Symetralne boków trójkąta. Okrąg opisany na trójkącie

Q: Czym różni się okrąg opisany od wpisanego?

Opisany przechodzi przez wierzchołki (środek to przecięcie symetralnych), a wpisany jest styczny do boków (środek to przecięcie dwusiecznych) - patrz następna lekcja.

Klasa 2 liceum i technikum

Okrąg opisany na trójkącie

Symetralne wszystkich trzech boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie - jest nim środek okręgu opisanego na trójkącie.

$R = \frac{abc}{4P}, \qquad \text{a dla trójkąta prostokątnego} \quad R = \frac{c}{2}$

gdzie $c$ to przeciwprostokątna, a $P$ - pole trójkąta.

Symetralna jako zbiór punktów równoodległych

Przypomnijmy definicję: symetralna odcinka to prosta prostopadła do niego i przechodząca przez jego środek. Jej kluczowa własność brzmi:

Punkt leży na symetralnej odcinka wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednakowo oddalony od jego końców.

Z tej jednej własności wynika całe twierdzenie o okręgu opisanym.

Dlaczego symetralne przecinają się w jednym punkcie

Weźmy trójkąt $ABC$ i punkt $O$ przecięcia symetralnych boków $AB$ i $AC$ .

$O$ leży na symetralnej $AB$ , więc $|OA| = |OB|$ ;
$O$ leży na symetralnej $AC$ , więc $|OA| = |OC|$ .

Stąd $|OB| = |OC|$ , a to znaczy, że $O$ leży również na symetralnej boku $BC$ . Wszystkie trzy symetralne przechodzą więc przez ten sam punkt - i jest on równo oddalony od wszystkich wierzchołków. Okrąg o środku $O$ i promieniu $R = |OA|$ przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki: to okrąg opisany.

Symetralne boków trójkąta ABC przecinają się w punkcie O - środku okręgu opisanego. Odległości od O do wszystkich wierzchołków są równe.

Gdzie leży środek okręgu opisanego

Położenie punktu $O$ zależy od rodzaju trójkąta:

trójkąt ostrokątny - środek leży wewnątrz trójkąta;
trójkąt prostokątny - środek leży na środku przeciwprostokątnej;
trójkąt rozwartokątny - środek leży na zewnątrz trójkąta.

Przypadek prostokątny jest szczególnie użyteczny: skoro środek leży na środku przeciwprostokątnej, to jest ona średnicą okręgu opisanego, czyli

$R = \frac{c}{2}.$

To ta sama obserwacja, co kąt oparty na średnicy - tylko czytana od drugiej strony.

Konstrukcja okręgu opisanego

Konstruujemy symetralną jednego boku.
Konstruujemy symetralną drugiego boku.
Punkt przecięcia to środek $O$ .
Rysujemy okrąg o środku $O$ i promieniu $|OA|$ .

Trzecia symetralna nie jest potrzebna - przejdzie przez ten sam punkt automatycznie, ale warto ją narysować jako kontrolę poprawności.

Przykład 1 - trójkąt prostokątny

Zadanie. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $6$ i $8$ .

Krok 1. Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa:

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10.$

Krok 2. Promień to połowa przeciwprostokątnej:

$R = \frac{10}{2} = 5.$

Odpowiedź. $R = 5$ .

Przykład 2 - wzór ogólny

Zadanie. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach $5$ , $6$ i $7$ .

Krok 1. Pole liczymy wzorem Herona. Połowa obwodu: $s = \frac{5+6+7}{2} = 9$ , więc

$P = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}.$

Krok 2. Promień:

$R = \frac{abc}{4P} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24} \approx 3{,}57.$

Odpowiedź. $R = \frac{35\sqrt{6}}{24} \approx 3{,}57$ .

Okrąg opisany na wielokącie

Nie każdy wielokąt da się wpisać w okrąg - trójkąt zawsze, ale czworokąt tylko wtedy, gdy sumy jego przeciwległych kątów wynoszą $180^\circ$ . Każdy wielokąt foremny ma okrąg opisany, którego środek pokrywa się ze środkiem symetrii figury.

Najczęstsze pytania

Czy każdy trójkąt ma okrąg opisany? Tak, dokładnie jeden. Wynika to z tego, że symetralne trzech boków zawsze przecinają się w jednym punkcie.

Czy środek okręgu opisanego zawsze leży w trójkącie? Nie. W trójkącie ostrokątnym tak, w prostokątnym leży na przeciwprostokątnej, a w rozwartokątnym

poza trójkątem.

Czy wystarczy narysować dwie symetralne? Tak. Trzecia przechodzi przez ten sam punkt, więc służy tylko do sprawdzenia dokładności rysunku.

Kiedy prościej użyć $R = \frac{c}{2}$ niż $R = \frac{abc}{4P}$ ? Zawsze, gdy trójkąt jest prostokątny - wtedy wystarczy znać przeciwprostokątną. Wzór ogólny zostawiamy na pozostałe przypadki.

Czym różni się okrąg opisany od wpisanego? Opisany przechodzi przez wierzchołki (środek to przecięcie symetralnych), a wpisany jest styczny do boków (środek to przecięcie dwusiecznych) - patrz następna lekcja.

Przećwicz

Okrąg opisany i wpisany → - promienie, położenie środka i zadania konstrukcyjne.

Podsumowanie

Punkt symetralnej jest równoodległy od końców odcinka - stąd całe twierdzenie.
Symetralne boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie: środku okręgu opisanego.
Środek leży wewnątrz (trójkąt ostrokątny), na przeciwprostokątnej (prostokątny) albo na zewnątrz (rozwartokątny).
$R = \frac{abc}{4P}$ , a dla trójkąta prostokątnego $R = \frac{c}{2}$ .