Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej - własności

Klasa 2 liceum i technikum

Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej to funkcje, które liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowują sinus, cosinus, tangens albo cotangens kąta o mierze łukowej $x$ radianów. Sinus i cosinus są określone dla każdej liczby rzeczywistej, tangens - dla $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$, a cotangens - dla $x \ne k\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą.

Od kąta do liczby rzeczywistej

W lekcji o funkcjach trygonometrycznych dowolnego kąta sinus i cosinus były współrzędnymi punktu na ramieniu końcowym kąta. Po lekcji o mierze łukowej wiemy już, że kąt możemy zmierzyć liczbą - radianami. Łączymy te dwa kroki.

Rysujemy okrąg jednostkowy - okrąg o środku w punkcie $(0, 0)$ i promieniu $1$. Dla liczby $x$ odmierzamy od punktu $(1, 0)$ łuk długości $|x|$: dla $x > 0$ przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, dla $x < 0$ - zgodnie z nim. Koniec łuku to punkt $P$. Ponieważ promień wynosi $1$, długość łuku jest równa mierze łukowej kąta, a współrzędne punktu $P$ to właśnie cosinus i sinus:

$P = (\cos x,\ \sin x).$

Tangens i cotangens liczymy jak dotąd - jako ilorazy:

$\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x}.$

Nic się nie zmieniło w samych wartościach - $\sin \frac{\pi}{6}$ to dokładnie to samo co $\sin 30^\circ$. Zmienia się sposób myślenia: $x$ jest teraz zwykłą liczbą, więc możemy mówić o dziedzinie, zbiorze wartości, wykresie i własnościach tak samo jak przy funkcji liniowej czy kwadratowej. Uwaga na pułapkę: $\sin 1$ to sinus kąta $1$ radiana (około $57{,}3^\circ$), czyli $\sin 1 \approx 0{,}841$, a nie $\sin 1^\circ \approx 0{,}017$.

Wartości dla najważniejszych argumentów

Wartości dla $\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{\pi}{3}$ znamy z trygonometrii kąta ostrego (to kąty $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$). Wartości dla wielokrotności $\frac{\pi}{2}$ odczytujemy wprost z okręgu: dla $x = \pi$ punkt $P$ to $(-1, 0)$, więc $\cos \pi = -1$ i $\sin \pi = 0$.

Pozostałe wartości (np. dla $\frac{2\pi}{3}$ czy $\frac{7\pi}{6}$) dają wzory redukcyjne, a całość zebrana jest w tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

Dziedzina i zbiór wartości

Sinus i cosinus są określone dla każdej liczby rzeczywistej - każdy łuk ma koniec. Punkt $P$ leży na okręgu o promieniu $1$, więc jego współrzędne nie wychodzą poza przedział $\langle -1;\ 1\rangle$:

$-1 \le \sin x \le 1, \qquad -1 \le \cos x \le 1.$

Tangens wymaga $\cos x \ne 0$. Cosinus jest zerem, gdy $P$ leży na osi $OY$, czyli dla $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$, $x = -\frac{\pi}{2}$ itd. - co $\pi$. Stąd

$D_{\operatorname{tg}} = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi : k \in \mathbb{Z} \right\}.$

Cotangens wymaga $\sin x \ne 0$, czyli $P$ nie może leżeć na osi $OX$:

$D_{\operatorname{ctg}} = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi : k \in \mathbb{Z} \}.$

Tangens i cotangens przyjmują wszystkie wartości rzeczywiste - ich zbiorem wartości jest $\mathbb{R}$. Symbol $\mathbb{Z}$ oznacza zbiór liczb całkowitych (w starszych podręcznikach i tablicach spotkasz zapis $k \in C$).

Okresowość - definicja i okres podstawowy

Po pełnym obrocie, czyli po dodaniu $2\pi$, punkt $P$ wraca na swoje miejsce. Dlatego wartości sinusa i cosinusa powtarzają się co $2\pi$. Taką własność nazywamy okresowością.

Funkcję $f$ nazywamy okresową, jeśli istnieje liczba $T \ne 0$ taka, że dla każdego $x$ z dziedziny liczba $x + T$ też należy do dziedziny i $f(x + T) = f(x).$ Liczbę $T$ nazywamy okresem funkcji. Najmniejszy dodatni okres (o ile istnieje) to okres podstawowy.

Jeśli $T$ jest okresem, to $2T$, $3T$, $-T$ też nimi są - dlatego mówimy o okresie podstawowym.

• Sinus i cosinus mają okres podstawowy $2\pi$. Mniejszego nie ma: $\sin x = 1$ tylko dla $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, więc kolejne „jedynki” dzieli właśnie $2\pi$.
• Tangens i cotangens mają okres podstawowy $\pi$. Dodanie $\pi$ przenosi punkt $P$ na przeciwną stronę okręgu, więc obie współrzędne zmieniają znak, a ich iloraz - nie:

$\operatorname{tg}(x + \pi) = \frac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \operatorname{tg} x.$

Do czego to służy. Duży argument zmniejszamy, odejmując wielokrotność okresu.

Przykład 1. Oblicz $\sin \frac{13\pi}{6}$, $\cos \frac{17\pi}{3}$ i $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{4}$.

Krok 1. $\frac{13\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi$, więc $\sin \frac{13\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.

Krok 2. $\frac{17\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 4\pi = -\frac{\pi}{3} + 6\pi$, więc $\cos \frac{17\pi}{3} = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ (cosinus jest parzysty - o tym niżej).

Krok 3. Tangens ma okres $\pi$: $\frac{7\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi$, więc $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} = \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = -1$.

Odpowiedź: $\sin \frac{13\pi}{6} = \frac{1}{2}$, $\cos \frac{17\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\operatorname{tg} \frac{7\pi}{4} = -1$.

Parzystość i nieparzystość

Kąty $x$ i $-x$ odmierzamy od punktu $(1, 0)$ w przeciwne strony, więc ich punkty na okręgu są symetryczne względem osi $OX$: pierwsza współrzędna zostaje, druga zmienia znak (dokładnie jak w symetrii względem osi OX).

Stąd od razu:

• $\cos(-x) = \cos x$ - cosinus jest funkcją parzystą (wykres symetryczny względem osi $OY$);
• $\sin(-x) = -\sin x$ - sinus jest funkcją nieparzystą (wykres symetryczny względem punktu $(0, 0)$);
• $\operatorname{tg}(-x) = \frac{-\sin x}{\cos x} = -\operatorname{tg} x$ oraz $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg} x$ - tangens i cotangens są nieparzyste.

Przykład 2. Zbadaj parzystość funkcji $f(x) = x \sin x$ oraz $g(x) = \sin x + \cos x$.

Krok 1. $f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \sin x = f(x)$. Dziedzina $\mathbb{R}$ jest symetryczna, więc $f$ jest parzysta.

Krok 2. Dla $g$ wystarczy jeden kontrprzykład: $g\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$, a $g\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Skoro $0 \ne \sqrt{2}$, funkcja nie jest parzysta, a skoro $0 \ne -\sqrt{2}$ - nie jest też nieparzysta.

Odpowiedź: $f$ jest parzysta, $g$ nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Miejsca zerowe

• $\sin x = 0$, gdy $P$ leży na osi $OX$: $x = k\pi$ (np. $0$, $\pi$, $2\pi$, $-\pi$).
• $\cos x = 0$, gdy $P$ leży na osi $OY$: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
• Tangens ma te same miejsca zerowe co sinus ($x = k\pi$), a cotangens - te same co cosinus ($x = \frac{\pi}{2} + k\pi$).

W przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$ sinus ma trzy miejsca zerowe: $0$, $\pi$, $2\pi$, a cosinus dwa: $\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$.

Własności czterech funkcji - zestawienie

We wszystkich wierszach $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Przykład 3 - dziedzina i zbiór wartości

Zadanie. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \frac{1}{\sin x}$ oraz zbiór wartości funkcji $g(x) = 3\sin x - 1$.

Krok 1. Mianownik nie może być zerem: $\sin x \ne 0$, czyli $x \ne k\pi$. Dziedzina: $\mathbb{R} \setminus \{ k\pi : k \in \mathbb{Z} \}$ - taka sama jak cotangensa.

Krok 2. Zaczynamy od pewnej nierówności i wykonujemy na niej te same działania co we wzorze funkcji:

$-1 \le \sin x \le 1 \quad \Big/ \cdot 3 \qquad -3 \le 3\sin x \le 3 \quad \Big/ -1 \qquad -4 \le 3\sin x - 1 \le 2.$

Obie skrajne wartości są osiągane: $g\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -4$ i $g\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2$.

Odpowiedź: $D_f = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi : k \in \mathbb{Z} \}$, zbiór wartości $g$ to $\langle -4;\ 2\rangle$.

Przykład 4. Wyznacz dziedzinę funkcji $h(x) = \operatorname{tg} 2x$.

Argument tangensa nie może być postaci $\frac{\pi}{2} + k\pi$:

$2x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \Longleftrightarrow \quad x \ne \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}.$

Odpowiedź: $D_h = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} : k \in \mathbb{Z} \right\}$.

Jak te własności wyglądają na rysunku - sinusoida, tangensoida, asymptoty - pokazuje następna lekcja o wykresach funkcji trygonometrycznych. Krótkie zestawienie wzorów (także na sumy i wielokrotności argumentu) jest na stronie funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej.

Najczęstsze pytania

Jaki jest okres funkcji sinus? Okres podstawowy funkcji sinus wynosi $2\pi$: $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ dla każdego $x$. Okresem jest też każda wielokrotność $2k\pi$ (dla $k \ne 0$), ale najmniejszym dodatnim jest $2\pi$.

Jaki jest okres funkcji tangens? Okres podstawowy tangensa (i cotangensa) to $\pi$, bo $\operatorname{tg}(x + \pi) = \operatorname{tg} x$.

Czy cosinus jest funkcją parzystą? Tak. $\cos(-x) = \cos x$ dla każdego $x$, bo punkty kątów $x$ i $-x$ na okręgu jednostkowym mają tę samą pierwszą współrzędną. Wykres cosinusa jest symetryczny względem osi $OY$.

Czy sinus jest funkcją parzystą czy nieparzystą? Nieparzystą: $\sin(-x) = -\sin x$. Nieparzyste są też tangens i cotangens; jedyną parzystą z czterech podstawowych funkcji trygonometrycznych jest cosinus.

Jaka jest dziedzina funkcji tangens? Wszystkie liczby rzeczywiste poza $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą - w tych punktach $\cos x = 0$ i iloraz $\frac{\sin x}{\cos x}$ nie istnieje.

Jaka jest dziedzina funkcji cotangens? Wszystkie liczby rzeczywiste poza $x = k\pi$ - tam $\sin x = 0$.

Jaki jest zbiór wartości funkcji sinus i cosinus? Przedział $\langle -1;\ 1\rangle$. Tangens i cotangens przyjmują wszystkie wartości rzeczywiste.

Ile wynosi sin 1? Około $0{,}841$. Argument $1$ to $1$ radian (około $57{,}3^\circ$), nie $1^\circ$. Na kalkulatorze ustaw tryb RAD; w trybie DEG dostaniesz $\sin 1^\circ \approx 0{,}017$.

Czym się różni funkcja trygonometryczna kąta od funkcji zmiennej rzeczywistej? Wartości są te same, zmienia się argument: zamiast kąta w stopniach mamy liczbę rzeczywistą (miarę łukową). Dzięki temu sinus staje się zwykłą funkcją $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ z wykresem, okresem i parzystością.

Przećwicz

• Trygonometria - zadania z rozwiązaniami → - wartości funkcji, kąty szczególne i związki między funkcjami.

Podsumowanie

• Liczbie $x$ odpowiada punkt $P = (\cos x,\ \sin x)$ na okręgu jednostkowym, odległy od $(1, 0)$ o łuk długości $|x|$.
• $\sin$ i $\cos$: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $\langle -1;\ 1\rangle$, okres $2\pi$.
• $\operatorname{tg}$: dziedzina $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$; $\operatorname{ctg}$: $x \ne k\pi$; obie mają zbiór wartości $\mathbb{R}$ i okres $\pi$.
• Funkcja okresowa: $f(x + T) = f(x)$ dla każdego $x$ z dziedziny; najmniejszy dodatni $T$ to okres podstawowy.
• Cosinus jest parzysty, sinus, tangens i cotangens - nieparzyste.
• Miejsca zerowe: $\sin$ i $\operatorname{tg}$ - $x = k\pi$; $\cos$ i $\operatorname{ctg}$ - $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
• Duży argument zmniejszamy, odejmując wielokrotność okresu.