Równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną

Klasa 2 liceum i technikum

Trzy sposoby na moduł

Równania i nierówności z wartością bezwzględną można rozwiązywać na trzy sposoby. Warto znać wszystkie, bo w różnych zadaniach różne są najwygodniejsze:

1. Z własności modułu - gdy po jednej stronie stoi $|\ldots|$, a po drugiej liczba.
2. Metodą przypadków - rozbijamy moduł zgodnie z definicją, osobno dla wyrażenia dodatniego i ujemnego.
3. Z wykresu - najszybsze przy pytaniach o liczbę rozwiązań.

Sposób 1: własności modułu

Przykład. Rozwiąż równanie $|x^2 - 4| = 5$.

Moduł równa się $5$, gdy wyrażenie wewnątrz jest równe $5$ albo $-5$:

$x^2 - 4 = 5 \qquad \text{lub} \qquad x^2 - 4 = -5.$

Pierwsze równanie: $x^2 = 9$, czyli $x = -3$ lub $x = 3$. Drugie: $x^2 = -1$ - brak rozwiązań.

Odpowiedź. $x = -3$ lub $x = 3$.

Przykład z nierównością. Rozwiąż $|x^2 - 3| \le 1$.

Z własności $|t| \le 1 \iff -1 \le t \le 1$ dostajemy podwójną nierówność:

$-1 \le x^2 - 3 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad 2 \le x^2 \le 4.$

Rozwiązujemy obie części osobno: $x^2 \ge 2$ daje $x \le -\sqrt{2}$ lub $x \ge \sqrt{2}$, a $x^2 \le 4$ daje $-2 \le x \le 2$. Bierzemy część wspólną:

$x \in \langle -2;\ -\sqrt{2}\rangle \cup \langle \sqrt{2};\ 2\rangle.$

Sposób 2: metoda przypadków

Gdy niewiadoma występuje i w module, i poza nim, rozbijamy zadanie na przypadki zgodnie z definicją: $|t| = t$ dla $t \ge 0$ oraz $|t| = -t$ dla $t < 0$.

Przykład. Rozwiąż równanie $x^2 - 4|x| + 3 = 0$.

Przypadek 1: $x \ge 0$. Wtedy $|x| = x$:

$x^2 - 4x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \ \text{ lub } \ x = 3.$

Oba wyniki spełniają warunek $x \ge 0$ - zostają.

Przypadek 2: $x < 0$. Wtedy $|x| = -x$:

$x^2 + 4x + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \ \text{ lub } \ x = -3.$

Oba spełniają $x < 0$ - też zostają.

Odpowiedź. $x \in \{-3, -1, 1, 3\}$.

Zawsze sprawdzaj warunek przypadku. Gdyby w przypadku $x \ge 0$ wyszło rozwiązanie $x = -2$, trzeba by je odrzucić - należy do „cudzego” przypadku.

Skrót dla równań typu $x^2 - 4|x| + 3 = 0$. Zauważ, że $x^2 = |x|^2$, więc podstawienie $t = |x| \ge 0$ zamienia równanie w $t^2 - 4t + 3 = 0$. Stąd $t = 1$ lub $t = 3$, a po powrocie: $|x| = 1$ daje $x = \pm 1$, a $|x| = 3$ daje $x = \pm 3$. Ten sam wynik, mniej pisania.

Sposób 3: odczyt z wykresu

Przy pytaniu „ile rozwiązań ma równanie” najszybciej działa wykres z wartością bezwzględną. Rozwiązania równania $|f(x)| = m$ to punkty wspólne wykresu $y = |f(x)|$ z poziomą prostą $y = m$.

Przykład. Ile rozwiązań ma równanie $|x^2 - 2x - 3| = 2$?

Wykres $y = |x^2 - 2x - 3|$ ma odbity „garb” o wysokości $4$ (bo wierzchołek paraboli leżał w punkcie $(1, -4)$). Prosta $y = 2$ przecina ten garb w dwóch punktach i ramiona zewnętrzne w kolejnych dwóch.

Odpowiedź. Cztery rozwiązania.

Nierówności z modułem - uwaga na kierunek

Dwie własności, które warto rozróżniać:

• $|t| < a$ oznacza „blisko zera” $\Rightarrow$ jeden przedział, $-a < t < a$;
• $|t| > a$ oznacza „daleko od zera” $\Rightarrow$ suma dwóch przedziałów.

Przykład. Rozwiąż $|x - 2| < 3$.

$-3 < x - 2 < 3 \quad\Longrightarrow\quad -1 < x < 5.$

Odpowiedź. $x \in (-1;\ 5)$.

Interpretacja geometryczna jest wygodna: $|x - 2|$ to odległość liczby $x$ od liczby $2$ na osi liczbowej. Nierówność mówi więc: „liczby oddalone od $2$ o mniej niż $3$”.

Najczęstsze pytania

Czy $|x| = -5$ ma rozwiązanie? Nie. Wartość bezwzględna nigdy nie jest ujemna, więc takie równanie jest sprzeczne. Podobnie nierówność $|x| < -1$ nie ma rozwiązań, a $|x| > -1$ jest spełniona przez każdą liczbę.

Czy zawsze trzeba rozbijać na przypadki? Nie. Gdy niewiadoma występuje tylko w module, wystarczą własności albo podstawienie $t = |x|$. Przypadki są potrzebne wtedy, gdy $x$ pojawia się również poza modułem.

Czy wolno podnieść równanie z modułem do kwadratu? Tak, bo $|t|^2 = t^2$ - i czasem to najwygodniejsza droga. Trzeba jednak pamiętać, że podnoszenie do kwadratu może dołożyć rozwiązania obce, więc wyniki sprawdzamy w równaniu wyjściowym.

Jak rozwiązać $|x - 1| = |x + 3|$? Skoro obie strony są nieujemne, można podnieść do kwadratu albo skorzystać z własności: moduły są równe, gdy wyrażenia są równe albo przeciwne. Pierwszy przypadek daje sprzeczność ($-1 = 3$), drugi $x - 1 = -(x+3)$, czyli $x = -1$.

Dlaczego przy $x^2 - 4|x| + 3 = 0$ wychodzą cztery rozwiązania? Bo równanie zależy tylko od $|x|$, więc jest symetryczne: jeśli liczba jest rozwiązaniem, to liczba do niej przeciwna też. Dwie wartości $|x|$ dają więc cztery liczby.

Przećwicz

• Wartość bezwzględna w zadaniach kwadratowych →
  • równania i nierówności z modułem, także z odczytem z wykresu.

Podsumowanie

• $|t| = a$ (dla $a > 0$) $\iff$ $t = a$ lub $t = -a$; $|t| < a$ $\iff$ $-a < t < a$; $|t| > a$ $\iff$ $t < -a$ lub $t > a$.
• Gdy $x$ występuje tylko w module, pomaga podstawienie $t = |x| \ge 0$.
• Gdy $x$ jest też poza modułem, rozbijamy na przypadki i sprawdzamy warunek każdego z nich.
• Pytania o liczbę rozwiązań najszybciej rozstrzyga wykres i pozioma prosta $y = m$.
• $|t|$ to odległość od zera - stąd „blisko” (jeden przedział) i „daleko” (suma przedziałów).