Równanie prostej - przez dwa punkty, równoległe, prostopadłe

Q: Jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty?

Oblicz współczynnik kierunkowy a = y_B - y_A/x_B - x_A, a potem podstaw jeden z punktów do y - y_A = a(x - x_A).

Q: Kiedy proste są prostopadłe?

Gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1. W postaci ogólnej: A_1A_2 + B_1B_2 = 0.

Q: Kiedy proste są równoległe?

Gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy a. Jeśli dodatkowo mają to samo b, to jest to ta sama prosta.

Q: Jaki jest wzór na odległość punktu od prostej?

d = frac|Ax_0 + By_0 + C|√A² + B² dla prostej zapisanej w postaci ogólnej.

Q: Czym różni się postać ogólna od kierunkowej?

Postać kierunkowa y = ax + b pokazuje nachylenie wprost, ale nie opisuje prostych pionowych. Postać ogólna Ax + By + C = 0 opisuje każdą prostą na płaszczyźnie.

Równanie prostej - wzory

$y = ax + b \qquad Ax + By + C = 0 \qquad (y - y_A)(x_B - x_A) = (y_B - y_A)(x - x_A)$

$\text{równoległe: } a_1 = a_2 \qquad \text{prostopadłe: } a_1 \cdot a_2 = -1 \quad (A_1A_2 + B_1B_2 = 0)$

$d(P, l) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Równanie prostej w układzie współrzędnych ma postać kierunkową $y = ax + b$ (gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ - punkt przecięcia z osią $OY$ ) albo ogólną $Ax + By + C = 0$ , w której $A$ i $B$ nie są jednocześnie zerami. Postać ogólna opisuje każdą prostą - także pionową, np. $x = 3$ , której nie da się zapisać w postaci kierunkowej.

Postać kierunkowa i ogólna

W postaci $y = ax + b$ współczynnik $a$ mówi, o ile rośnie $y$ , gdy $x$ rośnie o $1$ - to tangens kąta nachylenia prostej do osi $OX$ . Szczegółowo omawia to lekcja współczynnik kierunkowy funkcji liniowej.

Z postaci ogólnej przejdziemy do kierunkowej, wyznaczając $y$ (gdy $B \ne 0$ ): $y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$ . Na przykład $3x - y - 1 = 0$ to $y = 3x - 1$ .

Prosta przez dwa punkty

Przez dwa różne punkty $A$ i $B$ przechodzi dokładnie jedna prosta. Jej współczynnik kierunkowy to $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ (dla $x_A \ne x_B$ ), a równanie:

$(y - y_A)(x_B - x_A) = (y_B - y_A)(x - x_A).$

Przykład. Prosta przez $A = (1, 2)$ i $B = (3, 8)$ : $a = \frac{8 - 2}{3 - 1} = 3$ , więc $y - 2 = 3(x - 1)$ , czyli $y = 3x - 1$ . Sprawdzenie: dla $x = 3$ wychodzi $y = 8$ .

Proste równoległe i prostopadłe

Dla prostych $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ :

równoległe - gdy $a_1 = a_2$ (ten sam kąt nachylenia);
prostopadłe - gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$ , czyli $a_2 = -\frac{1}{a_1}$ .

W postaci ogólnej $A_1x + B_1y + C_1 = 0$ i $A_2x + B_2y + C_2 = 0$ proste są prostopadłe, gdy $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ - ten warunek obejmuje też proste pionowe i poziome.

Przykład. Prosta prostopadła do $y = 3x - 1$ przechodząca przez $P = (3, 1)$ ma współczynnik $-\frac{1}{3}$ : $y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 3)$ , czyli $y = -\frac{1}{3}x + 2$ (w postaci ogólnej $x + 3y - 6 = 0$ ). Kontrola warunku ogólnego: $3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 = 0$ .

Punkt przecięcia dwóch prostych

Punkt przecięcia to rozwiązanie układu równań obu prostych. Dla $y = 3x - 1$ i $y = -\frac{1}{3}x + 2$ : $3x - 1 = -\frac{1}{3}x + 2$ , więc $\frac{10}{3}x = 3$ , $x = \frac{9}{10}$ , $y = \frac{17}{10}$ . Proste równoległe (i różne) nie mają punktu wspólnego - układ jest sprzeczny.

Odległość punktu od prostej

Odległość punktu $P = (x_0, y_0)$ od prostej $Ax + By + C = 0$ :

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

Przykład. Odległość $P = (3, 1)$ od prostej $3x - y - 1 = 0$ : $d = \frac{|9 - 1 - 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{7}{\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{10} \approx 2{,}21$ .

Wzór przydaje się też do wysokości trójkąta ze współrzędnych i do sprawdzania, czy prosta jest styczna do okręgu - zob. równanie okręgu.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć równanie prostej przez dwa punkty? Oblicz współczynnik kierunkowy $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , a potem podstaw jeden z punktów do $y - y_A = a(x - x_A)$ .

Kiedy proste są prostopadłe? Gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$ . W postaci ogólnej: $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ .

Kiedy proste są równoległe? Gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy $a$ . Jeśli dodatkowo mają to samo $b$ , to jest to ta sama prosta.

Jaki jest wzór na odległość punktu od prostej? $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ dla prostej zapisanej w postaci ogólnej.

Czym różni się postać ogólna od kierunkowej? Postać kierunkowa $y = ax + b$ pokazuje nachylenie wprost, ale nie opisuje prostych pionowych. Postać ogólna $Ax + By + C = 0$ opisuje każdą prostą na płaszczyźnie.

Przećwicz

Równanie prostej → - postać ogólna, prosta pionowa, proste równoległe i prostopadłe, punkt przecięcia, odległość punktu od prostej i odległość prostych równoległych.
Figury w układzie współrzędnych → - wysokość trójkąta jako odległość od prostej, symetralna odcinka.
Funkcja liniowa → - postać kierunkowa: wzór z dwóch punktów, proste równoległe i prostopadłe.

Cały zestaw: Geometria analityczna - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Postać kierunkowa $y = ax + b$ , ogólna $Ax + By + C = 0$ .
Przez dwa punkty: $a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$ , potem $y - y_A = a(x - x_A)$ .
Równoległe: $a_1 = a_2$ ; prostopadłe: $a_1 a_2 = -1$ lub $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ .
Odległość punktu od prostej: $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ .
Powiązane: długość i środek odcinka.