Twierdzenie cosinusów w zadaniach - boki i kąty trójkąta

Klasa 2 liceum i technikum

Twierdzenie cosinusów mówi, że w każdym trójkącie kwadrat boku jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$. Stosujemy je, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi (liczymy trzeci bok) albo trzy boki (liczymy kąty).

W tej lekcji ćwiczymy oba zastosowania, uczymy się liczyć cosinus kąta rozwartego i rozpoznawać rodzaj trójkąta bez liczenia kątów. Dwa dowody i historię twierdzenia (zwanego w Polsce też twierdzeniem Carnota) znajdziesz w haśle twierdzenie cosinusów - wzór i dowód.

Jak brzmi twierdzenie cosinusów

Wzór $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ łatwo zapamiętać jako Pitagorasa z poprawką. Pierwsze dwa składniki to dokładnie twierdzenie Pitagorasa, a składnik $-2ab\cos\gamma$ poprawia wynik, gdy kąt $\gamma$ nie jest prosty.

Najważniejsza zasada przy podstawianiu: kąt we wzorze leży między dwoma bokami, które stoją w iloczynie, i naprzeciw boku, który stoi po lewej stronie. Wzór można napisać dla każdego z trzech boków - wybierasz wersję, w której jedyną niewiadomą jest to, czego szukasz.

Skąd się bierze? Wysokość opuszczona na bok $b$ dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne; w obu piszemy twierdzenie Pitagorasa, a jedynka trygonometryczna $\sin^2\gamma + \cos^2\gamma = 1$ skleja wynik w jeden wzór. Pełny rachunek jest w haśle z dowodami, a jedynkę przypomina lekcja tożsamości trygonometryczne.

Związek z Pitagorasem i cosinus kąta rozwartego

Znak poprawki zależy od znaku cosinusa. Dla kąta ostrego cosinus jest dodatni i bok $c$ wychodzi krótszy niż w trójkącie prostokątnym; dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, a bok $c$ - dłuższy. Cosinus kąta rozwartego liczymy ze wzoru

$\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha,$

czyli bierzemy cosinus kąta przyległego ze znakiem minus (szczegóły w lekcji funkcje trygonometryczne dowolnego kąta).

Przykład 1 - trzeci bok z dwóch boków i kąta między nimi

Zadanie. W trójkącie $ABC$ boki $a = 5$ i $b = 3$ tworzą kąt $\gamma = 120^\circ$. Oblicz bok $c$.

Krok 1. Sprawdzamy dane. Kąt $120^\circ$ leży między bokami $5$ i $3$ - pasuje do wzoru na $c^2$.

Krok 2. Cosinus kąta rozwartego. $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\frac{1}{2}$.

Krok 3. Podstawiamy.

$c^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 25 + 9 + 15 = 49.$

Minus razy minus daje plus - przy kącie rozwartym poprawka dodaje się do sumy kwadratów.

Odpowiedź. $c = 7$.

Przykład 2 - kąty z trzech boków

Zadanie. Trójkąt ma boki $3$, $5$ i $6$. Oblicz jego kąty i ustal, czy jest ostrokątny.

Krok 1. Największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku $6$. Przekształcamy wzór:

$\cos\gamma = \frac{3^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{9 + 25 - 36}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15} \approx -0{,}067.$

Cosinus jest ujemny, więc kąt jest rozwarty: $\gamma \approx 93{,}82^\circ$. Trójkąt na oko wygląda na prostokątny, a jest rozwartokątny - rachunek rozstrzyga.

Krok 2. Kąt naprzeciw boku $3$:

$\cos\alpha = \frac{5^2 + 6^2 - 3^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \frac{52}{60} \approx 0{,}867, \qquad \alpha \approx 29{,}93^\circ.$

Krok 3. Trzeci kąt z sumy: $\beta \approx 180^\circ - 93{,}82^\circ - 29{,}93^\circ = 56{,}25^\circ$. Kontrola wzorem: $\cos\beta = \frac{9 + 36 - 25}{36} = \frac{20}{36} \approx 0{,}556$, czyli $\beta \approx 56{,}25^\circ$. Zgadza się.

Odpowiedź. $\alpha \approx 29{,}93^\circ$, $\beta \approx 56{,}25^\circ$, $\gamma \approx 93{,}82^\circ$ - trójkąt jest rozwartokątny, nie ostrokątny.

Przy trzech bokach cosinus ma jedną zaletę nad sinusem: kąt z $\cos\gamma$ jest wyznaczony jednoznacznie (ujemny cosinus to kąt rozwarty, dodatni - ostry). Nie ma pułapki z dwoma kandydatami, która pojawia się w twierdzeniu sinusów. Cały tok obliczeń dla trzech boków - z polem, promieniami i wysokościami - pokazuje lekcja rozwiązywanie trójkąta z trzech boków.

Ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny? Test z boków

Z wzoru $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ widać, że znak cosinusa zależy tylko od licznika. Wystarczy więc porównać kwadrat najdłuższego boku $c$ z sumą kwadratów dwóch pozostałych:

• $c^2 < a^2 + b^2$ - trójkąt ostrokątny,
• $c^2 = a^2 + b^2$ - trójkąt prostokątny,
• $c^2 > a^2 + b^2$ - trójkąt rozwartokątny.

Test robimy tylko dla najdłuższego boku. W trójkącie może być najwyżej jeden kąt prosty lub rozwarty i leży on naprzeciw najdłuższego boku - pozostałe dwa kąty są zawsze ostre. Zanim zaczniesz, sprawdź jeszcze nierówność trójkąta - z boków $2$, $3$, $6$ trójkąta w ogóle nie zbudujesz.

Przykład 3 - przekątne równoległoboku

Zadanie. Równoległobok ma boki $4$ i $6$ oraz kąt ostry $60^\circ$. Oblicz długości obu przekątnych.

Krok 1. Krótsza przekątna leży naprzeciw kąta ostrego $60^\circ$ (w trójkącie złożonym z dwóch boków i tej przekątnej):

$d_1^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos 60^\circ = 16 + 36 - 24 = 28, \qquad d_1 = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29.$

Krok 2. Dłuższa przekątna leży naprzeciw kąta rozwartego $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ (sąsiednie kąty równoległoboku sumują się do $180^\circ$):

$d_2^2 = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 52 + 24 = 76, \qquad d_2 = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72.$

Kontrola. Suma kwadratów przekątnych równoległoboku to $2(a^2 + b^2)$: $28 + 76 = 104 = 2(16 + 36)$. Zgadza się.

Odpowiedź. $d_1 = 2\sqrt{7} \approx 5{,}29$, $d_2 = 2\sqrt{19} \approx 8{,}72$.

Więcej o własnościach równoległoboku: czworokąty.

Typowe błędy

• Kąt nie między bokami. We wzorze $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$ kąt $\gamma$ musi leżeć między $a$ i $b$. Jeśli znasz kąt naprzeciw jednego z danych boków, to sytuacja dla twierdzenia sinusów (albo równanie kwadratowe z twierdzenia cosinusów).
• Zgubiony znak przy kącie rozwartym. $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, więc $-2ab\cos 120^\circ = +ab$. Wynik $c^2 = 25 + 9 - 15 = 19$ w przykładzie 1 to klasyczny błąd.
• Złe nawiasy. Wzór to $a^2 + b^2 - (2ab\cos\gamma)$, a nie $(a^2 + b^2 - 2ab)\cos\gamma$.
• Zapomniany pierwiastek. Wzór daje $c^2$ - na końcu trzeba wyciągnąć pierwiastek.
• Test rodzaju trójkąta na złym boku. Porównuj kwadrat najdłuższego boku, inaczej każdy trójkąt wyjdzie „ostrokątny”.

Najczęstsze pytania

Jak brzmi twierdzenie cosinusów?

Kwadrat boku trójkąta jest równy sumie kwadratów dwóch pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$.

Kiedy stosować twierdzenie cosinusów?

Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi (szukasz trzeciego boku) albo wszystkie trzy boki (szukasz kątów). W pozostałych przypadkach zwykle wygodniejsze jest twierdzenie sinusów.

Jak obliczyć kąt trójkąta, znając trzy boki?

Przekształć wzór: $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, gdzie $c$ to bok naprzeciw szukanego kąta. Kąt odczytaj z tablic albo kalkulatorem (funkcja $\cos^{-1}$). Dla boków $3$, $5$, $6$ największy kąt ma $\cos\gamma = -\frac{1}{15}$, czyli około $93{,}82^\circ$.

Ile wynosi cosinus kąta rozwartego?

Tyle, ile cosinus kąta przyległego, ale ze znakiem minus: $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$. Na przykład $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, $\cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 150^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Jak sprawdzić, czy trójkąt jest rozwartokątny, znając boki?

Porównaj kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych. Jeśli jest większy - trójkąt jest rozwartokątny (np. $3$, $5$, $6$: $36 > 34$).

Jaki jest związek twierdzenia cosinusów z twierdzeniem Pitagorasa?

Dla kąta prostego $\cos 90^\circ = 0$, więc poprawka znika i zostaje $c^2 = a^2 + b^2$. Twierdzenie Pitagorasa to szczególny przypadek twierdzenia cosinusów.

Jak obliczyć przekątną równoległoboku?

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie z dwóch boków i przekątnej. Krótsza przekątna leży naprzeciw kąta ostrego, dłuższa - naprzeciw rozwartego: dla boków $4$ i $6$ i kąta $60^\circ$ wychodzi $2\sqrt{7}$ i $2\sqrt{19}$.

Przećwicz

• Trzeci bok z twierdzenia cosinusów → - kąt ostry, prosty i rozwarty, bok z równania kwadratowego (także dwa trójkąty z tych samych danych), długość środkowej i kąt jako parametr.
• Kąt z trzech boków i rodzaj trójkąta → - kąty z cosinusa, test ostrokątny/prostokątny/rozwartokątny, sinus z jedynki i boki zależne od $x$.

Podsumowanie

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$, gdzie $\gamma$ leży między $a$ i $b$.
• Dwa boki i kąt między nimi → trzeci bok; trzy boki → kąty ze wzoru $\cos\gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
• $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos\alpha$ - przy kącie rozwartym poprawka się dodaje.
• Kąt z cosinusa jest wyznaczony jednoznacznie - bez pułapki dwóch rozwiązań.
• Rodzaj trójkąta: porównaj $c^2$ najdłuższego boku z $a^2 + b^2$.

Co dalej

• Poprzednia lekcja: twierdzenie sinusów w zadaniach.
• Następna lekcja: rozwiązywanie trójkątów - które twierdzenie przy jakich danych, zadania tekstowe.
• Trzy boki krok po kroku: rozwiązywanie trójkąta z trzech boków i wzór Herona.
• Sprawdź wynik: kalkulator trójkąta.
• Dowody i historia: twierdzenie cosinusów (Carnota) - wzór i dowody.
• Więcej zadań: twierdzenie sinusów i cosinusów - zadania z rozwiązaniami.