Proporcjonalność odwrotna y = a/x i funkcja 1/x - hiperbola

Klasa 1 liceum i technikum

Skąd się bierze proporcjonalność odwrotna?

Trasę 120 km można przejechać z różnymi prędkościami. Im większa prędkość $v$, tym krótszy czas $t$:

$v = 40:\ t = 3, \qquad v = 60:\ t = 2, \qquad v = 80:\ t = 1{,}5, \qquad v = 120:\ t = 1.$

We wszystkich przypadkach $v \cdot t = 120$ - iloczyn jest stały, bo to po prostu długość trasy. Zależność $t = \tfrac{120}{v}$ to przykład proporcjonalności odwrotnej: gdy jedna wielkość rośnie (np. 2 razy), druga maleje (2 razy).

Porównaj: w proporcjonalności prostej stały był iloraz $\tfrac{y}{x}$, a obie wielkości rosły razem. Tu stały jest iloczyn $x \cdot y$.

Definicja

Proporcjonalnością odwrotną nazywamy funkcję określoną wzorem $y = \frac{a}{x},$ gdzie $a \ne 0$ jest współczynnikiem proporcjonalności. Dziedziną funkcji jest $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ (wszystkie liczby rzeczywiste oprócz zera).

Wykluczenie $x = 0$ jest konieczne - przez zero nie wolno dzielić. Współczynnik $a$ łatwo znaleźć: skoro $y = \tfrac{a}{x}$, to $a = x \cdot y$ - wystarczy jeden punkt wykresu.

Przykład 1. Wielkości $x$ i $y$ są odwrotnie proporcjonalne i dla $x = 4$ mamy $y = 3$. Wyznacz wzór funkcji i oblicz $y$ dla $x = 6$.

Krok 1. Współczynnik: $a = x \cdot y = 4 \cdot 3 = 12$, więc $y = \tfrac{12}{x}$.

Krok 2. Dla $x = 6$: $y = \tfrac{12}{6} = 2$.

Odpowiedź: $y = \tfrac{12}{x}$; dla $x = 6$ otrzymujemy $y = 2$.

Wykres: hiperbola

Narysujmy wykres funkcji $y = \tfrac{2}{x}$. Policzmy kilka wartości:

$x = \tfrac{1}{2}:\ y = 4, \quad x = 1:\ y = 2, \quad x = 2:\ y = 1, \quad x = 4:\ y = \tfrac{1}{2},$

$x = -1:\ y = -2, \quad x = -2:\ y = -1, \quad x = -4:\ y = -\tfrac{1}{2}.$

Wykres składa się z dwóch osobnych gałęzi - to hiperbola. Zwróć uwagę na jej zachowanie przy „krańcach”:

• gdy $x$ rośnie nieograniczenie, wartości $\tfrac{2}{x}$ zbliżają się do zera - wykres przytula się do osi $OX$, ale nigdy jej nie dotyka;
• gdy $x$ zbliża się do zera (od strony dodatniej), wartości rosną nieograniczenie - wykres ucieka w górę wzdłuż osi $OY$.

Proste, do których wykres się zbliża, nazywamy asymptotami. Hiperbola $y = \tfrac{a}{x}$ ma dwie: oś $OX$ (asymptota pozioma) i oś $OY$ (asymptota pionowa).

Funkcja 1/x

Najprostszy przypadek to $a = 1$, czyli funkcja $f(x) = \tfrac{1}{x}$ - każdej liczbie przyporządkowuje jej odwrotność:

$f(2) = \tfrac{1}{2}, \quad f\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2, \quad f(1) = 1, \quad f(-1) = -1, \quad f(-4) = -\tfrac{1}{4}.$

Jej wykres to hiperbola w I i III ćwiartce, przechodząca przez punkty $(1, 1)$ i $(-1, -1)$ - te dwa punkty leżą najbliżej początku układu. Oprócz symetrii względem punktu $(0, 0)$ wykres jest symetryczny także względem prostych $y = x$ i $y = -x$. Symetria względem $y = x$ ma prosty sens: odwrotność odwrotności to wyjściowa liczba, $f(f(x)) = x$, więc funkcja $\tfrac{1}{x}$ jest odwrotna sama do siebie.

Funkcja $\tfrac{1}{x}$ jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$ i w przedziale $(0, +\infty)$, nie ma miejsc zerowych, a jej dziedziną i zbiorem wartości jest $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. Z niej przez przesunięcia powstają wszystkie funkcje homograficzne, np. $y = \tfrac{1}{x - 2} + 3$.

Własności proporcjonalności odwrotnej

Dla funkcji $y = \tfrac{a}{x}$:

• dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$; zbiór wartości: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ (funkcja nigdy nie przyjmuje wartości 0 - nie ma miejsc zerowych);
• położenie gałęzi: dla $a > 0$ - I i III ćwiartka; dla $a < 0$ - II i IV ćwiartka;
• monotoniczność: dla $a > 0$ funkcja jest malejąca w przedziale $(-\infty, 0)$ i malejąca w przedziale $(0, +\infty)$ - ale nie jest malejąca w całej dziedzinie (porównaj $f(-1) = -a$ i $f(1) = a$);
• asymptoty: osie układu współrzędnych;
• wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Zobacz to na żywo. W rysowniku funkcji zmieniaj suwakiem współczynnik $a$: obserwuj, jak gałęzie oddalają się od osi (rosnące $|a|$) i jak przeskakują do II i IV ćwiartki, gdy $a$ zmienia znak.

Przykład praktyczny - wydajność pracy

Przykład 2. Czterech malarzy pomalowałoby blok w 18 dni. Ilu malarzy potrzeba, by skończyć pracę w 12 dni? (Zakładamy jednakową wydajność.)

Krok 1. Liczba malarzy $n$ i czas pracy $t$ są odwrotnie proporcjonalne (2 razy więcej osób - 2 razy krócej). Stały iloczyn: $n \cdot t = 4 \cdot 18 = 72$ (to „rozmiar roboty” w osobodniach).

Krok 2. Szukamy $n$ dla $t = 12$:

$n = \frac{72}{12} = 6.$

Odpowiedź: Potrzeba 6 malarzy.

Najczęstsze pytania

Po czym poznać, że wielkości są odwrotnie proporcjonalne? Ich iloczyn jest stały: podwojenie jednej wielkości powoduje zmniejszenie drugiej o połowę. Typowe pary: prędkość i czas (przy stałej drodze), liczba pracowników i czas pracy, cena jednostkowa i liczba sztuk za ustaloną kwotę.

Co jest wykresem proporcjonalności odwrotnej? Hiperbola - krzywa o dwóch gałęziach, której asymptotami są osie układu współrzędnych. Dla $a > 0$ gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla $a < 0$ - w II i IV.

Jak wygląda wykres funkcji 1/x? To hiperbola o dwóch gałęziach w I i III ćwiartce, przechodząca przez punkty $(1, 1)$ i $(-1, -1)$. Osie układu są jej asymptotami, a sama krzywa jest symetryczna względem początku układu oraz prostych $y = x$ i $y = -x$.

Czy funkcja y = a/x ma miejsca zerowe? Nie. Ułamek $\tfrac{a}{x}$ przy $a \ne 0$ nigdy nie jest równy zero, więc wykres nie przecina osi $OX$ (tylko się do niej zbliża).

Dlaczego x = 0 nie należy do dziedziny? Bo dzielenie przez zero jest niewykonalne - dla $x = 0$ wzór $\tfrac{a}{x}$ nie ma sensu liczbowego. Na wykresie objawia się to „rozcięciem” hiperboli na dwie gałęzie.

Przećwicz

• Proporcjonalność odwrotna → - wzór z punktu, gałęzie hiperboli i zadania praktyczne.

Podsumowanie

• Proporcjonalność odwrotna: $y = \tfrac{a}{x}$, $a \ne 0$; stały jest iloczyn $x \cdot y = a$.
• Dziedzina i zbiór wartości: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$; brak miejsc zerowych.
• Wykres to hiperbola o dwóch gałęziach (I i III ćwiartka dla $a > 0$, II i IV dla $a < 0$).
• Osie układu to asymptoty wykresu.
• Funkcja jest malejąca (dla $a > 0$) osobno w każdym z przedziałów $(-\infty, 0)$ i $(0, +\infty)$.