Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi z parametrem

Klasa 2 liceum i technikum

Co mówi geometria

Każde równanie układu opisuje prostą, więc rozwiązanie to punkt wspólny dwóch prostych. Stąd trzy możliwości, które poznaliśmy przy graficznym rozwiązywaniu układów:

• proste przecinają się - jeden punkt wspólny, układ oznaczony;
• proste są równoległe i różne - brak punktów wspólnych, układ sprzeczny;
• proste pokrywają się - nieskończenie wiele punktów, układ nieoznaczony.

Warunki z ramki to zapis tych trzech sytuacji przez współczynniki: równość $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$ oznacza równoległość, a dołączenie $\frac{c_1}{c_2}$ rozstrzyga, czy proste się pokrywają.

Praktyczna uwaga. Zamiast pamiętać proporcje, bezpieczniej jest po prostu rozwiązać układ metodą przeciwnych współczynników i zobaczyć, co się stanie: gdy niewiadome się zredukują, zostaje równanie liczbowe, które od razu mówi, czy układ jest sprzeczny, czy nieoznaczony.

Przykład 1 - dyskusja przez rozwiązanie układu

Dla jakich wartości $m$ układ

$\begin{cases} 2x + y = 4 \\ mx + 3y = 6 \end{cases}$

jest oznaczony, sprzeczny, a dla jakich nieoznaczony?

Krok 1. Eliminujemy $y$. Mnożymy pierwsze równanie przez $3$ i odejmujemy drugie:

$6x + 3y = 12$

$mx + 3y = 6$

Po odjęciu stronami:

$(6 - m)x = 6.$

Krok 2. Przypadek $m \ne 6$. Wtedy $x = \frac{6}{6-m}$, a $y$ wyliczamy z pierwszego równania. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie - jest oznaczony.

Krok 3. Przypadek $m = 6$. Zostaje

$0 \cdot x = 6,$

czyli $0 = 6$ - sprzeczność. Układ jest sprzeczny, nie ma rozwiązań.

Krok 4. Czy jest wartość dająca układ nieoznaczony? Musiałoby zajść $0 \cdot x = 0$, a prawa strona jest równa $6$ niezależnie od $m$ - więc nie ma takiej wartości.

Odpowiedź. Dla $m \ne 6$ układ oznaczony; dla $m = 6$ sprzeczny; nieoznaczony nigdy.

Przykład 2 - z układem nieoznaczonym

Zbadaj układ

$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2x + my = 6 \end{cases}$

Krok 1. Eliminujemy $x$. Mnożymy pierwsze równanie przez $2$ i odejmujemy drugie:

$2x + 4y = 6$

$2x + my = 6$

Po odjęciu:

$(4 - m)y = 0.$

Krok 2. Przypadek $m \ne 4$. Wtedy $y = 0$, a z pierwszego równania $x = 3$. Układ jest oznaczony, a jego rozwiązaniem jest para $(3, 0)$.

Krok 3. Przypadek $m = 4$. Zostaje $0 \cdot y = 0$ - równość prawdziwa dla każdego $y$. Drugie równanie jest wtedy podwojonym pierwszym ($2x + 4y = 6$), więc opisuje tę samą prostą. Układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań postaci

$x = 3 - 2y, \qquad y \in \mathbb{R}.$

Odpowiedź. Dla $m \ne 4$ układ oznaczony z rozwiązaniem $(3, 0)$; dla $m = 4$ nieoznaczony.

Przykład 3 - warunek na rozwiązanie

Zadanie. Dla jakich $m$ rozwiązaniem układu

$\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = m \end{cases}$

jest para liczb dodatnich?

Krok 1. Rozwiązujemy układ. Dodając równania stronami:

$2x = 5 + m \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5+m}{2},$

a po odjęciu:

$2y = 5 - m \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{5-m}{2}.$

Krok 2. Warunki dodatniości.

$\frac{5+m}{2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad m > -5, \qquad\qquad \frac{5-m}{2} > 0 \quad\Longrightarrow\quad m < 5.$

Krok 3. Część wspólna warunków:

$m \in (-5;\ 5).$

Sprawdzenie. Dla $m = 0$ wychodzi $x = y = 2{,}5$ - obie dodatnie. Dla $m = 6$ mielibyśmy $y = -0{,}5$, czyli warunek nie byłby spełniony.

Odpowiedź. $m \in (-5;\ 5)$.

Najczęstsze pytania

Czy trzeba pamiętać warunki z proporcjami? Nie trzeba, choć bywają szybkie. Rozwiązanie układu metodą przeciwnych współczynników zawsze doprowadzi do tej samej odpowiedzi, a przy okazji da wzory na $x$ i $y$.

Co oznacza „układ nieoznaczony”? Że oba równania opisują tę samą prostą, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele. Zapisujemy je wzorem z jedną zmienną swobodną, np. $x = 3 - 2y$ dla dowolnego $y$.

Skąd wiadomo, że dla danej wartości parametru układ jest sprzeczny? Po eliminacji niewiadomej zostaje zdanie fałszywe w rodzaju $0 = 6$. Gdy zostaje $0 = 0$, układ jest nieoznaczony.

Czy układ z parametrem może mieć dokładnie dwa rozwiązania? Nie. Dwie proste mogą mieć zero, jeden albo nieskończenie wiele punktów wspólnych - trzeciej możliwości nie ma.

Jak zapisać odpowiedź w zadaniu z warunkiem? Najpierw wyznaczamy $x$ i $y$ w zależności od parametru, potem zapisujemy warunki z treści jako nierówności i bierzemy ich część wspólną.

Przećwicz

• Zadania z parametrem → - dyskusja układów oraz warunki na rozwiązanie.

Podsumowanie

• Rozwiązanie układu to punkt wspólny dwóch prostych: jeden, żaden albo nieskończenie wiele.
• Po eliminacji niewiadomej zostaje równanie postaci $ax = b$ - dalej postępujemy jak przy równaniu z parametrem.
• $0 = 0$ oznacza układ nieoznaczony, a $0 =$ liczba różna od zera - układ sprzeczny.
• W zadaniach z warunkiem najpierw wyznaczamy $x$ i $y$ przez parametr, potem bierzemy część wspólną warunków.