Wzory skróconego mnożenia - skąd się biorą, wyprowadzenie krok po kroku

Klasa 1 liceum i technikum

W tej lekcji wyprowadzamy każdy wzór krok po kroku. Samo zestawienie - razem z wzorami czwartego stopnia i ogólnym $a^n - b^n$ - jest na stronie wszystkie wzory skróconego mnożenia.

Po co nam te wzory

Mnożenie wyrażeń w nawiasach bywa żmudne, a pewne iloczyny powtarzają się tak często, że warto znać ich wynik „na skróty”. Wzory skróconego mnożenia to właśnie gotowe wyniki takich mnożeń. Działają w dwie strony: pozwalają szybko wymnożyć nawias, a czytane od prawej do lewej - rozłożyć wyrażenie na czynniki.

Każdy z tych wzorów można samodzielnie wyprowadzić, mnożąc nawiasy „każdy składnik przez każdy”. Zróbmy to po kolei - dzięki temu nie trzeba ich wkuwać na pamięć.

Kwadrat sumy

Zapis $(a+b)^2$ oznacza $(a+b)(a+b)$. Mnożymy każdy składnik pierwszego nawiasu przez każdy składnik drugiego:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = a^2 + ab + ab + b^2.$

Wyrazy $ab$ oraz $ba$ to to samo (mnożenie jest przemienne), więc po ich dodaniu otrzymujemy $2ab$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Słownie: kwadrat sumy to kwadrat pierwszego wyrazu, plus podwojony iloczyn obu wyrazów, plus kwadrat drugiego. Ten sam wynik widać na rysunku - kwadrat o boku $a+b$ dzieli się na cztery części:

Przykład. $(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.$

Kwadrat różnicy

Postępujemy tak samo, pamiętając o znakach:

$(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2.$

Przykład. $(2x - 5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25.$

Różnica kwadratów

Pomnóżmy sumę przez różnicę tych samych wyrazów:

$(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2.$

Środkowe wyrazy $+ab$ i $-ab$ znoszą się. Czytając wzór od prawej do lewej, dostajemy bardzo przydatny rozkład na czynniki:

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).$

Przykład. $49 - x^2 = 7^2 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$. Działa też w rachunkach: $103 \cdot 97 = (100 + 3)(100 - 3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991.$

Sześcian sumy

Najwygodniej skorzystać z policzonego już kwadratu sumy:

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2).$

Mnożymy każdy składnik przez każdy:

$(a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3.$

Po redukcji wyrazów podobnych ($2a^2b + a^2b = 3a^2b$ oraz $ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$):

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.$

Sześcian różnicy

Analogicznie, mnożąc $(a-b)(a-b)^2 = (a-b)(a^2 - 2ab + b^2)$, otrzymujemy wzór ze znakami naprzemiennymi:

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

Suma i różnica sześcianów

Te dwa wzory służą przede wszystkim do rozkładania na czynniki:

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2), \qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2).$

Sprawdźmy pierwszy z nich, wymnażając prawą stronę:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3.$

Wszystkie wyrazy poza $a^3$ i $b^3$ się znoszą - zgadza się. Drugi wzór sprawdza się tak samo.

Uwaga. W nawiasie przy sumie i różnicy sześcianów występuje pojedynczy iloczyn $ab$ (a nie podwojony $2ab$, jak w kwadracie sumy). To częste źródło pomyłek.

Zastosowania

• Szybkie potęgowanie liczb: $102^2 = (100 + 2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404.$
• Rozkład na czynniki: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$ oraz $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4).$

Najczęstsze pytania

Czy $(a+b)^2 = a^2 + b^2$? Nie - i jest to najczęstszy błąd w całej algebrze. Brakuje środkowego wyrazu: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Łatwo to sprawdzić na liczbach: $(3+4)^2 = 49$, natomiast $3^2 + 4^2 = 25$.

Czy istnieje wzór na $a^2 + b^2$? Sumy kwadratów nie da się rozłożyć na czynniki w liczbach rzeczywistych - w odróżnieniu od różnicy kwadratów, która rozkłada się na $(a-b)(a+b)$. Sumę i różnicę można natomiast rozłożyć dla sześcianów, i to jest właśnie powód, dla którego te dwa wzory się pamięta.

Skąd wiadomo, jaki znak postawić w drugim nawiasie przy sześcianach? Znak w nawiasie dwuwyrazowym powtarza znak wzoru, a w nawiasie trójwyrazowym jest odwrotny: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$, $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Wyraz $b^2$ jest zawsze z plusem, a iloczyn $ab$ jest pojedynczy, bez dwójki.

Kiedy w praktyce sięgam po różnicę kwadratów? Przy rozkładaniu na czynniki, skracaniu ułamków algebraicznych oraz przy usuwaniu niewymierności z mianownika - mnożymy wtedy przez wyrażenie sprzężone, żeby pierwiastki zniknęły: $(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2) = 5 - 4 = 1$.

Czy trzeba znać te wzory na pamięć? Warto, bo oszczędzają czas na sprawdzianie i maturze, ale każdy z nich wyprowadzisz w kilka sekund, mnożąc nawiasy „każdy przez każdy”. Pamięć jest wygodą, nie warunkiem.

Przećwicz

Najczęstsze zastosowanie tych wzorów to rozkładanie wyrażeń na czynniki - czytamy wzór od prawej do lewej. Zobaczmy pełny przykład krok po kroku.

Zadanie. Rozłóż na czynniki wyrażenie $36x^2 - 25$.

Krok 1. Oba składniki są kwadratami, a między nimi stoi minus - to różnica kwadratów $a^2 - b^2$. Zapisujemy wyrazy jako kwadraty: $36x^2 = (6x)^2$ oraz $25 = 5^2$, więc $a = 6x$, $b = 5$.

Krok 2. Stosujemy wzór $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$36x^2 - 25 = (6x)^2 - 5^2 = (6x - 5)(6x + 5).$

Odpowiedź. $36x^2 - 25 = (6x - 5)(6x + 5).$

Chcesz więcej? Zadania z rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Obliczanie wartości ze wzorów → - kwadraty liczb i iloczyny w pamięci (np. $98^2$, $52 \cdot 48$).
• Mnożenie wyrażeń ze wzorów → - wymnażanie nawiasów (np. $(2x-3)^2$, $(x-2)^3$).
• Rozkład na czynniki → - różnica kwadratów, pełny kwadrat, suma i różnica sześcianów.
• Potęgi wyrażeń z pierwiastkami → - kwadraty wyrażeń z pierwiastkami (np. $(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2$).
• Usuwanie niewymierności z mianownika → - mnożenie przez sprzężenie.
• Równania ze wzorów → - równania, w których wzory upraszczają obliczenia.
• Nierówności ze wzorów → - nierówności upraszczane wzorami (też przypadki bez rozwiązań).
• Upraszczanie wyrażeń → - redukcja po wymnożeniu nawiasów (np. $(x+1)^3 - (x-1)^3$).
• Liczba odwrotna w postaci $a + b\sqrt{c}$ → - odwrotność wyrażenia z pierwiastkiem.
• Zależności między $a^2+b^2$, $ab$ → - obliczanie $(a\pm b)^2$ i $|a\pm b|$ bez wyznaczania $a$, $b$.
• Dowodzenie, że liczba jest całkowita → - wzory „zjadają” pierwiastki.

Albo zobacz wszystkie zadania ze wzorów skróconego mnożenia →.