Funkcje - rodzaje funkcji matematycznych

Co to jest funkcja

Funkcja (inaczej odwzorowanie, przekształcenie) to jedno z najważniejszych pojęć matematyki. Pierwotnie rozumiano ją jako przyporządkowanie elementom jednego zbioru elementów drugiego zbioru, w którym każdemu argumentowi odpowiada dokładnie jedna wartość.

Kluczowe w definicji są dwa słowa: każdemu i dokładnie jeden. Przyporządkowanie, które któremuś argumentowi przypisuje dwie wartości, funkcją nie jest - dlatego okrąg nie jest wykresem funkcji, a parabola jest. Sprawdza się to testem prostej pionowej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres więcej niż raz, to nie jest wykres funkcji.

Ta definicja zakładała, że argumenty i wartości są liczbami. Istnieje jednak wiele własności analitycznych - ciągłość, różniczkowalność - których takie ujęcie nie obejmowało, a także funkcje, których nie da się opisać tabelką. Dlatego na gruncie teorii mnogości podano definicję ogólną:

Funkcją $f$ odwzorowującą zbiór $X$ w zbiór $Y$ nazywamy taki zbiór par uporządkowanych $(x, y)$, gdzie $x \in X$ i $y \in Y$, że dla każdego $x \in X$ istnieje dokładnie jeden $y \in Y$ - oznaczany $f(x)$ - dla którego $(x, y) \in f$.

Dziedzina, przeciwdziedzina i zbiór wartości

• Dziedzina $D$ (zbiór argumentów) - zbiór tych $x$, dla których funkcja jest określona.
• Przeciwdziedzina $Y$ - zbiór, w którym „mieszkają” wartości; deklarujemy go z góry.
• Zbiór wartości $ZW$ - te elementy przeciwdziedziny, które funkcja faktycznie przyjmuje.

Zbiór wartości nie musi być równy całej przeciwdziedzinie. Dla $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ danej wzorem $f(x) = x^2$ przeciwdziedziną jest $\mathbb{R}$, ale zbiorem wartości tylko $\langle 0, +\infty)$.

Gdy funkcja jest zadana samym wzorem, przyjmujemy dziedzinę naturalną - największy zbiór, dla którego wzór ma sens.

Rodzaje funkcji

Najczęstszy podział - według postaci wzoru:

• Funkcja liniowa - $f(x) = ax + b$; wykresem jest prosta.
• Funkcja kwadratowa - $f(x) = ax^2 + bx + c$ przy $a \neq 0$; wykresem jest parabola.
• Wielomiany - $f(x) = a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0$; uogólnienie dwóch poprzednich.
• Funkcja wymierna - iloraz dwóch wielomianów.
• Funkcja homograficzna - $f(x) = \tfrac{ax+b}{cx+d}$, szczególny przypadek wymiernej; wykresem jest hiperbola.
• Wykres funkcji wykładniczej - $f(x) = a^x$ przy $a > 0$ i $a \neq 1$; jak narysować wykres i jak go przesuwać.
• Wykres funkcji logarytmicznej - $f(x) = \log_a x$; odwrotna do wykładniczej; jak narysować wykres i jak go przesuwać.
• Trygonometria kąta ostrego - sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym, wartości dla 30°, 45° i 60°.
• Funkcje trygonometryczne liczby rzeczywistej - sinusoida, cosinusoida, tangensoida; funkcje okresowe i wzory.
• Funkcja pierwiastkowa - $f(x) = \sqrt[n]{x}$; odwrotna do potęgowej.
• Funkcja z wartością bezwzględną - np. $f(x) = |x|$; wykres „odbity” nad oś $OX$.
• Funkcja algebraiczna - spełniająca równanie wielomianowe; wszystkie pozostałe nazywamy przestępnymi (wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne).

Osobną grupą są funkcje zadane wzorem niejednolitym (klamrowym), np.

$f(x) = \begin{cases} 1 & \text{dla } x > 0, \\ 0 & \text{dla } x = 0, \\ -2 & \text{dla } x < 0. \end{cases}$

Podział według własności

Ten sam wzór można klasyfikować także ze względu na to, jak funkcja się zachowuje:

• Różnowartościowa (iniekcja) - różnym argumentom przypisuje różne wartości; wykres przechodzi test prostej poziomej. Tylko taka funkcja ma funkcję odwrotną.
• „Na” (surjekcja) - zbiór wartości pokrywa całą przeciwdziedzinę.
• Wzajemnie jednoznaczna (bijekcja) - jednocześnie różnowartościowa i „na”.
• Monotoniczna - rosnąca, malejąca, nierosnąca albo niemalejąca (w całej dziedzinie albo w przedziale).
• Parzysta - $f(-x) = f(x)$; wykres symetryczny względem osi $OY$ (np. $x^2$, $\cos x$).
• Nieparzysta - $f(-x) = -f(x)$; wykres symetryczny względem początku układu (np. $x^3$, $\sin x$).
• Okresowa - istnieje $T \neq 0$ takie, że $f(x + T) = f(x)$ (funkcje trygonometryczne).
• Ograniczona - wartości mieszczą się między dwiema stałymi (np. $\sin x$ w $\langle -1, 1 \rangle$).
• Ciągła - wykres da się narysować bez odrywania ołówka; rozstrzyga o tym m.in. twierdzenie o wartości pośredniej.

Własności funkcji i sposoby ich odczytywania z wykresu omawia kurs: funkcja i jej własności.

Jak zadać funkcję

1. Wzorem wraz z dziedziną - np. $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = 2x^2 + 3x - 4$.
2. Tabelką - gdy dziedzina jest skończona, np. zestawienie zużycia energii w kolejnych miesiącach.
3. Wzorem niejednolitym (klamrowym) - innym przepisem na różnych przedziałach.
4. Wykresem - zbiorem punktów $(x, f(x))$ w układzie współrzędnych.
5. Opisem słownym - np. „każdej liczbie przyporządkuj jej resztę z dzielenia przez $7$”.

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji

Dziedzina naturalna to zbiór argumentów, dla których wzór ma sens. Sprawdzamy trzy warunki:

• Mianownik różny od zera - z $f(x) = \tfrac{1}{x - 3}$ wypada $x = 3$.
• Liczba pod pierwiastkiem stopnia parzystego nieujemna - dla $f(x) = \sqrt{x - 2}$ potrzeba $x \geq 2$.
• Argument logarytmu dodatni (i podstawa dodatnia, różna od $1$) - dla $f(x) = \log(x + 1)$ potrzeba $x > -1$.

Gdy warunków jest kilka, dziedzina to ich część wspólna. Dla $f(x) = \tfrac{\sqrt{x - 2}}{x - 5}$ mamy $x \geq 2$ oraz $x \neq 5$, czyli $D = \langle 2, 5) \cup (5, +\infty)$.

Badanie przebiegu zmienności funkcji

Aby naszkicować wykres funkcji danej wzorem, bada się kolejno:

1. dziedzinę funkcji,
2. przedziały ciągłości,
3. miejsca zerowe i punkt przecięcia z osią $OY$,
4. parzystość, nieparzystość i okresowość,
5. granice na końcach przedziałów dziedziny,
6. asymptoty (pionowe, poziome, ukośne),
7. ekstrema i monotoniczność - przy pomocy pierwszej pochodnej i twierdzenia Fermata o ekstremum,
8. punkty przegięcia i wypukłość - przy pomocy drugiej pochodnej.

Najczęstsze pytania

Jakie są rodzaje funkcji? Według wzoru: liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna, homograficzna, pierwiastkowa, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne i z wartością bezwzględną. Według własności: różnowartościowa, „na”, monotoniczna, parzysta, nieparzysta, okresowa, ograniczona, ciągła.

Co to jest dziedzina funkcji? Zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja jest określona. Gdy funkcja zadana jest samym wzorem, przyjmujemy dziedzinę naturalną - największy zbiór, dla którego wzór ma sens.

Czym różni się przeciwdziedzina od zbioru wartości? Przeciwdziedzinę deklarujemy z góry, a zbiór wartości to te jej elementy, które funkcja faktycznie przyjmuje. Dla $f(x) = x^2$ z przeciwdziedziną $\mathbb{R}$ zbiorem wartości jest $\langle 0, +\infty)$.

Jak sprawdzić z wykresu, czy to funkcja? Testem prostej pionowej: jeśli jakakolwiek prosta pionowa przecina wykres w więcej niż jednym punkcie, to nie jest wykres funkcji.

Która funkcja ma funkcję odwrotną? Tylko różnowartościowa - i to ograniczona do swojego zbioru wartości. Dlatego $f(x) = x^2$ na całym $\mathbb{R}$ odwrotnej nie ma, ale na $\langle 0, +\infty)$ już tak (jest nią $\sqrt{x}$).

Czym różni się funkcja parzysta od nieparzystej? Parzysta spełnia $f(-x) = f(x)$ i ma wykres symetryczny względem osi $OY$; nieparzysta spełnia $f(-x) = -f(x)$ i jest symetryczna względem początku układu. Większość funkcji nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Podsumowanie

• Funkcja przypisuje każdemu argumentowi dokładnie jedną wartość - stąd test prostej pionowej.
• Dziedzina to zbiór argumentów, przeciwdziedzina deklarowany zbiór wartości, a zbiór wartości to te wartości, które funkcja rzeczywiście przyjmuje.
• Podstawowe rodzaje według wzoru: liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna, homograficzna, wykładnicza, logarytmiczna, trygonometryczne.
• Podstawowe własności: różnowartościowość, monotoniczność, parzystość, okresowość, ograniczoność, ciągłość.
• Dziedzinę naturalną wyznaczamy z trzech warunków: mianownik $\neq 0$, wyrażenie pod pierwiastkiem parzystego stopnia $\geq 0$, argument logarytmu $> 0$.