Pierwiastek arytmetyczny. Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej

Klasa 1 liceum i technikum

Pierwiastek arytmetyczny

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ (gdzie $n$ jest liczbą naturalną, $n \ge 2$) z liczby $a \ge 0$ nazywamy taką liczbę $b \ge 0$, że $b^n = a$. Zapisujemy:

$\sqrt[n]{a} = b \quad\Longleftrightarrow\quad b \ge 0 \ \text{ oraz } \ b^n = a.$

Liczbę $n$ nazywamy stopniem pierwiastka, a $a$ - liczbą podpierwiastkową. Dla stopnia $2$ piszemy po prostu $\sqrt{a}$ (pierwiastek kwadratowy). Na przykład:

$\sqrt{25} = 5, \qquad \sqrt[3]{27} = 3, \qquad \sqrt[4]{16} = 2.$

Z definicji wynika, że pierwiastek arytmetyczny jest zawsze nieujemny. Dlatego dla dowolnej liczby rzeczywistej $a$ zachodzi ważna równość:

$\sqrt{a^2} = |a|.$

Na przykład $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$.

Własności pierwiastków

Dla $a \ge 0$ i $b \ge 0$ (a w mianowniku $b > 0$) oraz naturalnych stopni:

$\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}, \qquad \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},$

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}, \qquad \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}.$

Przykład.

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4, \qquad \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}.$

Pierwiastek stopnia nieparzystego z liczby ujemnej

Pierwiastka stopnia parzystego z liczby ujemnej nie ma w zbiorze liczb rzeczywistych (np. $\sqrt{-4}$ nie istnieje), bo żadna liczba podniesiona do parzystej potęgi nie da liczby ujemnej.

Inaczej jest dla stopnia nieparzystego. Ponieważ liczba ujemna podniesiona do nieparzystej potęgi pozostaje ujemna, możemy określić:

$\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a} \quad \text{dla nieparzystego } n \text{ oraz } a > 0.$

Na przykład:

$\sqrt[3]{-8} = -2, \qquad \text{bo} \qquad (-2)^3 = -8.$

Podobnie $\sqrt[5]{-32} = -2$, ponieważ $(-2)^5 = -32$.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi $\sqrt{16}$ - $4$ czy $\pm 4$? Tylko $4$. Pierwiastek arytmetyczny z definicji jest liczbą nieujemną. Dwa rozwiązania pojawiają się dopiero przy równaniu $x^2 = 16$, którego rozwiązaniami są $4$ i $-4$.

Dlaczego $\sqrt{a^2} = |a|$, a nie $a$? Bo dla ujemnego $a$ wynik musiałby być ujemny, a pierwiastek arytmetyczny ujemny być nie może. Dla $a = -5$ mamy $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = |-5|$. Wartość bezwzględna „naprawia” znak.

Czy $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$? Nie. Pierwiastek „rozkłada się” na iloczyn i iloraz ($\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$), nigdy na sumę. Sprawdź: $\sqrt{9 + 16} = 5$, a $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.

Czy z liczby ujemnej można wyciągnąć pierwiastek? Stopnia parzystego - nie (w liczbach rzeczywistych). Stopnia nieparzystego - tak: $\sqrt[3]{-27} = -3$, bo $(-3)^3 = -27$.

Po co usuwać niewymierność z mianownika? To wygodna konwencja zapisu wyniku - łatwiej porównywać i szacować wartości, gdy pierwiastek jest w liczniku. Robimy to, mnożąc licznik i mianownik przez ten sam pierwiastek lub przez wyrażenie sprzężone.

Przećwicz

Działania na pierwiastkach najlepiej utrwalić na zadaniach. Zobaczmy typowy przykład krok po kroku.

Zadanie. Oblicz $\sqrt{32} + \sqrt{72} - \sqrt{50}$.

Krok 1. Wyłączamy czynnik przed każdy pierwiastek, aby pod pierwiastkami pojawiła się ta sama liczba: $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{72} = 6\sqrt{2}$, $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Krok 2. Redukujemy wyrazy podobne:

$4\sqrt{2} + 6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (4 + 6 - 5)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}.$

Odpowiedź. $\sqrt{32} + \sqrt{72} - \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.$

Chcesz więcej? Zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku, pogrupowane według rodzaju:

• Obliczanie pierwiastków → - liczby całkowite, ułamki, dziesiętne i liczby mieszane.
• Pierwiastek z potęgi → - $\sqrt{a^2}=|a|$, pierwiastek nieparzysty z liczby ujemnej.
• Mnożenie i dzielenie pierwiastków → - prawa działań na pierwiastkach (np. $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$).
• Wyłączanie czynnika przed pierwiastek → - upraszczanie (np. $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$).
• Włączanie czynnika pod pierwiastek → - zapis jednym pierwiastkiem (np. $2\sqrt{5}=\sqrt{20}$).
• Dodawanie i odejmowanie pierwiastków → - redukcja wyrazów podobnych.
• Skracanie ułamków z pierwiastkiem → - wyłączanie wspólnego czynnika w liczniku (np. $\tfrac{2+\sqrt{8}}{2}$).
• Wymierny czy niewymierny wynik → - rozstrzyganie po wykonaniu działań.
• Porównywanie pierwiastków bez kalkulatora → - włączanie czynnika pod pierwiastek (np. $3\sqrt{2}$ a $2\sqrt{5}$).

Albo zobacz wszystkie zadania z pierwiastków →.