Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Q: Skąd wiadomo, czy wierzchołek daje wartość najmniejszą, czy największą?

Ze znaku a: dla a > 0 wierzchołek to minimum, dla a < 0 - maksimum. Ale w przedziale domkniętym i tak porównujemy wszystkie trzy kandydatury, więc pomyłka w rozumowaniu nie zmieni wyniku.

Q: Co, jeśli wierzchołek wypada dokładnie na końcu przedziału?

Wtedy jest jednocześnie końcem - liczymy go raz i porównujemy z drugim końcem. Nic się nie psuje.

Q: Czy wartość największa może być przyjmowana w dwóch punktach?

Tak. Jeśli przedział jest symetryczny względem osi paraboli (np. langle 0;\ 4rangle dla wierzchołka w x = 2), to oba końce dają tę samą wartość - i obie są wartością skrajną.

Q: Czy metoda działa też dla przedziału nieograniczonego?

Częściowo. Dla langle m;\ +∞) przy a > 0 wartość najmniejsza istnieje (w wierzchołku albo na końcu), ale największej nie ma - funkcja rośnie bez ograniczeń.

Klasa 2 liceum i technikum

Schemat postępowania

Wartości najmniejszej i największej w przedziale $\langle m;\ n\rangle$ szukamy wśród trzech liczb:

$f(m), \qquad f(n), \qquad f(p) \ \text{ - o ile } \ p \in \langle m;\ n\rangle$

gdzie $p = \dfrac{-b}{2a}$ to odcięta wierzchołka. Najmniejsza z nich to wartość najmniejsza, największa - wartość największa.

Dlaczego wystarczą trzy liczby

Na całej dziedzinie funkcja kwadratowa ma tylko jedną wartość skrajną - w wierzchołku. W przedziale domkniętym dochodzą jednak końce, bo wykres zostaje „przycięty”.

Parabola po jednej stronie wierzchołka maleje, a po drugiej rośnie. Na przedziale, który wierzchołka nie zawiera, funkcja jest więc monotoniczna - a monotoniczna funkcja przyjmuje wartości skrajne dokładnie na końcach. Gdy wierzchołek należy do przedziału, dochodzi trzeci kandydat: wartość $f(p)$ .

Ta sama funkcja f(x) = x² − 4x + 3 na dwóch przedziałach. Po lewej wierzchołek należy do przedziału i daje wartość najmniejszą, po prawej wystarczy porównać końce.

Przykład 1 - wierzchołek należy do przedziału

Zadanie. Wyznacz wartość najmniejszą i największą funkcji $f(x) = x^2 - 4x + 3$ w przedziale $\langle 0;\ 3\rangle$ .

Krok 1. Wierzchołek.

$p = \frac{4}{2} = 2, \qquad q = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1.$

Krok 2. Sprawdzamy, czy $p$ należy do przedziału. Liczba $2$ mieści się w $\langle 0;\ 3\rangle$ , więc wierzchołek bierzemy pod uwagę.

Krok 3. Liczymy wartości na końcach:

$f(0) = 3, \qquad f(3) = 9 - 12 + 3 = 0.$

Krok 4. Porównujemy trzy liczby: $f(0) = 3$ , $f(2) = -1$ , $f(3) = 0$ .

Odpowiedź. Wartość najmniejsza to $-1$ (dla $x = 2$ ), a największa $3$ (dla $x = 0$ ).

Przykład 2 - wierzchołek poza przedziałem

Zadanie. Ta sama funkcja $f(x) = x^2 - 4x + 3$ , ale w przedziale $\langle 3;\ 5\rangle$ .

Krok 1. Wierzchołek ma odciętą $p = 2$ , a $2 \notin \langle 3;\ 5\rangle$ - odpada.

Krok 2. Skoro przedział leży na prawo od wierzchołka, a ramiona idą w górę, funkcja jest na nim rosnąca. Wystarczy policzyć wartości na końcach:

$f(3) = 0, \qquad f(5) = 25 - 20 + 3 = 8.$

Odpowiedź. Wartość najmniejsza to $0$ (dla $x = 3$ ), największa $8$ (dla $x = 5$ ).

Uwaga. Gdy przedział nie zawiera wierzchołka, wartości skrajne zawsze wypadają na jego końcach - nie trzeba nic więcej sprawdzać.

Przykład 3 - ramiona w dół

Zadanie. Wyznacz wartość największą funkcji $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ w przedziale $\langle 0;\ 2\rangle$ .

Wierzchołek: $p = \frac{-6}{-2} = 3$ , ale $3 \notin \langle 0;\ 2\rangle$ . Przedział leży na lewo od wierzchołka, a przy ramionach w dół funkcja jest tam rosnąca. Liczymy końce:

$f(0) = -5, \qquad f(2) = -4 + 12 - 5 = 3.$

Odpowiedź. Wartość największa to $3$ (dla $x = 2$ ), a najmniejsza $-5$ (dla $x = 0$ ).

Zwróć uwagę: mimo że ramiona idą w dół, wartość największa nie wypadła w wierzchołku - bo wierzchołek leży poza rozważanym przedziałem.

Czy przedział musi być domknięty

Musi - i to nie jest formalność. W przedziale otwartym wartość skrajna może nie istnieć. Dla $f(x) = x^2$ na przedziale $(1;\ 3)$ funkcja nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani największej: zbliża się do $1$ i do $9$ , ale nigdy ich nie osiąga, bo końce nie należą do dziedziny.

To ta sama historia, co przy zbiorze wartości: kres istnieje zawsze, ale wartość skrajna tylko wtedy, gdy jest osiągana.

Najczęstsze pytania

Czy zawsze trzeba liczyć wartość w wierzchołku? Tylko wtedy, gdy odcięta wierzchołka należy do przedziału. Jeśli nie należy, funkcja jest na tym przedziale monotoniczna i wystarczą wartości na końcach.

Skąd wiadomo, czy wierzchołek daje wartość najmniejszą, czy największą? Ze znaku $a$ : dla $a > 0$ wierzchołek to minimum, dla $a < 0$ - maksimum. Ale w przedziale domkniętym i tak porównujemy wszystkie trzy kandydatury, więc pomyłka w rozumowaniu nie zmieni wyniku.

Co, jeśli wierzchołek wypada dokładnie na końcu przedziału? Wtedy jest jednocześnie końcem - liczymy go raz i porównujemy z drugim końcem. Nic się nie psuje.

Czy wartość największa może być przyjmowana w dwóch punktach? Tak. Jeśli przedział jest symetryczny względem osi paraboli (np. $\langle 0;\ 4\rangle$ dla wierzchołka w $x = 2$ ), to oba końce dają tę samą wartość - i obie są wartością skrajną.

Czy metoda działa też dla przedziału nieograniczonego? Częściowo. Dla $\langle m;\ +\infty)$ przy $a > 0$ wartość najmniejsza istnieje (w wierzchołku albo na końcu), ale największej nie ma - funkcja rośnie bez ograniczeń.

Przećwicz

Wartość najmniejsza i największa w przedziale →
- oba przypadki: wierzchołek w przedziale i poza nim.

Podsumowanie

Kandydaci na wartości skrajne w $\langle m;\ n\rangle$ : $f(m)$ , $f(n)$ oraz $f(p)$ , jeśli $p \in \langle m;\ n\rangle$ .
Gdy wierzchołek nie należy do przedziału, funkcja jest na nim monotoniczna - wartości skrajne są na końcach.
Znak $a$ mówi, czy wierzchołek jest minimum, czy maksimum, ale i tak wystarczy porównać policzone wartości.
W przedziale otwartym wartość skrajna może w ogóle nie istnieć.