Szkicowanie wykresów wybranych funkcji

Klasa 2 liceum i technikum

Wykresy podstawowe - punkt wyjścia

Zanim zaczniemy przekształcać, trzeba znać kilka wykresów „z pamięci”. To one są cegiełkami wszystkich pozostałych:

• $y = x$ - prosta przechodząca przez początek układu pod kątem $45^\circ$;
• $y = x^2$ - parabola z wierzchołkiem w $(0,0)$, ramionami w górę;
• $y = |x|$ - litera V z wierzchołkiem w $(0,0)$;
• $y = \dfrac{1}{x}$ - hiperbola w pierwszej i trzeciej ćwiartce;
• $y = \sqrt{x}$ - „połowa paraboli” leżąca w prawej półpłaszczyźnie;
• $y = a^x$ - krzywa wykładnicza przechodząca przez $(0, 1)$.

Dlaczego kolejność ma znaczenie

Przekształcenia nie zawsze są przemienne. Weźmy $f(x) = x^2$ i porównajmy:

• $y = (x - 3)^2 + 2$ - najpierw przesunięcie w prawo, potem w górę: wierzchołek w $(3, 2)$;
• $y = (x - 3 + 2)^2 = (x - 1)^2$ - przesunięcie „w środku nawiasu” to zupełnie co innego.

Dlatego trzymamy się schematu z ramki: czytamy wzór od funkcji na zewnątrz. To, co jest bliżej $f$, wykonujemy wcześniej.

Przykład 1 - złożenie trzech przekształceń

Naszkicujmy wykres funkcji $y = -f(x - 2) + 1$, mając dany wykres $f$.

Krok 1. Odbicie względem osi $OX$: $y = -f(x)$ - wykres przewracamy do góry nogami.

Krok 2. Przesunięcie w prawo o 2: $y = -f(x-2)$.

Krok 3. Przesunięcie w górę o 1: $y = -f(x-2) + 1$.

Prześledźmy jeden punkt. Punkt $(-1, 3)$ z wykresu $f$:

$(-1,\ 3) \ \xrightarrow{\text{odbicie}} \ (-1,\ -3) \ \xrightarrow{+2 \text{ w prawo}} \ (1,\ -3) \ \xrightarrow{+1 \text{ w górę}} \ (1,\ -2).$

Przykład 2 - od wzoru do szkicu

Naszkicujmy wykres funkcji

$y = -2(x + 1)^2 + 3.$

Krok 1. Wykres podstawowy: $y = x^2$ - parabola o wierzchołku $(0,0)$.

Krok 2. Mnożenie przez $-2$: $y = -2x^2$ - parabola dwa razy „węższa” i odbita (ramiona w dół).

Krok 3. Przesunięcie: nawias $(x+1)$ oznacza przesunięcie o $1$ w lewo, a $+3$ - o $3$ w górę. Wierzchołek trafia w punkt $(-1, 3)$.

Wynik: parabola o wierzchołku $(-1, 3)$, ramionach w dół, węższa od podstawowej. To dokładnie postać kanoniczna funkcji kwadratowej - czyli przekształcenia, które właśnie poznaliśmy, w praktyce.

Przykład 3 - hiperbola

Naszkicujmy $y = \dfrac{1}{x - 3} + 2$.

Krok 1. Wykres podstawowy: $y = \frac{1}{x}$ - hiperbola z asymptotami: osią $OX$ i osią $OY$.

Krok 2. Nawias $(x - 3)$ przesuwa wykres o $3$ w prawo, więc asymptota pionowa przechodzi z $x = 0$ na $x = 3$.

Krok 3. Dodanie $2$ podnosi wykres o dwie jednostki, więc asymptota pozioma przechodzi z $y = 0$ na $y = 2$.

Wynik: hiperbola o asymptotach $x = 3$ oraz $y = 2$. Dziedzina to $\mathbb{R} \setminus \{3\}$, a zbiór wartości $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Asymptoty przesuwają się razem z wykresem. To najszybszy sposób na naszkicowanie przesuniętej hiperboli: najpierw rysujemy asymptoty, potem „wieszamy” na nich gałęzie.

Jak sprawdzić szkic

1. Policz kilka punktów kontrolnych ze wzoru i sprawdź, czy leżą na narysowanej krzywej.
2. Sprawdź punkt szczególny: wierzchołek paraboli, wierzchołek litery V, asymptoty hiperboli.
3. Sprawdź $f(0)$ - przecięcie z osią $OY$ policzysz jednym podstawieniem.

Najczęstsze pytania

Od czego zacząć szkicowanie? Od rozpoznania wykresu podstawowego - tego, co siedzi „w środku” wzoru. Dopiero potem czytamy przekształcenia od funkcji na zewnątrz.

Czy kolejność przesunięć ma znaczenie? Dwa przesunięcia (poziome i pionowe) można wykonać w dowolnej kolejności. Natomiast przesunięcie i rozciąganie nie są przemienne - dlatego trzymamy się schematu z ramki.

Jak nie pomylić się przy $y = f(2x - 4)$? Najpierw wyłączamy współczynnik przed nawias: $f\big(2(x - 2)\big)$. Teraz widać, że to ściśnięcie dwukrotne oraz przesunięcie o $2$ w prawo - a nie o $4$.

Czy trzeba rysować wszystkie kroki pośrednie? Na brudno warto, zwłaszcza na początku. W czystopisie wystarczy wykres końcowy, ale opisany: z zaznaczonymi punktami charakterystycznymi i asymptotami.

Skąd wiedzieć, czy szkic jest wystarczająco dokładny? Musi się zgadzać w punktach charakterystycznych (wierzchołki, przecięcia z osiami, asymptoty) oraz mieć właściwy kształt i monotoniczność. Reszta jest kwestią staranności.

Przećwicz

• Szkicowanie wykresów i odczyt rozwiązań → - złożenia przekształceń, parabole i hiperbole.

Podsumowanie

• Szkic zaczynamy od wykresu podstawowego, potem stosujemy przekształcenia w kolejności: rozciągnięcie/odbicie $\to$ przesunięcie poziome $\to$ przesunięcie pionowe.
• Przy $f(kx + m)$ najpierw wyłącz $k$ przed nawias, żeby odczytać właściwe przesunięcie.
• Asymptoty przesuwają się razem z wykresem.
• Szkic sprawdzamy punktami kontrolnymi i punktami szczególnymi.