Funkcja wykładnicza - definicja, własności i przykłady

Klasa 1 liceum i technikum

Skąd się bierze funkcja wykładnicza?

W potęgach o wykładniku rzeczywistym nauczyliśmy się obliczać $a^x$ dla dowolnego rzeczywistego $x$. Teraz odwracamy perspektywę: ustalamy podstawę $a$ i traktujemy wykładnik jako zmienną. Tak powstaje funkcja wykładnicza - model wszystkiego, co rośnie (lub maleje) w stałym tempie procentowym: kolonii bakterii, kapitału na lokacie, rozpadu promieniotwórczego.

Przykład: kolonia bakterii podwaja się co godzinę. Jeśli na początku jest 1 jednostka, to po $x$ godzinach jest ich $2^x$. Po 10 godzinach - $2^{10} = 1024$ jednostki. To „eksplozyjne” tempo to znak rozpoznawczy wzrostu wykładniczego.

Definicja

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem $f(x) = a^x,$ gdzie podstawa $a$ jest liczbą dodatnią różną od 1. Dziedziną jest cały zbiór $\mathbb{R}$.

Skąd warunki na $a$?

• $a > 0$: dla ujemnej podstawy potęga o wykładniku wymiernym często nie istnieje (np. $(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}$);
• $a \ne 1$: funkcja $1^x = 1$ jest stała - nie ma „wykładniczego” charakteru i nie da się dla niej zbudować logarytmu.

Wykres funkcji wykładniczej

Policzmy wartości $f(x) = 2^x$:

$f(-2) = \tfrac{1}{4}, \quad f(-1) = \tfrac{1}{2}, \quad f(0) = 1, \quad f(1) = 2, \quad f(2) = 4, \quad f(3) = 8.$

Dla porównania weźmy też $g(x) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ - jej wartości to te same liczby, tylko „od końca”: $g(-3) = 8$, $g(0) = 1$, $g(2) = \tfrac{1}{4}$.

Najważniejsze obserwacje:

• oba wykresy przechodzą przez punkt $(0, 1)$ - bo każda liczba w potędze zerowej daje 1;
• wykresy leżą w całości nad osią $OX$ - potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia;
• dla $a = 2 > 1$ funkcja rośnie (im dalej w prawo, tym stromiej), dla $a = \tfrac{1}{2} < 1$ - maleje;
• z lewej strony (dla $y = 2^x$) wykres zbliża się do osi $OX$, ale nigdy jej nie dotyka - oś $OX$ jest asymptotą poziomą.

Jak wykres zmienia się z podstawą (2ˣ, eˣ, 10ˣ), jak go przesuwać i odbijać - krok po kroku na stronie wykres funkcji wykładniczej.

Własności funkcji wykładniczej

Dla $f(x) = a^x$ (przy $a > 0$, $a \ne 1$):

• dziedzina: $\mathbb{R}$; zbiór wartości: $(0, +\infty)$;
• brak miejsc zerowych - wykres nie przecina osi $OX$ (asymptota pozioma $y = 0$);
• wykres przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 1)$;
• monotoniczność: dla $a > 1$ funkcja rosnąca, dla $0 < a < 1$ - malejąca (w całej dziedzinie);
• funkcja jest różnowartościowa: z równości $a^{x_1} = a^{x_2}$ wynika $x_1 = x_2$ (to klucz do równań wykładniczych).

Zobacz to na żywo. W rysowniku funkcji przesuwaj suwak podstawy $a$: zobacz, jak wykres „kładzie się” przy $a$ bliskim 1, jak stromieje dla dużych $a$ i jak odbija się w pionie, gdy $a$ przechodzi na drugą stronę jedynki.

Przykład 1 - porównywanie potęg

Zadanie. Nie używając kalkulatora, porównaj liczby $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5}$ i $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{7}$.

Rozwiązanie. Obie liczby to wartości funkcji $f(x) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x$. Podstawa $\tfrac{1}{3}$ jest mniejsza od 1, więc funkcja jest malejąca: większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość. Skoro $5 < 7$, to:

$\left(\tfrac{1}{3}\right)^{5} > \left(\tfrac{1}{3}\right)^{7}.$

Odpowiedź: Pierwsza liczba jest większa. (Przy podstawie większej od 1 nierówność byłaby odwrotna - zawsze najpierw sprawdź podstawę!)

Przykład 2 - wzrost wykładniczy w praktyce

Zadanie. Wartość samochodu spada o 20% rocznie. Samochód kosztował 100 000 zł. Jaka będzie jego wartość po $x$ latach? Po ilu latach spadnie poniżej połowy ceny?

Krok 1. Spadek o 20% rocznie to mnożenie przez $0{,}8$ co rok (por. procenty - podwyżki i obniżki). Po $x$ latach:

$W(x) = 100\,000 \cdot 0{,}8^x.$

To funkcja wykładnicza o podstawie $0{,}8 < 1$ - malejąca.

Krok 2. Liczymy kolejne wartości: $W(1) = 80\,000$, $W(2) = 64\,000$, $W(3) = 51\,200$, $W(4) = 40\,960$.

Odpowiedź: $W(x) = 100\,000 \cdot 0{,}8^x$; poniżej połowy ceny (50 000 zł) wartość spadnie po 4 latach.

Najczęstsze pytania

Dlaczego funkcja wykładnicza nie ma miejsc zerowych? Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia, więc $a^x > 0$ dla każdego $x$. Wykres zbliża się do osi $OX$ dowolnie blisko, ale nigdy jej nie osiąga.

Kiedy funkcja wykładnicza rośnie, a kiedy maleje? Decyduje podstawa: dla $a > 1$ funkcja jest rosnąca, dla $0 < a < 1$ - malejąca. Im podstawa dalsza od 1, tym wykres bardziej stromy.

Dlaczego wszystkie wykresy funkcji wykładniczych przechodzą przez (0, 1)? Bo $a^0 = 1$ dla każdej dodatniej podstawy $a$.

Czym różni się wzrost wykładniczy od liniowego? Wzrost liniowy dodaje w każdym kroku stałą wartość, wykładniczy mnoży przez stały czynnik. Na dłuższą metę każdy wzrost wykładniczy (o podstawie większej od 1) wyprzedzi dowolny liniowy.

Przećwicz

• Funkcja wykładnicza → - wartości, porównywanie potęg i proste równania.

Podsumowanie

• Funkcja wykładnicza: $f(x) = a^x$, gdzie $a > 0$ i $a \ne 1$; dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$.
• Wykres przechodzi przez $(0, 1)$, leży nad osią $OX$, a oś $OX$ to asymptota pozioma.
• $a > 1$ - funkcja rosnąca; $0 < a < 1$ - malejąca. Jest różnowartościowa.
• Modeluje wzrost/zanik o stałym tempie procentowym (podwajanie, oprocentowanie, utrata wartości).