Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej na podstawie jej własności

Klasa 2 liceum i technikum

Zasada: dobierz postać do danych

Wyznaczanie wzoru to zadanie odwrotne do wszystkiego, co robiliśmy dotąd: z własności odtwarzamy wzór. Cała sztuka polega na wyborze właściwej postaci - tej, w której podane dane występują wprost. Wtedy zostaje do policzenia jedna niewiadoma zamiast trzech.

Funkcja kwadratowa ma trzy współczynniki, więc do jej wyznaczenia potrzebne są trzy niezależne informacje. Wierzchołek liczy się jako dwie (dwie współrzędne), więc razem z jednym punktem już wystarcza.

Przypadek 1: wierzchołek i punkt

Zadanie. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres ma wierzchołek $W = (2, -3)$ i przechodzi przez punkt $P = (4, 5)$.

Krok 1. Wybieramy postać kanoniczną, bo w niej wierzchołek widać wprost:

$f(x) = a(x - 2)^2 - 3.$

Krok 2. Podstawiamy współrzędne punktu $P$, czyli $x = 4$ i $f(4) = 5$:

$5 = a(4-2)^2 - 3 \quad\Longrightarrow\quad 5 = 4a - 3.$

Krok 3. Wyznaczamy $a$:

$4a = 8 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.$

Odpowiedź. $f(x) = 2(x-2)^2 - 3$, a po wymnożeniu $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$.

Sprawdzenie: $f(4) = 2 \cdot 16 - 32 + 5 = 5$. Zgadza się.

Przypadek 2: miejsca zerowe i punkt

Zadanie. Wykres funkcji kwadratowej przecina oś $OX$ w punktach $(-1, 0)$ i $(3, 0)$, a oś $OY$ w punkcie $(0, -6)$. Wyznacz wzór funkcji.

Krok 1. Wybieramy postać iloczynową, bo znamy miejsca zerowe:

$f(x) = a(x + 1)(x - 3).$

Krok 2. Podstawiamy punkt $(0, -6)$:

$-6 = a(0+1)(0-3) = -3a.$

Krok 3. Wyznaczamy $a$: $a = 2$.

Odpowiedź. $f(x) = 2(x+1)(x-3) = 2x^2 - 4x - 6$.

Skrót dla przecięcia z osią $OY$. Punkt $(0, c)$ zawsze daje wartość współczynnika $c$ w postaci ogólnej. Gdy masz już postać iloczynową, wystarczy wymnożyć i porównać wyraz wolny.

Przypadek 3: trzy dowolne punkty

Gdy żaden z punktów nie jest wierzchołkiem ani miejscem zerowym, zostaje postać ogólna i układ równań.

Zadanie. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej, której wykres przechodzi przez punkty $(0, 3)$, $(1, 2)$ oraz $(-1, 6)$.

Krok 1. Zapisujemy postać ogólną $f(x) = ax^2 + bx + c$ i podstawiamy kolejno punkty:

$f(0) = 3: \quad c = 3$

$f(1) = 2: \quad a + b + c = 2$

$f(-1) = 6: \quad a - b + c = 6$

Krok 2. Pierwsze równanie od razu daje $c = 3$. Podstawiamy je do dwóch pozostałych:

$a + b = -1, \qquad a - b = 3.$

Krok 3. Dodajemy równania stronami (metoda przeciwnych współczynników):

$2a = 2 \quad\Longrightarrow\quad a = 1, \quad\text{a stąd}\quad b = -2.$

Odpowiedź. $f(x) = x^2 - 2x + 3$.

Sprawdzenie: $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$. Zgadza się.

Gdy dane są opisane słownie

Zadania maturalne rzadko podają dane wprost - częściej trzeba je najpierw wydobyć z treści. Kilka typowych sformułowań i ich tłumaczenie na język wzorów:

• „funkcja przyjmuje wartość największą $5$ dla argumentu $2$” $\Rightarrow$ wierzchołek $W = (2, 5)$ oraz $a < 0$;
• „osią symetrii wykresu jest prosta $x = 3$” $\Rightarrow$ $p = 3$, czyli $\frac{-b}{2a} = 3$;
• „funkcja ma jedno miejsce zerowe” $\Rightarrow$ $\Delta = 0$;
• „zbiorem wartości jest $\langle -4;\ +\infty)$” $\Rightarrow$ $q = -4$ oraz $a > 0$;
• „wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 7)$” $\Rightarrow$ $c = 7$.

Przykład. Funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą $4$ dla argumentu $1$, a jej wykres przechodzi przez punkt $(3, 0)$.

Wartość największa oznacza wierzchołek $W = (1, 4)$ i ramiona w dół. Piszemy postać kanoniczną i podstawiamy punkt:

$0 = a(3-1)^2 + 4 \quad\Longrightarrow\quad 4a = -4 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.$

Zatem $f(x) = -(x-1)^2 + 4$. Współczynnik wyszedł ujemny - zgodnie z oczekiwaniem, bo funkcja ma wartość największą.

Sprawdzanie odpowiedzi

Wyznaczony wzór zawsze warto skontrolować - to kosztuje kilkanaście sekund, a wyłapuje większość błędów rachunkowych:

1. Podstaw współrzędne każdego danego punktu - muszą spełniać wzór.
2. Sprawdź znak $a$: wartość największa to $a < 0$, wartość najmniejsza to $a > 0$.
3. Policz wierzchołek ze wzoru $p = \frac{-b}{2a}$ - musi się zgadzać z danymi z treści.

Najczęstsze pytania

Ile danych potrzeba, żeby wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej? Trzy niezależne informacje, bo tyle jest współczynników. Wierzchołek liczy się za dwie, więc wierzchołek plus jeden punkt wystarcza. Same miejsca zerowe to za mało - trzeba jeszcze jednego punktu, żeby wyznaczyć $a$.

Dlaczego same miejsca zerowe nie wystarczą? Bo przez te same dwa punkty na osi $OX$ przechodzi nieskończenie wiele parabol - różnią się „rozwarciem”, czyli właśnie współczynnikiem $a$. Dopiero trzeci punkt jednoznacznie ustala wzór.

Czy zawsze trzeba przechodzić na postać ogólną? Nie, chyba że zadanie tego wymaga. Postać kanoniczna czy iloczynowa jest równie poprawną odpowiedzią - często nawet czytelniejszą. Wymnażamy tylko wtedy, gdy pytają o współczynniki $a$, $b$, $c$.

Skąd wiadomo, czy $a$ ma być dodatnie, czy ujemne? Z treści: wartość największa i ramiona w dół to $a < 0$, wartość najmniejsza i ramiona w górę to $a > 0$. Jeśli rachunek da znak niezgodny z treścią, gdzieś jest błąd.

Co, jeśli w zadaniu podano oś symetrii zamiast wierzchołka? Oś symetrii daje $p$, czyli pierwszą współrzędną wierzchołka. Drugą ($q$) trzeba wyliczyć z pozostałych danych - zwykle z podanego punktu.

Przećwicz

• Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej → - wszystkie trzy warianty danych, z rozwiązaniami krok po kroku.

Podsumowanie

• Do wyznaczenia wzoru potrzeba trzech niezależnych informacji.
• Wierzchołek + punkt $\Rightarrow$ postać kanoniczna $a(x-p)^2 + q$.
• Miejsca zerowe + punkt $\Rightarrow$ postać iloczynowa $a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Trzy punkty $\Rightarrow$ postać ogólna i układ trzech równań.
• Opis słowny („wartość największa”, „oś symetrii”, „zbiór wartości”) tłumaczymy najpierw na współrzędne wierzchołka albo warunek na $\Delta$.
• Odpowiedź sprawdzamy, podstawiając dane punkty do znalezionego wzoru.