Równanie ogólne prostej i odległość punktu od prostej

Klasa 2 liceum i technikum

Równanie ogólne prostej to zapis $Ax + By + C = 0$, w którym liczby $A$ i $B$ nie są jednocześnie zerami. W tej postaci da się zapisać każdą prostą na płaszczyźnie, także pionową, a współczynniki $A$ i $B$ od razu dają wektor prostopadły do prostej - dzięki temu najłatwiej z niej sprawdzać prostopadłość i liczyć odległość punktu od prostej.

W poprzedniej lekcji poznaliśmy równanie kierunkowe prostej$y = ax + b$ i jego jedyną słabość: nie opisuje prostych pionowych. Postać ogólna tę lukę zamyka. Wzory w skrócie zebrano na stronie równanie prostej - wzory.

Postać ogólna a kierunkowa

Z ogólnej do kierunkowej przechodzimy, wyznaczając $y$ (możliwe, gdy $B \ne 0$):

$Ax + By + C = 0 \quad\Rightarrow\quad y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}.$

Przykład 1. Zapisz prostą $3x - 4y + 8 = 0$ w postaci kierunkowej.

Krok 1. Zostawiamy $y$ po jednej stronie: $-4y = -3x - 8$.

Krok 2. Dzielimy każdy wyraz przez $-4$: $y = \frac{3}{4}x + 2$.

Odpowiedź: $y = \frac{3}{4}x + 2$, współczynnik kierunkowy $a = \frac{3}{4}$.

Z kierunkowej do ogólnej - przenosimy wszystko na jedną stronę, a ułamki usuwamy mnożeniem.

Przykład 2. Zapisz prostą $y = -\frac{2}{3}x + 5$ w postaci ogólnej.

Mnożymy przez $3$: $3y = -2x + 15$, a po przeniesieniu: $2x + 3y - 15 = 0$.

Równanie ogólne nie jest jednoznaczne: po pomnożeniu przez dowolną liczbę różną od zera opisuje tę samą prostą. Równania $2x + 3y - 15 = 0$ i $4x + 6y - 30 = 0$ to ta sama prosta. Zwykle wybieramy zapis z liczbami całkowitymi bez wspólnego dzielnika.

Proste pionowe i poziome

• $B = 0$ - prosta pionowa: $Ax + C = 0$, czyli $x = -\frac{C}{A}$. Na przykład $2x - 6 = 0$ to $x = 3$.
• $A = 0$ - prosta pozioma: $By + C = 0$, czyli $y = -\frac{C}{B}$. Na przykład $3y + 12 = 0$ to $y = -4$.
• $C = 0$ - prosta przechodzi przez początek układu, bo $(0, 0)$ spełnia równanie.

Gdyby jednocześnie $A = 0$ i $B = 0$, zostałoby $C = 0$ - albo zbiór pusty, albo cała płaszczyzna, ale nigdy prosta. Stąd zastrzeżenie $A^2 + B^2 \ne 0$.

Prosta przez dwa punkty w postaci ogólnej

Wzór z poprzedniej lekcji, $y - y_A = a(x - x_A)$, po pomnożeniu przez $x_B - x_A$ traci dzielenie i działa także dla prostych pionowych:

$(y - y_A)(x_B - x_A) = (y_B - y_A)(x - x_A).$

Przykład 3. Wyznacz równanie ogólne prostej przez $A = (-2, 1)$ i $B = (4, 4)$.

Krok 1. Podstawiamy: $(y - 1) \cdot 6 = 3 \cdot (x + 2)$, czyli $6y - 6 = 3x + 6$.

Krok 2. Porządkujemy: $3x - 6y + 12 = 0$, a po podzieleniu przez $3$: $x - 2y + 4 = 0$.

Krok 3. Sprawdzenie. Dla $A$: $-2 - 2 + 4 = 0$; dla $B$: $4 - 8 + 4 = 0$.

Dla punktów $(2, -1)$ i $(2, 5)$ ten sam wzór daje $(y + 1) \cdot 0 = 6(x - 2)$, czyli $x - 2 = 0$ - prostą pionową, bez żadnego wyjątku w rachunku.

Wektor prostopadły do prostej

Weźmy dwa punkty prostej, $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$. Odejmując ich równania stronami, dostajemy:

$A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) = 0.$

To znaczy, że wektor $[A, B]$ jest prostopadły do każdego wektora leżącego wzdłuż prostej (iloczyn skalarny jest równy zeru). Wektor $[A, B]$ nazywamy wektorem normalnym prostej, a wektor $[B, -A]$ wyznacza jej kierunek. Dla prostej $3x - 4y + 6 = 0$ wektor $[3, -4]$ jest do niej prostopadły. O wektorach w układzie współrzędnych była mowa w lekcji wektor w układzie współrzędnych.

Warunki równoległości i prostopadłości

Dla prostych $l_1\colon A_1x + B_1y + C_1 = 0$ oraz $l_2\colon A_2x + B_2y + C_2 = 0$:

• równoległe, gdy ich wektory normalne są równoległe: $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$;
• prostopadłe, gdy ich wektory normalne są prostopadłe: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.

Gdy $B_1, B_2 \ne 0$, te warunki to dokładnie $a_1 = a_2$ i $a_1 a_2 = -1$ z postaci kierunkowej (bo $a = -\frac{A}{B}$). Ich przewaga: działają także dla prostych pionowych. Proste $x - 4 = 0$ ($A = 1$, $B = 0$) i $y + 2 = 0$ ($A = 0$, $B = 1$) dają $1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0$ - są prostopadłe.

Przykład 4. Zbadaj proste:

• $2x - 3y + 1 = 0$ i $3x + 2y - 7 = 0$: $2 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 = 0$ - prostopadłe;
• $2x - 3y + 1 = 0$ i $4x - 6y - 5 = 0$: $2 \cdot (-6) - 4 \cdot (-3) = 0$ - równoległe.

Przykład 5. Wyznacz proste przechodzące przez $P = (1, -2)$: równoległą i prostopadłą do $2x - 3y + 1 = 0$.

Krok 1. Równoległa ma te same $A$ i $B$: $2x - 3y + C = 0$. Podstawiamy $P$: $2 + 6 + C = 0$, więc $C = -8$. Odpowiedź: $2x - 3y - 8 = 0$.

Krok 2. Prostopadła - zamieniamy miejscami $A$ i $B$ i zmieniamy jeden znak: $3x + 2y + C = 0$. Podstawiamy $P$: $3 - 4 + C = 0$, więc $C = 1$. Odpowiedź: $3x + 2y + 1 = 0$.

Wzajemne położenie dwóch prostych

Wspólne punkty prostych to rozwiązania układu ich równań. O tym, który przypadek zachodzi, decyduje wyrażenie $W = A_1B_2 - A_2B_1$:

Przykład 6. Wyznacz punkt przecięcia prostych $x - 2y + 4 = 0$ i $3x + y - 9 = 0$.

Krok 1. $W = 1 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) = 7 \ne 0$ - punkt wspólny istnieje i jest jeden.

Krok 2. Z pierwszego równania $x = 2y - 4$. Podstawiamy do drugiego: $3(2y - 4) + y - 9 = 0$, czyli $7y = 21$, $y = 3$.

Krok 3. $x = 2 \cdot 3 - 4 = 2$. Odpowiedź: $(2, 3)$.

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu od prostej to długość odcinka prostopadłego, poprowadzonego od punktu do prostej. Dla $P = (x_0, y_0)$ i prostej $Ax + By + C = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Skąd ten wzór? Spodek prostopadłej $H$ leży na prostej przechodzącej przez $P$ w kierunku wektora normalnego $[A, B]$, więc $H = (x_0 - tA,\ y_0 - tB)$ dla pewnej liczby $t$.

Krok 1. $H$ leży na prostej $l$: $A(x_0 - tA) + B(y_0 - tB) + C = 0$, skąd

$t = \frac{Ax_0 + By_0 + C}{A^2 + B^2}.$

Krok 2. Długość $PH$ to długość wektora $t \cdot [A, B]$, czyli $|t|\sqrt{A^2 + B^2}$. Po podstawieniu $t$ jeden pierwiastek się skraca i zostaje wzór z ramki.

Przykład 7. Oblicz odległość punktu $P = (5, -1)$ od prostej $3x - 4y + 6 = 0$.

$d = \frac{|3 \cdot 5 - 4 \cdot (-1) + 6|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|15 + 4 + 6|}{\sqrt{25}} = \frac{25}{5} = 5.$

Tu $t = \frac{25}{25} = 1$, więc spodek prostopadłej to $H = (5 - 3,\ -1 + 4) = (2, 3)$ - jak na rysunku.

Przykład 8. Oblicz odległość punktu $P = (-1, 2)$ od prostej $y = 2x + 1$.

Krok 1. Wzór wymaga postaci ogólnej: $2x - y + 1 = 0$, czyli $A = 2$, $B = -1$, $C = 1$.

Krok 2. $d = \frac{|2 \cdot (-1) - 2 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-3|}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5} \approx 1{,}34$.

Gdy licznik wychodzi zero, punkt leży na prostej - wzór działa więc także jako test przynależności.

Odległość prostych równoległych

Dwie proste równoległe zapisujemy z tymi samymi $A$ i $B$. Wtedy odległość między nimi to

$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

(Wystarczy wziąć dowolny punkt jednej prostej i policzyć jego odległość od drugiej.)

Przykład 9. Oblicz odległość prostych $3x - 4y + 6 = 0$ i $3x - 4y - 19 = 0$.

$d = \frac{|6 - (-19)|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{25}{5} = 5.$

Druga prosta przechodzi przez $P = (5, -1)$ z przykładu 7, więc wynik się zgadza.

Przykład 10 - pułapka. Odległość prostych $3x - 4y + 6 = 0$ i $6x - 8y + 1 = 0$. Współczynniki nie są równe, więc najpierw dzielimy drugie równanie przez $2$: $3x - 4y + \frac{1}{2} = 0$. Teraz $d = \frac{\left|6 - \frac{1}{2}\right|}{5} = \frac{11}{10} = 1{,}1$. Bez tego kroku wyszłoby błędnie $\frac{5}{5} = 1$.

Zastosowanie: wysokość i pole trójkąta

Przykład 11. Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach $A = (-2, 0)$, $B = (2, 3)$, $C = (5, -1)$.

Krok 1. Prosta $AB$. $(y - 0) \cdot 4 = 3(x + 2)$, czyli $3x - 4y + 6 = 0$.

Krok 2. Podstawa. $|AB| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Krok 3. Wysokość to odległość $C$ od prostej $AB$ - policzyliśmy ją w przykładzie 7: $h = 5$.

Odpowiedź: $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12{,}5$.

Tak samo w kolejnych lekcjach sprawdzimy, czy prosta jest styczna do okręgu: wystarczy porównać odległość środka okręgu od prostej z promieniem - zobacz równanie okręgu.

Typowe błędy

• Wzór na odległość dla postaci kierunkowej. Najpierw wszystko na jedną stronę: $y = 2x + 1$ to $2x - y + 1 = 0$, a nie $A = 2$, $B = 1$.
• Zgubiona wartość bezwzględna - odległość nie może być ujemna.
• Odległość prostych równoległych przy różnych $A$ i $B$ - najpierw sprowadzamy równania do tych samych współczynników przy $x$ i $y$.
• Prostopadła „z tymi samymi $A$ i $B$” - to daje prostą równoległą. Dla prostopadłej zamieniamy $A$ i $B$ miejscami i zmieniamy jeden znak.
• Dzielenie tylko części wyrazów przy przejściu do postaci kierunkowej: dzielimy każdy wyraz.

Najczęstsze pytania

Jak zamienić równanie ogólne na kierunkowe? Wyznacz $y$: przenieś wyrazy z $x$ i wyraz wolny na drugą stronę i podziel przez $B$. Na przykład $3x - 4y + 8 = 0$ daje $y = \frac{3}{4}x + 2$. Jeśli $B = 0$, prosta jest pionowa i postaci kierunkowej nie ma.

Jak obliczyć odległość punktu od prostej? Zapisz prostą w postaci $Ax + By + C = 0$, podstaw współrzędne punktu do lewej strony, weź wartość bezwzględną i podziel przez $\sqrt{A^2 + B^2}$.

Kiedy proste są prostopadłe w postaci ogólnej? Gdy $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$, na przykład $2x - 3y + 1 = 0$ i $3x + 2y - 7 = 0$. Warunek działa też dla prostych pionowych i poziomych.

Kiedy proste są równoległe w postaci ogólnej? Gdy $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$, czyli współczynniki przy $x$ i $y$ są proporcjonalne. Jeśli proporcjonalne są także wyrazy wolne, proste się pokrywają.

Jak obliczyć odległość między prostymi równoległymi? Sprowadź oba równania do tych samych $A$ i $B$, a potem podziel $|C_1 - C_2|$ przez $\sqrt{A^2 + B^2}$. Można też wybrać punkt na jednej prostej i policzyć jego odległość od drugiej.

Czy każdą prostą można zapisać w postaci ogólnej? Tak - to jej główna zaleta. Prosta pionowa $x = 3$ ma postać ogólną $x - 3 = 0$, a w postaci kierunkowej zapisać się jej nie da.

Przećwicz

• Równanie prostej → - zamiana postaci, prosta pionowa, punkt przecięcia, odległość punktu od prostej i prostych równoległych.
• Figury w układzie współrzędnych → - wysokość trójkąta jako odległość wierzchołka od prostej.
• Prosta i okrąg → - odległość środka okręgu od prostej w praktyce.

Podsumowanie

• $Ax + By + C = 0$ ($A$ i $B$ nie oba zerami) opisuje każdą prostą, także pionową ($B = 0$).
• Gdy $B \ne 0$: $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$; z kierunkowej do ogólnej - wszystko na jedną stronę.
• Wektor $[A, B]$ jest prostopadły do prostej; stąd warunki: równoległe $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$, prostopadłe $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$.
• Odległość punktu od prostej: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$.
• Odległość prostych równoległych: $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ - przy tych samych $A$ i $B$.