Równania z wartością bezwzględną

Q: Skąd wiem, ile będzie przypadków?

Tyle, ile przedziałów wyznaczają miejsca zerowe wyrażeń podmodułowych. Dla jednego modułu - dwa, dla dwóch różnych - trzy.

Q: Czy końce przedziałów trzeba przypisać do konkretnego przypadku?

Tak, żeby żaden argument nie został pominięty ani policzony dwa razy. Zwykle dołącza się je do przypadku „nieujemnego", bo wtedy moduł i tak daje ten sam wynik.

Q: Czy da się uniknąć przypadków?

Czasem tak - gdy równanie ma postać |W_1| = |W_2| albo |W| = liczba. Przy niewiadomej poza modułem zwykle nie ma innej drogi.

Q: Co, jeśli w przypadku wyszła sprzeczność?

To normalne - znaczy tylko, że w tym przedziale nie ma rozwiązań. Przechodzimy do kolejnego przypadku.

Q: Czy warto rysować oś?

Bardzo. Zaznaczenie miejsc zerowych i podpisanie znaków wyrażeń w każdym przedziale sprawia, że opuszczanie modułów staje się mechaniczne.

Klasa 2 liceum i technikum

Metoda przypadków

Znajdź miejsca zerowe każdego wyrażenia pod modułem.
Podziel oś liczbową na przedziały wyznaczone przez te liczby.
W każdym przedziale opuść moduły zgodnie ze znakiem wyrażeń.
Rozwiąż powstałe równanie i sprawdź, czy rozwiązanie należy do rozważanego przedziału.
Zbierz wszystkie rozwiązania z poszczególnych przypadków.

Kiedy nie wystarczy prosty schemat

Poznane wcześniej reguły (rozbicie $|W| = r$ na dwa równania) działają, dopóki po drugiej stronie stoi liczba. Gdy niewiadoma pojawia się także poza modułem albo modułów jest kilka, potrzebna jest metoda ogólna - metoda przypadków.

Przykład 1 - niewiadoma po obu stronach

Rozwiąż $|x - 2| = 3x - 6$ .

Sposób I - warunkowy. Prawa strona musi być nieujemna (bo lewa jest), więc

$3x - 6 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 2.$

Przy tym warunku rozbijamy równanie:

$x - 2 = 3x - 6 \quad\Longrightarrow\quad -2x = -4 \quad\Longrightarrow\quad x = 2, \qquad \checkmark \ (2 \ge 2)$

$x - 2 = -(3x - 6) = -3x + 6 \quad\Longrightarrow\quad 4x = 8 \quad\Longrightarrow\quad x = 2. \qquad \checkmark$

Oba przypadki dały tę samą liczbę.

Odpowiedź. $x = 2$ .

Przykład 2 - metoda przypadków krok po kroku

Rozwiąż $|x - 1| + x = 5$ .

Krok 1. Miejsce zerowe wyrażenia podmodułowego: $x - 1 = 0$ dla $x = 1$ .

Krok 2. Przedziały: $(-\infty;\ 1)$ oraz $\langle 1;\ +\infty)$ .

Krok 3. Przypadek A: $x < 1$ . Wtedy $x - 1 < 0$ , więc $|x-1| = -(x-1) = 1 - x$ :

$1 - x + x = 5 \quad\Longrightarrow\quad 1 = 5 \quad \text{- sprzeczność, brak rozwiązań w tym przedziale}.$

Krok 4. Przypadek B: $x \ge 1$ . Wtedy $|x - 1| = x - 1$ :

$x - 1 + x = 5 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 3.$

Sprawdzamy warunek przedziału: $3 \ge 1$ - rozwiązanie jest poprawne.

Sprawdzenie w równaniu wyjściowym. $|3 - 1| + 3 = 2 + 3 = 5$ . Zgadza się.

Odpowiedź. $x = 3$ .

Przykład 3 - dwa moduły

Rozwiąż $|x + 2| + |x - 3| = 7$ .

Krok 1. Miejsca zerowe: $x = -2$ oraz $x = 3$ .

Krok 2. Trzy przedziały: $(-\infty;\ -2)$ , $\langle -2;\ 3)$ , $\langle 3;\ +\infty)$ .

Krok 3. Przypadek A: $x < -2$ . Oba wyrażenia ujemne:

$-(x+2) - (x-3) = 7 \quad\Longrightarrow\quad -2x + 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad x = -3.$

Warunek $-3 < -2$ jest spełniony, więc $x = -3$ jest rozwiązaniem.

Krok 4. Przypadek B: $-2 \le x < 3$ . Pierwsze wyrażenie nieujemne, drugie ujemne:

$(x+2) - (x-3) = 7 \quad\Longrightarrow\quad 5 = 7 \quad \text{- sprzeczność}.$

Krok 5. Przypadek C: $x \ge 3$ . Oba wyrażenia nieujemne:

$(x+2) + (x-3) = 7 \quad\Longrightarrow\quad 2x - 1 = 7 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.$

Warunek $4 \ge 3$ spełniony.

Odpowiedź. $x = -3$ lub $x = 4$ .

Interpretacja geometryczna. Szukaliśmy liczb, których łączna odległość od $-2$ i od $3$ wynosi $7$ . Ponieważ same te liczby są oddalone o $5$ , rozwiązania leżą o jedną jednostkę na zewnątrz z każdej strony - i rzeczywiście: $-3$ oraz $4$ .

Na co uważać

Zawsze sprawdzaj warunek przedziału. Rozwiązanie równania z danego przypadku liczy się tylko wtedy, gdy należy do tego przedziału.
Sprzeczność to poprawny wynik - oznacza po prostu brak rozwiązań w tym fragmencie osi.
Nie gub przypadków. Przy $n$ modułach o różnych miejscach zerowych przedziałów jest $n+1$ .
Sprawdź odpowiedź w równaniu wyjściowym - to najpewniejsza kontrola.

Najczęstsze pytania

Skąd wiem, ile będzie przypadków? Tyle, ile przedziałów wyznaczają miejsca zerowe wyrażeń podmodułowych. Dla jednego modułu - dwa, dla dwóch różnych - trzy.

Czy końce przedziałów trzeba przypisać do konkretnego przypadku? Tak, żeby żaden argument nie został pominięty ani policzony dwa razy. Zwykle dołącza się je do przypadku „nieujemnego”, bo wtedy moduł i tak daje ten sam wynik.

Czy da się uniknąć przypadków? Czasem tak - gdy równanie ma postać $|W_1| = |W_2|$ albo $|W| =$ liczba. Przy niewiadomej poza modułem zwykle nie ma innej drogi.

Co, jeśli w przypadku wyszła sprzeczność? To normalne - znaczy tylko, że w tym przedziale nie ma rozwiązań. Przechodzimy do kolejnego przypadku.

Czy warto rysować oś? Bardzo. Zaznaczenie miejsc zerowych i podpisanie znaków wyrażeń w każdym przedziale sprawia, że opuszczanie modułów staje się mechaniczne.

Przećwicz

Równania z modułem → - metoda przypadków, niewiadoma poza modułem i równania z dwoma modułami.

Podsumowanie

Metoda przypadków: miejsca zerowe $\to$ przedziały $\to$ opuszczenie modułów $\to$ rozwiązanie $\to$ sprawdzenie warunku przedziału.
Rozwiązanie liczy się tylko wtedy, gdy należy do rozważanego przedziału.
Sprzeczność w przypadku oznacza brak rozwiązań w tym przedziale, a nie błąd.
Przy dwóch modułach warto pamiętać o interpretacji „suma odległości”.