Wykres funkcji

Q: Jak odczytać z wykresu, dla jakich argumentów funkcja jest dodatnia?

Szukamy fragmentów wykresu nad osią OX i odczytujemy odpowiadające im wartości x z osi poziomej. Fragmenty pod osią dają argumenty, dla których funkcja jest ujemna, a punkty na osi - miejsca zerowe.

Klasa 1 liceum i technikum

Wykres funkcji - co warto zapamiętać

$\text{Wykres } f \ = \ \big\{ (x,\, y) : y = f(x),\ x \in D_f \big\}$

Wykres to zbiór wszystkich punktów $\big(x,\, f(x)\big)$ - argument odkładamy na osi poziomej, wartość na pionowej.

$\textbf{Test pionowej prostej:}\ \text{rysunek jest wykresem funkcji} \iff \text{każda pionowa prosta przecina go co najwyżej raz.}$

Po co rysujemy wykres

Wzór mówi nam, jak liczyć wartości, ale dopiero wykres pokazuje funkcję „na pierwszy rzut oka”: gdzie rośnie, gdzie maleje, gdzie przyjmuje wartość zero, jaka jest największa wartość. Cały dalszy ciąg tego działu polega na odczytywaniu tych własności z obrazka, dlatego warto najpierw dobrze zrozumieć, czym wykres w ogóle jest.

Układ współrzędnych

Rysujemy dwie prostopadłe osie liczbowe przecinające się w punkcie $(0,0)$ zwanym początkiem układu:

oś pozioma (oś $OX$ , oś odciętych) - odkładamy na niej argumenty $x$ ;
oś pionowa (oś $OY$ , oś rzędnych) - odkładamy na niej wartości $f(x)$ .

Każdy punkt płaszczyzny ma dwie współrzędne: $(x, y)$ . Pierwsza mówi, jak daleko w prawo (lub w lewo), druga - jak wysoko (lub jak nisko).

Czym jest wykres funkcji

Wykresem funkcji $f$ nazywamy zbiór wszystkich punktów $\big(x,\, f(x)\big)$ , gdzie $x$ przebiega całą dziedzinę funkcji.

Inaczej: bierzemy każdy argument $x$ , liczymy jego wartość $f(x)$ i zaznaczamy punkt o współrzędnych $\big(x,\, f(x)\big)$ . Zbiór wszystkich takich punktów tworzy wykres.

Narysujmy wykres funkcji $f(x) = x^2$ . Liczymy kilka wartości, zaznaczamy punkty i łączymy je gładką linią:

Wykres funkcji f(x) = x². Zaznaczony punkt (1, 1) czytamy tak: dla argumentu x = 1 wartość funkcji wynosi 1.

Jak odczytać wartość z wykresu

To najważniejsza umiejętność. Żeby odczytać $f(a)$ :

znajdź na osi poziomej argument $a$ ,
idź pionowo (w górę lub w dół) aż do wykresu,
z tego punktu idź poziomo do osi pionowej - tam odczytasz wartość $f(a)$ .

Na rysunku wyżej dla $x = 1$ docieramy do punktu wykresu leżącego na wysokości $1$ , więc $f(1) = 1$ . Działa to też w drugą stronę: jeśli chcemy wiedzieć, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $4$ , prowadzimy poziomą linię na wysokości $4$ i sprawdzamy, gdzie przecina wykres - tutaj w dwóch punktach: dla $x = -2$ oraz $x = 2$ .

Test pionowej prostej

Nie każda krzywa narysowana na płaszczyźnie jest wykresem funkcji. Przypomnijmy warunek: każdemu argumentowi może odpowiadać tylko jedna wartość. Na obrazku oznacza to, że nad każdym punktem osi $OX$ może leżeć co najwyżej jeden punkt wykresu.

Test pionowej prostej. Rysunek jest wykresem pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy każda prosta pionowa przecina go co najwyżej raz.

Jeśli choć jedna pionowa prosta trafia w dwa punkty rysunku, to dla pewnego argumentu byłyby dwie wartości - a to wyklucza funkcję.

Z lewej: prosta pionowa trafia w jeden punkt - to wykres funkcji. Z prawej: trafia w dwa punkty - okrąg nie jest wykresem funkcji.

Dlatego okrąg czy „leżąca” parabola nie są wykresami funkcji - są zbyt „grube w pionie”.

Najczęstsze pytania

Na czym polega test pionowej prostej? Prowadzimy w myślach pionowe proste przez wykres. Jeśli któraś przecina go w więcej niż jednym punkcie, rysunek nie jest wykresem funkcji - jednemu argumentowi odpowiadałyby dwie wartości. Okrąg tego testu nie przechodzi, parabola tak.

Ile punktów trzeba obliczyć, żeby narysować wykres? Zależy od funkcji. Dla prostej wystarczą dwa, dla paraboli warto mieć wierzchołek i po dwa punkty z każdej strony. Ogólna zasada: im bardziej wykres się „wygina”, tym gęściej liczymy punkty - i zawsze łączymy je zgodnie z tym, co wiemy o funkcji, a nie „na oko”.

Jak odczytać z wykresu, dla jakich argumentów funkcja jest dodatnia? Szukamy fragmentów wykresu nad osią $OX$ i odczytujemy odpowiadające im wartości $x$ z osi poziomej. Fragmenty pod osią dają argumenty, dla których funkcja jest ujemna, a punkty na osi - miejsca zerowe.

Czy wykres musi być ciągłą linią? Nie. Wykresem może być zbiór osobnych punktów (np. gdy dziedziną są tylko liczby naturalne) albo linia z „dziurą” w miejscu argumentu spoza dziedziny. Ciągła krzywa to częsty przypadek, nie wymóg.

Przećwicz

Punkt na wykresie funkcji → - sprawdzanie, czy punkt należy do wykresu.
Odczytywanie własności z wykresu → - dziedzina, zbiór wartości, miejsca zerowe.

Podsumowanie

Wykres funkcji to zbiór punktów $\big(x,\, f(x)\big)$ : argument na osi poziomej, wartość na pionowej.
Wartość $f(a)$ odczytujemy, idąc z argumentu $a$ pionowo do wykresu, a stamtąd poziomo do osi $OY$ .
Test pionowej prostej: rysunek jest wykresem funkcji tylko wtedy, gdy żadna pionowa prosta nie przecina go więcej niż raz.