trójkąta z trzech boków → - pełny algorytm: Heron, kąty, $r$, $R$ i wysokości na jednym przykładzie.
• Kalkulator trójkąta → - sprawdź swoje wyniki dla dowolnych boków.

Podsumowanie

• Wzór Herona: $P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, $p = \frac{a+b+c}{2}$ - pole z samych boków; wynika z twierdzenia cosinusów i wzoru z sinusem.
• Okrąg wpisany: $P = r \cdot p$, więc $r = \frac{P}{p}$; w trójkącie prostokątnym $r = \frac{a+b-c}{2}$.
• Okrąg opisany: $P = \frac{abc}{4R}$, więc $R = \frac{abc}{4P}$; w trójkącie prostokątnym $R = \frac{c}{2}$.
• Wybór wzoru zależy od danych - patrz tabela wyżej.
• Dalej: pola figur podobnych.