Jak obliczyć granicę ciągu - działania na granicach i ciągi zbieżne

Klasa 3 liceum i technikum

Granicę ciągu oblicza się, rozkładając wyrażenie na proste ciągi o znanych granicach (stałe, $\frac{1}{n}$, $q^n$ dla $|q| < 1$) i składając wynik z twierdzeń o granicy sumy, iloczynu i ilorazu. W ilorazach wielomianów dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika, a różnice pierwiastków mnożymy przez wyrażenie sprzężone.

Ta lekcja z rozdziału ciągi łączy dwa tematy: rachunek granic oraz własności ciągów zbieżnych (ograniczoność, twierdzenie o trzech ciągach, ciągi monotoniczne). Zakładamy, że znasz już definicję granicy ciągu - wiesz, co znaczy, że prawie wszystkie wyrazy leżą blisko liczby $g$.

Twierdzenia o działaniach na granicach

Z definicji granicy liczymy tylko najprostsze ciągi. Wszystkie pozostałe granice składamy z klocków, korzystając z twierdzenia: jeśli ciągi $(a_n)$ i $(b_n)$ są zbieżne, to ich suma, różnica, iloczyn i iloraz też są zbieżne, a granica wyniku to wynik działania na granicach (przy ilorazie granica mianownika musi być różna od zera).

Klocki, z których korzystamy najczęściej:

• ciąg stały: $\lim_{n \to \infty} 5 = 5$;
• odwrotności potęg: $\frac{1}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$;
• potęgi o podstawie z przedziału $(-1, 1)$: $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$, $\left(-\frac{1}{2}\right)^n \to 0$.

Przykładowo $\lim_{n \to \infty} \left(4 - \frac{3}{n}\right) = 4 - 0 = 4$, bo granica różnicy to różnica granic.

Uwaga. Twierdzenia działają tylko dla ciągów zbieżnych. Ułamka $\frac{3n^2 - 2n + 1}{5n^2 + 4}$ nie wolno policzyć jako „granica licznika przez granicę mianownika”, bo licznik i mianownik nie mają granic skończonych. Najpierw trzeba wyrażenie przekształcić.

Iloraz wielomianów - dzielenie przez najwyższą potęgę

Licznik i mianownik dzielimy przez najwyższą potęgę $n$ występującą w mianowniku. Wtedy wszystkie składniki poza stałymi zamieniają się w ułamki dążące do zera.

Przykład 1. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3n^2 - 2n + 1}{5n^2 + 4}$.

Krok 1. Najwyższa potęga w mianowniku to $n^2$. Dzielimy przez nią licznik i mianownik:

$\frac{3n^2 - 2n + 1}{5n^2 + 4} = \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{5 + \frac{4}{n^2}}$

Krok 2. Teraz każdy składnik ma granicę: $\frac{2}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$, $\frac{4}{n^2} \to 0$.

Odpowiedź. Granica wynosi $\dfrac{3 - 0 + 0}{5 + 0} = \dfrac{3}{5}$.

Przykład 2. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{2n + 7}{n^2 + 1}$.

Dzielimy przez $n^2$:

$\frac{2n + 7}{n^2 + 1} = \frac{\frac{2}{n} + \frac{7}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} \longrightarrow \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0$

Odpowiedź. Granica wynosi $0$ - mianownik rośnie szybciej niż licznik.

Przykład 3. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{(2n - 1)(n + 3)}{4n^2 + 1}$.

Nie trzeba wymnażać całego licznika. Wystarczy zauważyć, że $(2n - 1)(n + 3) = 2n^2 + 5n - 3$, więc licznik i mianownik są stopnia $2$, a współczynniki przy $n^2$ to $2$ i $4$.

Odpowiedź. Granica wynosi $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.

Z tych przykładów wynika reguła, którą warto mieć w głowie (dotyczy ilorazu wielomianów):

Ostatni wiersz omawiamy w lekcji o ciągach rozbieżnych do nieskończoności.

Pierwiastki - dzielenie i wyrażenie sprzężone

Gdy pod pierwiastkiem stoi wielomian, „najwyższą potęgę” wyciągamy spod pierwiastka: $\sqrt{4n^2 + 1} = n\sqrt{4 + \frac{1}{n^2}}$ dla $n > 0$.

Przykład 4. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{4n^2 + 1}}{3n - 2}$.

Dzielimy licznik i mianownik przez $n$ (pod pierwiastkiem to dzielenie przez $n^2$):

$\frac{\sqrt{4n^2 + 1}}{3n - 2} = \frac{\sqrt{4 + \frac{1}{n^2}}}{3 - \frac{2}{n}} \longrightarrow \frac{\sqrt{4}}{3} = \frac{2}{3}$

Odpowiedź. $\dfrac{2}{3}$.

Trudniejszy przypadek to różnica pierwiastka i wyrażenia o podobnej wielkości. Obie części rosną bez końca, więc o wyniku nic nie wiadomo, dopóki nie pomnożymy przez wyrażenie sprzężone i nie skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia$(A - B)(A + B) = A^2 - B^2$.

Przykład 5. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right)$.

Krok 1. Mnożymy i dzielimy przez sprzężenie $\sqrt{n^2 + 6n} + n$:

$\sqrt{n^2 + 6n} - n = \frac{(n^2 + 6n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 6n} + n} = \frac{6n}{\sqrt{n^2 + 6n} + n}$

Krok 2. Dzielimy przez $n$:

$\frac{6n}{\sqrt{n^2 + 6n} + n} = \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{n}} + 1} \longrightarrow \frac{6}{1 + 1} = 3$

Odpowiedź. Granica wynosi $3$. Sprawdzenie dla $n = 100$: $\sqrt{10\,600} - 100 \approx 2{,}956$ - wynik rzeczywiście zbliża się do $3$.

Potęgi o różnych podstawach

Gdy w wyrażeniu są potęgi $2^n$, $3^n$, $5^n$, dzielimy licznik i mianownik przez potęgę o największej podstawie z mianownika. Wtedy pozostałe potęgi zamieniają się w $q^n$ z $|q| < 1$, a te dążą do zera.

Przykład 6. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{3^n + 2^n}{3^{n+1} - 1}$.

Krok 1. Zapisujemy $3^{n+1} = 3 \cdot 3^n$ i dzielimy wszystko przez $3^n$:

$\frac{3^n + 2^n}{3 \cdot 3^n - 1} = \frac{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}{3 - \left(\frac{1}{3}\right)^n}$

Krok 2. $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ i $\left(\frac{1}{3}\right)^n \to 0$.

Odpowiedź. Granica wynosi $\dfrac{1 + 0}{3 - 0} = \dfrac{1}{3}$.

Własności ciągów zbieżnych

Kilka faktów, które pozwalają rozstrzygać o zbieżności bez liczenia:

1. Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę. Nie da się, żeby prawie wszystkie wyrazy były jednocześnie blisko $2$ i blisko $3$.
2. Zmiana skończonej liczby wyrazów nie zmienia granicy. Granica zależy od „ogona” ciągu, a nie od pierwszych stu czy miliona wyrazów.
3. Ciąg zbieżny jest ograniczony - wszystkie jego wyrazy mieszczą się w pewnym przedziale $[m, M]$. Odwrotnie nie: ciąg $(-1)^n$ jest ograniczony (wyrazy $-1$ i $1$), ale granicy nie ma.
4. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny (twierdzenie podajemy bez dowodu). Przykład: $a_n = \frac{n}{n + 1}$ jest rosnący i ograniczony z góry przez $1$, więc ma granicę - wynosi ona $1$.
5. Twierdzenie o trzech ciągach (o dwóch policjantach): jeśli od pewnego miejsca $a_n \leq b_n \leq c_n$, a skrajne ciągi mają tę samą granicę $g$, to ciąg środkowy też dąży do $g$.

Twierdzenie o trzech ciągach w praktyce

Twierdzenie przydaje się tam, gdzie w ciągu pojawia się coś, co nie ma granicy, ale jest ograniczone - na przykład $\cos n$, $\sin n$ albo $(-1)^n$.

Przykład 7. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n}$.

Krok 1. Dla każdego $n$ mamy $-1 \leq \cos n \leq 1$. Dzieląc przez $n > 0$:

$-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n}$

Krok 2. Oba ciągi skrajne dążą do $0$.

Odpowiedź. Z twierdzenia o trzech ciągach $\lim_{n \to \infty} \dfrac{\cos n}{n} = 0$.

Przykład 8. Oblicz $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n}$.

Krok 1. Szacujemy wyrażenie pod pierwiastkiem. Ponieważ $3^n \leq 2^n + 3^n \leq 2 \cdot 3^n$:

$3 \leq \sqrt[n]{2^n + 3^n} \leq \sqrt[n]{2} \cdot 3$

Krok 2. Korzystamy ze znanej granicy $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2} = 1$ (pierwiastek coraz wyższego stopnia z liczby dodatniej dąży do $1$). Oba ograniczenia dążą do $3$.

Odpowiedź. Granica wynosi $3$ - decyduje większa z podstaw.

Liczba e - granica ciągu monotonicznego i ograniczonego

Najsłynniejszy przykład własności 4 to ciąg $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Można wykazać, że jest rosnący i że wszystkie jego wyrazy są mniejsze od $3$, więc jest zbieżny. Jego granicę oznacza się literą $e$:

$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}71828$

Liczba $e$ wraca w procencie składanym przy coraz częstszej kapitalizacji - patrz lekcja o lokatach i kredytach.

Typowe błędy

• Granica licznika przez granicę mianownika, gdy obie są nieskończone. Zapis „$\frac{\infty}{\infty} = 1$” jest błędny - $\frac{n}{2n} \to \frac{1}{2}$, a $\frac{n^2}{n} \to \infty$.
• Dzielenie przez potęgę z licznika zamiast z mianownika. Daje poprawny wynik tylko przy równych stopniach; w ogólności zostaje w mianowniku wyrażenie dążące do zera i rachunek się sypie.
• „$\infty - \infty = 0$”. W przykładzie 5 obie części rosną, a różnica dąży do $3$, nie do $0$. Taką różnicę przekształcamy (sprzężenie, wyłączenie czynnika).
• $\lim q^n = 0$ dla każdego $q$. Tylko dla $|q| < 1$. Dla $q = 1$ granica to $1$, dla $q > 1$ ciąg rośnie do nieskończoności, a dla $q \leq -1$ granicy nie ma.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć granicę ciągu? Przekształć wyrażenie tak, żeby składało się z prostych ciągów o znanych granicach (stałe, $\frac{1}{n^k}$, $q^n$ z $|q| < 1$), a potem skorzystaj z twierdzeń o granicy sumy, iloczynu i ilorazu. W ilorazie wielomianów podziel licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika.

Jak obliczyć granicę ilorazu wielomianów? Porównaj stopnie. Przy równych stopniach granica to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach, np. $\frac{3n^2 - 2n + 1}{5n^2 + 4} \to \frac{3}{5}$. Gdy licznik ma niższy stopień, granica wynosi $0$; gdy wyższy - granica jest niewłaściwa ($\pm\infty$).

Jak liczyć granicę ciągu z pierwiastkiem? Gdy pierwiastek stoi w ilorazie, wyciągnij najwyższą potęgę spod pierwiastka i podziel przez nią. Gdy masz różnicę typu $\sqrt{n^2 + 6n} - n$, pomnóż i podziel przez sumę $\sqrt{n^2 + 6n} + n$ (wyrażenie sprzężone).

Ile wynosi granica ciągu qⁿ? Dla $|q| < 1$ granica wynosi $0$, dla $q = 1$ wynosi $1$, dla $q > 1$ ciąg dąży do $+\infty$, a dla $q \leq -1$ granica nie istnieje.

Czy ciąg ograniczony jest zbieżny? Nie zawsze. Ciąg $(-1)^n$ jest ograniczony, ale nie ma granicy. Zbieżny jest dopiero ciąg ograniczony i monotoniczny. W drugą stronę zawsze działa: każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Na czym polega twierdzenie o trzech ciągach? Jeśli ciąg $(b_n)$ leży między dwoma ciągami o tej samej granicy $g$, to też dąży do $g$. Tak liczy się np. $\lim \frac{\cos n}{n} = 0$, bo $-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n}$.

Co to jest liczba e? To granica ciągu $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$, w przybliżeniu $2{,}71828$. Ciąg jest rosnący i ograniczony, więc z twierdzenia o ciągach monotonicznych ma granicę.

Przećwicz

• Obliczanie granic ciągów - zadania → - 7 zadań: iloraz wielomianów, licznik, w którym znika najwyższa potęga, różnica pierwiastka i $n$, potęgi o różnych podstawach, suma $1 + 2 + \ldots + n$ w liczniku i twierdzenie o trzech ciągach.
• Cały zestaw: ciągi - zadania →

Podsumowanie

• Granice sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu ciągów zbieżnych to wyniki działań na granicach (przy ilorazie - mianownik o granicy różnej od zera).
• Iloraz wielomianów: dzielimy przez najwyższą potęgę $n$ z mianownika; przy równych stopniach wynik to iloraz współczynników przy najwyższych potęgach.
• Różnicę z pierwiastkiem mnożymy przez wyrażenie sprzężone.
• Przy potęgach dzielimy przez potęgę o największej podstawie z mianownika; $q^n \to 0$ dla $|q| < 1$.
• Ciąg zbieżny jest ograniczony; ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
• Twierdzenie o trzech ciągach rozwiązuje granice z $\sin n$, $\cos n$, $(-1)^n$ i pierwiastkami $n$-tego stopnia.

Zobacz też

• Granica ciągu liczbowego - poprzednia lekcja: definicja granicy i pas o szerokości $\varepsilon$.
• Ciąg rozbieżny do nieskończoności - następna lekcja: granice niewłaściwe i symbole nieoznaczone.
• Granica ciągu - definicja, ciągi zbieżne i rozbieżne - zapis z kwantyfikatorami, otoczenie i sąsiedztwo punktu.
• Ciąg harmoniczny 1/n - ciąg o granicy zero, którego suma wyrazów jest nieskończona.
• Granica funkcji - to samo pojęcie dla funkcji zmiennej rzeczywistej.